专题4. 加法模型和乘法模型（预习学案）-【重难点课前自学】人教版四年级上册数学（新教材）

本讲义聚焦小学数学“加法模型和乘法模型”核心知识点，系统梳理加法模型中总量与分量的关系及逆运算，乘法模型中“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”公式及变式，搭建从分散应用题到系统化模型的学习支架。 资料以新课标“模型意识”为核心，通过单元概览、对比表格、分层练习及易错点点拨，结合购物、行程等生活实例，培养学生用数学思维判断模型、用数学语言解决问题的能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

人教版•新教材 四年级上册•第4单元 专题4.加法模型和乘法模型·暑假自学方案 自学·自测·点拨·拓展·复盘 £加法模型 £乘法模型 £单价×数量 £速度×时间 £模型意识 一、【扫清障碍】课前自学·核心概念 单元整体概览 本单元是新版教材基于2022版新课标“数量关系”主题新增的全新单元。将分散在应用题中的数量关系进行系统化、模型化梳理。主要内容分为加法模型和乘法模型两大部分，其中乘法模型又包含 “总价=单价×数量” 和 “路程=速度×时间” 两类常见的数量关系。 【老师的话】 这个单元跟以前学过的计算单元完全不同——它不教你怎么算，而是教你怎么想！ 它的核心是培养 “模型意识”：看到一类问题，能快速判断它属于哪种 “模型”， 然后用对应的数量关系去解决。学会了这个本领，做应用题就像 “按图索骥” 一样轻松！ 1.加法模型 （1）核心关系式 总量 = 分量 + 分量 总量：整体、总数、合计。分量：组成总量的各个部分。 （2）加法模型的三层结构 加法模型可以理解为“把几部分合起来求总数”。 第一层：部分 + 部分 = 整体（如：上午教师数 + 上午学生数 = 上午总人数） 第二层：上午部分+下午部分=全天总数（如：上午总人数+下午总人数=全天总人数） 第三层：不同角度的分量组合（如：教师总数 + 学生总数 = 全体总数） 例如（教材P58例1）学校图书馆星期一借阅图书的人数如下表： 类别 上午人数 下午人数 教师 15 24 学生 32 50 求上午总人数：15 + 32 = 47（人） 求下午总人数：24 + 50 = 74（人） 求全天总人数：47 + 74 = 121（人） 这三个问题用的都是同一个数量关系：总量 = 分量 + 分量 （3）加法模型的逆运算 根据减法是加法的逆运算，如果知道总量和其中一个分量，可以求另一个分量： 分量 = 总量 − 分量 例如（教材P59例2）：小丽有100元，要买3本不同的书送给朋友。4 本书的价格分别是 34 元、21 元、49 元、26 元。她可以买哪 3 本？ 分析：从 4 本书里选 3 本，有 4 种情况： 34+21+49=104（元）❌ 超过 100 元。 34+21+26=81（元） ✔ 不超过 100 元。 这里用的就是“总量=分量+分量”的模型——总价是总量，每本书的价格是分量。 2.乘法模型（一）：总价 = 单价 × 数量 （1）三个概念 单价：每件商品 的价格]。如：每本笔记本 5 元，5 元就是单价。 数量：买了 多少件。如：买了 12 本，12本 就是数量。 总价：一共花了 多少钱。如：一共花了 60 元，60 元就是总价。 （2）核心关系式 总价 = 单价 × 数量 变式：单价 = 总价 ÷ 数量 | 数量 = 总价 ÷ 单价 例如 每本笔记本 15 元，买了 12 本，一共花了多少钱？ 分析：单价=15元，数量=12本，求总价。 列式：15 × 12 = 180（元） 特别注意 单价和数量是相乘的关系，不是相加！很多同学看到“一共花了多少钱”，下意识想用加法——但如果是知道单价和数量，要用乘法！ 3. 乘法模型（二）：路程 = 速度 × 时间 （1）三个概念 速度：单位时间内行的路程。如：每分钟行 80 米，写作 80 米/分，它就是速度。 时间：行了 多长时间。如：行了 6 分钟，6 分是时间。 路程：一共行了 多长的路。如：一共行了 480 米，480米 就是路程。 （2）速度的表示方法 速度通常写成 “××/时”“××/分”“××/秒” 的形式。 高铁每小时行 340 千米 → 速度 = 340 千米/时 飞机每小时行 800 千米 → 速度 = 800 千米/时 小丽每分钟行 80 米 → 速度 = 80 米/分 （3）核心关系式 路程 = 速度 × 时间 变式：速度 = 路程 ÷ 时间 | 时间 = 路程 ÷ 速度[reference:39] 例如（教材P66例5）：小红家、小明家、小丽家到学校的距离和所用时间如下： 小红：走了 675 米，用了 9 分钟 小明：走了 480 米，用了 9 分钟 小丽：走了 480 米，用了 6 分钟 比一比，谁走得最快？ 小红比小明走得快，因为他们用了同样的时间，小红走得远。 小丽比小明走得快，因为他们走的路程相同，小丽用时少。 小丽和小红谁走得快呢？ 小红速度：675 ÷ 9 = 75（米/分） 小丽速度：480 ÷ 6 = 80（米/分） 结论：小丽走得最快！ 比较速度的方法：时间相同比路程，路程相同比时间。 4. 加法模型 vs 乘法模型 对比维度 加法模型 乘法模型 核心关系 总量 = 分量 + 分量 总价 = 单价 × 数量 路程 = 速度 × 时间 关键词 一共、合计、总数、各部分 每件/每个、单价、速度、时间 适用场景 把几部分 合起来 每份数× 份数 运算 加法（或减法求分量） 乘法（或除法求单价/速度） 判断技巧 问“一共多少” → 先想：是把几部分合起来（加法模型）， 还是每份数 × 份数（乘法模型）？看题目中是否有 “每”“单价”“速度” 等关键词 → 有就是乘法模型！ 【 贴心提示】 1.先理解“模型”是什么：模型就像一个 “公式模板”——把一类问题的共同规律提炼出来， 以后遇到同类问题，直接套用这个模板就行。 2.加法模型的关键是“找分量”：看到一个“一共多少”的问题，先问自己：“它是由哪几部分组成的？” 找到了所有分量，加法模型就建立起来了。 3.乘法模型的关键是“找每份”：看到一个购物或行程问题，先问自己：“每件多少钱？”或“每小时/分钟行多少？” 找到了“每份”的量，再乘以份数就行了。 4.每天练习“模型识别”：随便找 3～5 道应用题，不看答案，先判断它属于加法模型还是乘法模型，再列式解答。这是本单元最核心的能力！ 二、【快速巩固】基础填空自测 独立完成以下填空，检验预习效果。答案在本资料最后，做完再对。 1. 加法模型的核心关系式是： = + 。 2. 如果知道总量和其中一个分量，求另一个分量用：分量 = − 。 3. 乘法模型中，“每件商品的价格”叫作（ ），“买了多少件”叫作（ ），“一共花了多少钱”叫作（ ）。 4. 总价 = × ，单价 = ÷ 。 5. “每小时（或每分钟）行的路程”叫作（ ），“一共行了多长的路”叫作（ ）。 6. 路程 = × ，速度 = ÷ 。 7. 高铁每小时行 340千米，速度可以写成（ ），读作（ ）。 8. 小丽每分钟走 80米，速度写成（ ），读作（ ）。 9. 比较速度时， 相同比路程， 相同比时间。 10. 判断一个问题是加法模型还是乘法模型，关键看是否有 、“单价”、“速度”等关键词。 三、【高频考点】重难点·易错点点拨 以下 6 个易错点是学生踩坑最多的地方，逐条对照，提前避雷。 易错点 1：找不到总量和分量 ❌ 典型错误：题目说“上午来了 47 人，下午来了 74 人，一共来了多少人？”，学生不知道哪个是总量、哪个是分量。 ✅ 正确做法：总量 = 要求的总数（一共来了多少人） 分量 = 组成总量的各部分（上午人数、下午人数） 列式：47 + 74 = 121（人） 老师支招： 看到“一共”“合计”“总数”等词，它后面的数就是总量；看到“其中”“一部分”“另一部分”等词，它们就是分量。 易错点 2：加法模型和乘法模型混淆 ❌ 典型错误：“每本笔记本15元，买了12本，共多少钱？”学生列式15 + 12 = 27（元）。 ✅ 正确做法： 题目中有 “每本” 这个关键词，说明是乘法模型（单价 × 数量）。 列式：15 × 12 = 180（元） 老师支招：做题前先圈关键词：“每”“单价”“速度”→乘法模型；“一共”“合计”“各部分”→加法模型。 易错点 3：速度的单位写错或读错 ❌ 典型错误：把“每分钟行 80 米”写成“80 米”，漏掉了“/分”；或者读成“80 米每时”。 ✅ 正确写法： 80 米/分，读作 “80 米每分”。 高铁“每小时行 340 千米”写成 340 千米/时，读作“340 千米每时”。 老师支招：速度的单位一定是“长度单位/时间单位”的形式。 记住：“/”读作“每”，前面是长度，后面是时间。 易错点 4：路程和速度混淆 ❌ 典型错误：题目说“汽车3小时行了285千米”，学生把285千米当成了速度。 ✅ 正确理解：285千米是3小时一共行的路程，不是速度。 速度 = 285 ÷ 3 = 95（千米/时） 老师支招：记住一个简单的区分方法：路程是一段时间内行的总长度（单位：米、千米）；速度是单位时间内行的长度（单位：米/分、千米/时）。 易错点 5：比较速度时方法用错 ❌ 典型错误：小红走 675 米用了 9 分钟，小明走 480 米用了 9 分钟，学生直接比较 675 和 480，认为小红更快。 ✅ 正确做法：小红和小明用的时间相同（都是 9 分钟），时间相同比路程： 小红走了 675 米，小明走了 480 米，小红更快。 小明走 480 米用了 9 分钟，小丽走 480 米用了 6 分钟。 小明和小丽走的路程相同（都是 480 米），路程相同比时间： 小丽用了 6 分钟，小明用了 9 分钟，小丽更快。 老师支招：比较速度的口诀：“时间相同比路程，路程相同比时间！” 易错点 6：求分量时用错运算 ❌ 典型错误：知道总价180元和单价15元，求数量，学生列式180 + 15。 ✅ 正确做法： 数量 = 总价 ÷ 单价 = 180 ÷ 15 = 12（本） ❌ 另一典型：知道路程480 米和时间 6 分钟，求速度，学生列式 480 + 6。 ✅ 正确做法： 速度 = 路程 ÷ 时间 = 480 ÷ 6 = 80（米/分） 老师支招：记住三个关系式的 “三角关系”：总量 = 分量 × 份数 → 求分量用除法，求份数也用除法；加法模型中：总量 = 分量 + 分量 → 求分量用减法。 【 高频考点速览】 从情境中识别“总量”与“分量”——填空/选择必考 用加法模型解决“求总量”或“求分量”的问题——应用题必考 用“总价=单价×数量”解决购物问题——应用题必考 用“路程=速度×时间”解决行程问题——应用题必考 速度的表示方法与读写——填空常考 判断属于加法模型还是乘法模型——选择/判断常考 四、【兼顾巩固与拔高】分层拓展小练 A 层·基础巩固 全体必做 1.填空。 （1）加法模型中，总量 = （　　　　）+（　　　　）。 （2）乘法模型中，总价 = （　　　　）×（　　　　）。 （3）乘法模型中，路程 = （　　　　）×（　　　　）。 2.判断下面各题属于加法模型还是乘法模型。 （1）学校有 15 名男教师和 24 名女教师，教师一共有多少人？（　　　　） （2）每本笔记本 15 元，买了 12 本，一共花了多少钱？（　　　　） （3）汽车每小时行 85 千米，行了 4 小时，一共行了多少千米？（　　　　） 3.列式计算。 （1） 上午来了 47 人，下午来了 74 人，全天一共来了多少人？ （2） 每千克苹果 8 元，买了 5 千克，一共花了多少钱？ （3） 小明每分钟走 60 米，走了 10 分钟，一共走了多少米？ B 层 · 能力提升 学有余力选做 4.写出速度。 （1）飞机每小时飞行800千米，速度是（　　　　　　）。 （2）小丽每分钟走80米，速度是（　　　　　　）。 5.解决实际问题（加法模型）。 学校图书馆星期一借阅图书：上午教师 15 人、学生 32 人；下午教师 24 人、学生 50 人。 （1） 教师一共借阅了多少人？ （2） 学生一共借阅了多少人？ （3） 全天一共借阅了多少人？ 6.解决实际问题（乘法模型——总价）。 王叔叔买了 8 箱罐头，每箱 3 个，一共花了 360 元。罐头的单价是多少元/个？ 7.解决实际问题（乘法模型——路程）。 一辆汽车从甲地到乙地行驶了 3 小时，以同样的速度从乙地到丙地行驶了 4 小时。 甲地到乙地的路程是 285 km，乙地到丙地的路程是多少千米？ C 层·思维拓展 尖子生挑战 8.综合应用。 某家具商场的学生书桌有 3 种款式，价格分别为 94 元、80 元、65 元。王老师帮学校购买了 50 套学生书桌，最多要用多少元？最少呢？ 9.模型识别与创编。 下面是小明列的算式：120 × 4 = 480；请你根据这个算式，分别创编一个加法模型的问题和一个乘法模型的问题。 10.综合推理。 甲、乙两地相距720千米。一辆汽车从甲地开往乙地，前4小时每小时行驶85千米， 后4小时每小时行驶95千米。这辆汽车8小时能到达乙地吗？请说明理由。 教师寄语 1.这个单元“不考计算，考思维”：本单元的计算都是以前学过的（多位数乘两位数、万以内加减法）， 真正考察的是 “看到问题能判断用哪个模型” 的能力。 2.生活中的模型无处不在：带孩子去超市，让他算“买 3 袋大米一共多少钱”（乘法模型）； 问他“今天早餐吃了鸡蛋、牛奶、面包，一共吃了多少种食物”（加法模型）。生活中处处是模型。 3.“圈关键词”是最好的做题方法：让孩子养成读题时圈出“每”“单价”“速度”“一共”“合计” 等关键词的习惯，圈完关键词，用什么模型就一目了然了。 4.模型意识受益终身：“加法模型和乘法模型”不仅仅是四年级的一个单元，它是小学数学“数量关系”主题的核心框架，学好了这个单元，五六年级的分数应用题、百分数应用题都会轻松很多。 【预习精编相关习题答案】 | 基础填空自测答案 1. 总量；分量；分量 2.总量；分量 3.单价；数量；总价 4.单价；数量；总价；数量 5.速度；路程 6.速度；时间；路程；时间 7. 340 千米 / 时；340 千米每时 8. 80 米 / 分；80 米每分 9.时间；路程 10.每 | 分层练习答案（简要） A 层：1.(1) 分量；分量 (2) 单价；数量 (3) 速度；时间；2.(1) 加法模型 (2) 乘法模型 (3) 乘法模型；3.(1) 47+74=121（人） (2) 8×5=40（元） (3) 60×10=600（米） B 层：4.(1) 800 千米 / 时 (2) 80 米 / 分；5.(1) 15+24=39（人） (2) 32+50=82（人） (3) 39+82=121（人）或 47+74=121（人）；6. 360÷8=45（元 / 箱），45÷3=15（元 / 个）；7. 285÷3=95（千米 / 时），95×4=380（千米） C 层：8. 最多：94×50=4700（元），最少：65×50=3250（元）；9. 答案不唯一，合理即可；10. 85×4=340（千米），95×4=380（千米），340+380=720（千米），正好到达 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $