第一章 特殊平行四边形（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学特殊平行四边形复习讲义以“先总后分”构建知识体系，通过集合图梳理平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系，用表格对比性质与判定定理，结合关系图呈现图形共性与特性，突出直角三角形斜边中线推论等重难点。 讲义亮点在于“性质-判定-综合运用”的递进题型设计，如菱形性质求值题结合动态折叠培养几何直观，正方形判定综合题发展推理意识。每个题型配典例与变式，基础题巩固定义，复杂题提升建模能力，助力教师分层教学，学生自主复习时可通过逻辑框架图查漏补缺。

第一章 特殊平行四边形 复习讲义 教学目标 1.理解平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义，能用集合图梳理四者包含从属关系，构建完整四边形知识框架。 2.熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质定理、判定定理，能规范完成几何证明与边长、角度、对角线、面积计算。 3.掌握重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能实现矩形与直角三角形的图形转化解题。 4.掌握菱形、正方形两种面积公式计算（底 × 高、对角线乘积一半），灵活选用公式求值。 5.经历 “观察 — 操作猜想 — 逻辑证明 — 应用” 完整探究流程，通过折纸、动态教具、尺规作图发展合情推理与演绎推理能力。 6.贯穿类比思想：以菱形研究方法类比自主探究矩形，结合矩形、菱形性质推导正方形，掌握 “从一般到特殊” 几何研究范式，培养数形结合、分类讨论、逆向思维，提升几何建模与知识迁移能力。 教学重难点 1. 重点 1）平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义、性质定理、判定定理的理解与基础应用。 2）四类四边形之间的包含逻辑关系，能清晰区分图形共性与独有特殊特征。 3）直角三角形斜边中线推论的理解与综合计算、证明。 4）灵活选用判定方法证明四边形为菱形、矩形、正方形；利用性质解决线段、角度、面积计算题。 5）规范书写几何证明步骤，掌握全等三角形辅助推导特殊四边形性质的方法。 2. 难点 1）理清四类图形的层级逻辑，区分易混判定条件，避免定理错用、条件遗漏。 2）理解正方形双重特殊性：同时属于矩形、菱形，兼具两者全部性质，掌握两条判定路径（先证矩形再证邻边相等 / 先证菱形再证直角）。 3）综合运用多种特殊四边形性质、判定结合直角三角形知识解决复合型几何证明题。 4）复杂图形中添加辅助线，实现特殊四边形与直角三角形、全等三角形的转化。 知识点01 认识特殊的平行四边形 （核心改动：新增1.1总起课时，意在先整体建立“平行四边形→菱形/矩形→正方形”从属关系，先总后分，搭建单元知识框架，落实大单元教学理念。） 1.菱形的定义:有一组邻边目等的平行四边形叫作菱形。 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD为菱形。 2.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 即：如下图，在▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD为矩形。 3.正方形的定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则▱ABCD为正方形。 4. 菱形、矩形、正方形的关系： 5.菱形、矩形、正方形都具有轴对称性；其中菱形和矩形都各有2条对称轴；正方形有4条对称轴。 6.菱形、矩形、正方形都具有中心对称性；他们的对称中心是两条对角线的交点。 知识点02 菱形的性质与判定 1.性质定理1:菱形的四条边相等。 2.性质定理2:菱形的对角线互相垂直。 注意:（1）菱形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）； （2）根据性质定理1和性质定理2，还可以推断出：菱形的每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的面积：等于两条对角线长的乘积的一半； 即： 拓展：所有对角线互相垂直的四边形，他们的面积都等于两条对角线长的乘积的一半。 4.判定定理1:四条边相等的四边形是菱形。 5.判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 注意:菱形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）； 判定4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 判定5：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 知识点03 矩形的性质与判定 1.性质定理1:矩形的四个角都是直角。 2.性质定理2:矩形的对角线相等。 推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 注意:矩形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。 3.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 4.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 注意:矩形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）； 判定4：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 知识点04 正方形的性质与判定 1.性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等。 2.性质定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分。 注意:正方形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。 同时根据性质定理1和性质定理2，还可以推断出：正方形的每一条对角线平分一组对角。 3.判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 4.判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 5.判定定理3：有一角是直角的菱形是正方形。 6.判定定理4：对角线相等的菱形是正方形。 注意:正方形的判定方法除了教材中的4种判定方法，我们还可以根据其他条件推导出判定1---判定4，如： 判定5：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义法）； 判定6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 题型01 特殊平行四边形之间的关系 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（     ） A．①：一个角是直角 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：一个角是直角 【答案】B 【详解】解：A、根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知该选项正确，故不符合题意； B、根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可知该选项错误，故符合题意； C、根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可知该选项正确，故不符合题意； D、根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知该选项正确，故不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（     ）    A．正方形 B．平行四边形 C．四边形 D．以上都不正确 【答案】A 【详解】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形． 【变式2】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，平行四边形添加一个条件可变为矩形或菱形，矩形和菱形添加一个条件可变为正方形，则图中①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【详解】∵对角线相等的平行四边形为矩形，对角线相等的菱形为正方形， ∴可以填上条件“对角线相等”的是①④. 【变式3】（25-26八年级下·河南开封·校考期末）如图是四边形章节知识的结构图，其中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（    ） A．①对角线相等 B．②对角线互相垂直、平分 C．③对角线互相垂直 D．④对角线互相平分、垂直且相等 【答案】D 【详解】解：①矩形加上邻边相等或者对角线互相垂直可得正方形，故A选项错误； ②平行四边形加上对角线互相垂直且相等，可得正方形，故B选项错误； ③菱形加上有一个角是直角或者对角线相等，可得正方形，故C选项错误 ④四边形加上对角线互相平分、垂直且相等可得正方形，故D选项正确；故选D 题型02 菱形的概念与性质辨析 【典例1】（2026·河南商丘·模拟预测）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（     ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意； B．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意； C．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意； D．菱形是中心对称图形，正确，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还具有对角线互相垂直、四条边都相等的特殊性质；对比选项可知：对边平行，对角线互相平分，对角相等，都是菱形和平行四边形共有的性质；只有对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不一定具有的性质.因此选． 【变式2】（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【答案】C 【详解】解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确． ∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误． ∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 四边形是菱形，∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等）∴选项符合题意．故选：D． 题型03 菱形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 【典例1】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， ∴，，∴， 【变式1】（25-26八年级下·广东 期中）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：如图：由题意得：，， 由折叠得：，四边形是菱形， 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，∴， ∴，∴．∵，∴．故选D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∵点为的中点，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 【变式4】（2026·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线在轴上，将菱形翻折，使点落在对角线上的点处（点与点不重合），折痕分别与，交于点，，连接，若恰为等腰三角形，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：连接交于点，如图所示： ∵四边形是菱形，且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴，， ∴，由题意可分：当时，则有， ∴，∴，∴，∴； 当时，此时； 综上所述：当恰为等腰三角形时，则点的坐标为或． 题型04 菱形的判定 【典例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，可判断是矩形，不能判断是菱形，故选项A错误，不符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项B错误，不符合题意； 对角线互相垂直，可知判断是菱形，故选项C正确，符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项D错误，不符合题意； 【变式1】（25-26九年级下·成都·期中）如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分，四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形，． ，．四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，，∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形，∴，且，， ∴．∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，∴． ∵四边形的形状是菱形，∴根据对称性，， ∴．即四边形的面积为． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 题型05 菱形的性质与判定综合运用 【典例1】（25-26九年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）如图，是平行四边形的对角线．    (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，点分别在边上，连接；（保留作图痕迹，不写作法）;(2)求证：四边形是菱形；(3)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：根据基本作图，画图如下：    （2）证明：设的交点为点O， 是平行四边形的对角线，，，， 根据基本作图，得，，，  ，，， ，故四边形是菱形． （3）解：过点E作于点P，由四边形是菱形，，   ，， ，，解得， 由，得， 故平行四边形的面积为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图1，在菱形中，点O为对角线的中点，将绕着点O逆时针旋转，得到线段，构造四边形，连结． (1)试猜测四边形的形状，并证明你的结论； (2)当（即）时，若，求的度数； (3)若，，设的面积为，的面积为，当时（如图2），求的值． 【答案】(1)矩形，证明见解析(2)的度数为(3)5 【详解】（1）解：四边形为矩形， 证明：四边形为菱形，∴O是中点，∴， 由旋转知，∴四边形为矩形； （2）如图 ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形，，∴， ∵四边形为菱形，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴． （3）解：连接，延长交于G，如图①， ∵四边形为菱形，AC=4，∴，，∴， 在中， ， ，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵四边形为矩形，∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 【变式2】（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，；(2)，证明见详解；(3)． 过点作交于点，连接，如图所示： ，，，，， ，，四边形为平行四边形， ，即，当时，，， 四边形为菱形，，， 当点在对角线的交点上时，符合题意，此时，故答案为：； （2）；证明：连接、，如图所示： ，，四边形为菱形， ，，， ，，，，， ，，，，，， ，，四边形为平行四边形， ，四边形为矩形，，，， ，； （3）解：连接，，如图所示：四边形为菱形，，，， ，，， ，，，根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ，，即当时，将平行，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建宁德·校考期末）如图，已知菱形，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，作的角平分线交于点P，连接并延长交延长线于点F，连接，． (1)如图1，当，即点D与点E重合时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当时，求证：； (3)在线段的旋转过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴， 由旋转的性质可得，即， ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，即是等边三角形； （2）证明：∵四边形是菱形，∴，， ∴；由旋转的性质可得， ∴，∴， ， ∴； ∵平分，∴， 又∵，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图所示，过点B作于点G， 由（2）可知，，是等边三角形，， ∴，∴，∴，∴ ∵，，∴，∵， ∴， ∴，即． 题型06 矩形的概念与性质辨析 【典例1】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意；故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质_____． 【答案】对角线相等（答案不唯一） 【详解】解：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等．故答案为：对角线相等 【变式3】（25-26八年级下·江苏·期中）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 【答案】C 【详解】解：∵中心对称图形是绕平面内某点旋转后能与原图形重合的图形，轴对称图形是沿平面内某条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形． 又∵矩形绕对角线交点O旋转后可与原图形重合，沿两组对边中点所在直线对折，直线两侧部分完全重合，∴矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对应选项为C． 题型07 矩形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 【典例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形，， ∵，，， ∵，，， 四边形是矩形，，，，， ∴是等边三角形，，．故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形，，， ，，， ，，解得：， ，， ，故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，点D在边上．将沿折叠，点B落在边上的点E处，则的长为____．    【答案】3 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，，在中，， ，设，则， ，即，解得：，，故答案为：3． 【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，．(1)求的度数；(2)求矩形的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据矩形性质，，且对角线互相平分，即， ，在中，，； （2）解：∵在中，，， 根据勾股定理得：．矩形面积为：． 题型08 矩形的判定 【典例1】（25-26八年级下·广东·期中）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，∴不能判定为矩形． 选项B：∵是边长与对角线的数量关系，∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C：是边与对角线的数量关系，∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D：∵，∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【答案】A 【详解】A、在平行四边形中，对角线，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），符合题意；B、是平行四边形的对边相等，不能判定矩形，不符合题意； C、不能判定是矩形，不符合题意； D、平行于不能判定是矩形，不符合题意．故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，，， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ，是等边三角形，，， 是等边三角形，∴， ，，，的长是． 【变式3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形；(2)若，，则的长 ． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵菱形，∴，． ∵点是中点，∴．又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∴四边形是平行四边形． ∵，∴平行四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，∴，，， ∵，，∴为等边三角形，∴． ∵，∴，． 在中，由勾股定理，得，∴． 由（1）得，四边形是矩形，∴，． ∵在中，，∴由勾股定理，．故答案为：． 题型09 矩形的性质与判定综合运用 【典例1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 在中，为的中点，∴，∴，故①正确； ②由①可得，，∴是等边三角形， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，即平分，故②正确； ③∵，，∴，故③错误； ④设，则，∴， ∴，∴， 又∵，∴，故④正确； 综上，正确的序号是①②④，故答案为：①②④． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，． (1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形；(2)求图1中线段的长；(3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：四边形是矩形，是中点， ，，，， 又，，，，， ，；四边形是平行四边形 ，四边形为菱形； （2）解：四边形为菱形，， 在中，，即解得 （3）解：，，，． 又，，， ． 设的长为，则的长为，的长为， 在中，由勾股定理得，， 解得，即的长为． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【答案】(1)，见解析(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ，，即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，， 在和中，，，； （2）证明：如图2：连接，根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形，，，，即， 又，，， ，，四边形是平行四边形； （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，，， 在中，由勾股定理得：，， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，，， 在中，由勾股定理得：，， 综上所述，的值为或． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．①求证：；②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，．①当时，求x的值；②当时，直接写出x的值． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)①当时，或；②当时，或． 【详解】（1）① 证明：∵ 点与关于对称∴ ，∴， ∵ 四边形是矩形∴ ，∴，∴，∴ ② 解：∵ 四边形是矩形，∴ ．由①知， 在中，，∴ ，故． （2）解：连接，因，∴，即是直角三角形． 在与中，， ① 当时，，即，又．以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ，∴， 又，在中，，即，解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图），同①情况一，，∴， 又，在中，，即， 解得：．综合两种情况，当时，或． ② 当时，，即，又．以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ，∴， 又， 在中，，即，解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同②情况一，，∴，又， 在中，，即，解得：． 综合两种情况，当时，或． 题型10 正方形的概念与性质辨析 【典例1】（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确，综上，正确的结论共有4个． 【变式1】（25-26八年级下·江苏·期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列关于几何图形的性质中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．正方形的对角线相等 D．平行四边形的对角线相等且平分 【答案】D 【详解】A、 矩形的对角线相等，正确，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意；C、正方形的对角线相等，正确，不符合题意； D、平行四边形的对角线仅互相平分，故原说法错误，符合题意；故选D． 题型11 正方形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 【典例1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，∴，故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点，如下图所示： ∵四边形是正方形，为对角线，∴，，， ∵，∴，， ∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是正方形，∴，， 在和中，，，∴，∴， ∴，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【详解】解：，四边形是平行四边形，四边形是矩形，， 平分，平分，， ，平行四边形是正方形． ∵，，∴，∴，即四边形的面积为8，故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形，∴，，，∵折叠，∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为，∴，，∴， 在中，，∴，解得， ∴，， 在中，，∴， 解得，∴，∴点E的坐标为. 题型12 正方形的判定 【典例1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意；B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形，∴， 若，则，∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·江苏·期中）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确；D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，， 矩形是正方形，故D选项不符合题意．故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，∴，， ∵点是的中点，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴． 【变式4】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形．(2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析(2)45 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，∴，又∵，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点，∴，∴，∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴矩形是正方形． 题型13 正方形的性质与判定综合运用 【典例1】（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，∵，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，即的最小值为．故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴，， ∴，∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴四边形是正方形， ∵，∴，∴ ∴四边形的面积为．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·期末）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接．(1)试判断四边形的形状，并说明理由．(2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： 是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，，，， 又，，四边形是矩形． 由旋转的性质可知，，四边形是正方形． （2）证明：如图，过点D作于点， ，，，， 四边形是正方形，，，，， 又，，，， 由旋转的性质可知，，∵四边形是正方形，， ，． （3）解：四边形是正方形，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得（负值已舍）， ，，如图，过点D作于点， 根据（2）可知，，，， 在中，由勾股定理，得． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，．①判定四边形是否为“神奇四边形”；②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④；(2)①是；②是(3) 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等正方形是“神奇四边形”故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下：为的中点，为的中位线， 同理：，， ，，，， ，四边形为平行四边形 ，，平行四边形为菱形 ，，，，， 四边形为正方形四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴，又∵，∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，， 设，则，在中，由勾股定理得：， ，，，即线段的长为 题型14 中点四边形 【典例1】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】C 【详解】解：∵点分别是的中点，∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误，符合题意； 若，则，∴四边形为菱形，则选项A正确，不符合题意； 若，则，又∵，∴，∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B正确，不符合题意； 若四边形是正方形，则， ∴，，∴，又∵，∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确，不符合题意；故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分；②若，则四边形为矩形；③若，则四边形为菱形．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形，∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意；故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接 ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、 位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线，∴， ∴，∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线，∴， ∵，∴，∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵，∴，∴，∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形；由（3）可知：，∴中点四边形是正方形． 1.（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题中正确的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，判断各选项进行分析即可． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确. B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误. C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误. D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误. 2.（25-26九年级上·重庆·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【详解】A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填，选项A正确，不符合题意； B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形，选项B错误，符合题意； C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意； D．由四边形是菱形，则， 当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．故选：B． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为菱形，∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴，∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确，故选：C． 4.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，平分， ∵，∴，∴， ∵，∴．故选：D． 5.（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴． 6.（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则________． 【答案】8 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点O， ∴，，，，∴ ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，与边交于点，则线段_______． 【答案】 【分析】由矩形得到，，，从而根据勾股定理求出，根据，得到的长，且，根据平行线的性质及对顶角相等可得出，从而根据等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P， 此时取得最小值，最小值为的长，四边形是菱形，点在上， ， ，，由， 得解得，即的最小值是． 9．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线，∴，． 在和中，，∴（），∴， 又∵，∴，∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线，∴，． 在和中，，∴（），∴． 又∵，∴，∴是等腰三角形．过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴，∴， ∵，，∴ ∵是菱形对角线，∴， 又∵，，∴（）， ∴，∴． 又∵，∴． ∵四边形是菱形，∴菱形是正方形，∴． 10．（2026·山东泰安·校考一模）如图，为的对角线． (1)作对角线的垂直平分线，分别交，，于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2)证明：∵垂直平分，∴，，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，， ∴，∴，∴．∴四边形是菱形． 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形为菱形，， ，分别是，的中点， ，四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形，， ，即，故②正确； 在中，为的中线，故③错误；故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：，， ，，，， 根据函数图象，得当时，过点D作于点M，根据题意，得， 当时，此时， 根据勾股定理，得，， 根据勾股定理，得， 平行四边形，，故①②都正确； 当时，，，， ∴，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形， ，∴四边形为正方形， 过点D作于点M，交于点N，则，四边形是矩形， 设，点D到的距离为， ∴，解得，故当时，四边形为正方形，故③正确； 当时，点E是的中点，设与的交点为N，设，点D到的距离为， ∴，解得，∴， ∴四边形的面积为；故④正确； 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形，为中点， ，，∴， ，是等边三角形， ， ，， ∵，∴，，， 在和中，，， ，，， ，， ∵，，，∴， ∵，∴垂直平分， ∵矩形中三点共线，∴在的垂直平分线上，， 结合，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形， ，∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形，， ∵，，∴垂直平分，即， ∵∴，在中，，， ，，即，故②正确； ∵，，∴，， ∵，，∴，，， ∵，∴∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 4．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：正方形，， ，分别是，的中点，，， 在和中，，，故①正确； ，， ，，，即， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ，，， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确； 如图，根据题意可知：， ，，四边形是菱形， ，，菱形是正方形，故③正确；延长和交于点H， 在和中，，， ，， ，，，， ，，故④正确；综上所述，说法正确的有． 5．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 在矩形中，， ，，， ，， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，，，在中，， ，，的最大值为，故答案为：． 6．（2025·陕西西安·一模）如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：∵正方形，∴，， 如图，以为边构造等边三角形，连接，，过作于， ∵和是等边三角形，∴，，， ∴，∴，∴， ∵M为中点，∴，∵，， ∴，∴， ∴当点E在上运动时，点M在上运动，当时，最小， ∵，∴最小值，故答案为：． 7．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴； ②，理由如下：如图，连接，， ∵矩形，∴，，∵，∴，， 过作交的延长线于，∴， ∵，∴，∴，， 设，而，∴， ∴，，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴． （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则， ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，记，的交点为， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，设，则，， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，， 同理可得：，∴，∴的周长为． 8.（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，． 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，，，， 即与的数量关系为，与的位置关系为．故答案为：，． （2）证明：由（1）得，，，． 由折叠得，，，． ，． ，， ，． （3）解：，理由如下：如图，连接，，，与交于点， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，，． 又矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，垂直平分， ，，，． ，．， ，即，为直角三角形． 点为的中点，.，． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形(2)菱形，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线，∴， ∴，∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，，∴，同理可得， ∴四边形为平行四边形，又∵四边形是菱形， ∴，则，∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下：连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形，，，， ∴，， 在和中，，，， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，，四边形是平行四边形； ，，四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值，∵四边形是正方形，∴， ∵M，E分别是的中点，∴，同理可得，∴； 又∵M，N分别是的中点，∴，， ∴，∴的最小值，同理可得的最小值， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，∵N，F分别是的中点， ∴，∴；∴，∴． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时．①求证：；②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；(2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形，，， ，四边形是平行四边形， ，，，， ，， 在和中，，， ，，； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，， 由（1）知，，，，，， ，，，即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形，，， ，，，， ，作，交延长线于， 在和中，，，，， ，，，， 在和中，，， ，，设，则， 在中，，，解得：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 复习讲义 教学目标 1.理解平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义，能用集合图梳理四者包含从属关系，构建完整四边形知识框架。 2.熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质定理、判定定理，能规范完成几何证明与边长、角度、对角线、面积计算。 3.掌握重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能实现矩形与直角三角形的图形转化解题。 4.掌握菱形、正方形两种面积公式计算（底 × 高、对角线乘积一半），灵活选用公式求值。 5.经历 “观察 — 操作猜想 — 逻辑证明 — 应用” 完整探究流程，通过折纸、动态教具、尺规作图发展合情推理与演绎推理能力。 6.贯穿类比思想：以菱形研究方法类比自主探究矩形，结合矩形、菱形性质推导正方形，掌握 “从一般到特殊” 几何研究范式，培养数形结合、分类讨论、逆向思维，提升几何建模与知识迁移能力。 教学重难点 1. 重点 1）平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义、性质定理、判定定理的理解与基础应用。 2）四类四边形之间的包含逻辑关系，能清晰区分图形共性与独有特殊特征。 3）直角三角形斜边中线推论的理解与综合计算、证明。 4）灵活选用判定方法证明四边形为菱形、矩形、正方形；利用性质解决线段、角度、面积计算题。 5）规范书写几何证明步骤，掌握全等三角形辅助推导特殊四边形性质的方法。 2. 难点 1）理清四类图形的层级逻辑，区分易混判定条件，避免定理错用、条件遗漏。 2）理解正方形双重特殊性：同时属于矩形、菱形，兼具两者全部性质，掌握两条判定路径（先证矩形再证邻边相等 / 先证菱形再证直角）。 3）综合运用多种特殊四边形性质、判定结合直角三角形知识解决复合型几何证明题。 4）复杂图形中添加辅助线，实现特殊四边形与直角三角形、全等三角形的转化。 知识点01 认识特殊的平行四边形 （核心改动：新增1.1总起课时，意在先整体建立“平行四边形→菱形/矩形→正方形”从属关系，先总后分，搭建单元知识框架，落实大单元教学理念。） 1.菱形的定义:有一组邻边目等的平行四边形叫作菱形。 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD为菱形。 2.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 即：如下图，在▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD为矩形。 3.正方形的定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 即：如下图，在▱ABCD中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则▱ABCD为正方形。 4. 菱形、矩形、正方形的关系： 5.菱形、矩形、正方形都具有轴对称性；其中菱形和矩形都各有2条对称轴；正方形有4条对称轴。 6.菱形、矩形、正方形都具有中心对称性；他们的对称中心是两条对角线的交点。 知识点02 菱形的性质与判定 1.性质定理1:菱形的四条边相等。 2.性质定理2:菱形的对角线互相垂直。 注意:（1）菱形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）； （2）根据性质定理1和性质定理2，还可以推断出：菱形的每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的面积：等于两条对角线长的乘积的一半； 即： 拓展：所有对角线互相垂直的四边形，他们的面积都等于两条对角线长的乘积的一半。 4.判定定理1:四条边相等的四边形是菱形。 5.判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 注意:菱形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）； 判定4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 判定5：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 知识点03 矩形的性质与判定 1.性质定理1:矩形的四个角都是直角。 2.性质定理2:矩形的对角线相等。 推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 注意:矩形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。 3.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 4.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 注意:矩形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）； 判定4：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 知识点04 正方形的性质与判定 1.性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等。 2.性质定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分。 注意:正方形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。 同时根据性质定理1和性质定理2，还可以推断出：正方形的每一条对角线平分一组对角。 3.判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 4.判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 5.判定定理3：有一角是直角的菱形是正方形。 6.判定定理4：对角线相等的菱形是正方形。 注意:正方形的判定方法除了教材中的4种判定方法，我们还可以根据其他条件推导出判定1---判定4，如： 判定5：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义法）； 判定6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 题型01 特殊平行四边形之间的关系 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）在矩形、菱形与正方形的复习课上，小明绘制了如图的知识结构框架图，图中箭头处所填判定条件错误的一项是（     ） A．①：一个角是直角 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：一个角是直角 【变式1】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（     ）    A．正方形 B．平行四边形 C．四边形 D．以上都不正确 【变式2】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，平行四边形添加一个条件可变为矩形或菱形，矩形和菱形添加一个条件可变为正方形，则图中①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式3】（25-26八年级下·河南开封·校考期末）如图是四边形章节知识的结构图，其中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（    ） A．①对角线相等 B．②对角线互相垂直、平分 C．③对角线互相垂直 D．④对角线互相平分、垂直且相等 题型02 菱形的概念与性质辨析 【典例1】（2026·河南商丘·模拟预测）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（     ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．是中心对称图形 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【变式2】（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 题型03 菱形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 【典例1】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·广东 期中）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【变式4】（2026·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线在轴上，将菱形翻折，使点落在对角线上的点处（点与点不重合），折痕分别与，交于点，，连接，若恰为等腰三角形，则点的坐标为_______________． 题型04 菱形的判定 【典例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·成都·期中）如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长． 题型05 菱形的性质与判定综合运用 【典例1】（25-26九年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）如图，是平行四边形的对角线． (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，点分别在边上，连接；（保留作图痕迹，不写作法）;(2)求证：四边形是菱形；(3)若，求平行四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图1，在菱形中，点O为对角线的中点，将绕着点O逆时针旋转，得到线段，构造四边形，连结． (1)试猜测四边形的形状，并证明你的结论； (2)当（即）时，若，求的度数； (3)若，，设的面积为，的面积为，当时（如图2），求的值． 【变式2】（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接．(1)补全图形，并回答问题：当 时，；(2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【变式3】（25-26九年级上·福建宁德·校考期末）如图，已知菱形，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，作的角平分线交于点P，连接并延长交延长线于点F，连接，． (1)如图1，当，即点D与点E重合时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当时，求证：； (3)在线段的旋转过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 题型06 矩形的概念与性质辨析 【典例1】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质_____． 【变式3】（25-26八年级下·江苏·期中）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 题型07 矩形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 【典例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，点D在边上．将沿折叠，点B落在边上的点E处，则的长为____．    【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，．(1)求的度数；(2)求矩形的面积． 题型08 矩形的判定 【典例1】（25-26八年级下·广东·期中）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形；(2)若，，则的长 ． 题型09 矩形的性质与判定综合运用 【典例1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，． (1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形；(2)求图1中线段的长；(3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明；(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形；(3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．①求证：；②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，．①当时，求x的值；②当时，直接写出x的值． 题型10 正方形的概念与性质辨析 【典例1】（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级下·江苏·期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列关于几何图形的性质中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．正方形的对角线相等 D．平行四边形的对角线相等且平分 题型11 正方形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 【典例1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为________． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_______． 题型12 正方形的判定 【典例1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏·期中）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长． 【变式4】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形．(2)当 时，四边形是正方形． 题型13 正方形的性质与判定综合运用 【典例1】（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·期末）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接．(1)试判断四边形的形状，并说明理由．(2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，．①判定四边形是否为“神奇四边形”；②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 题型14 中点四边形 【典例1】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法：①与互相平分；②若，则四边形为矩形；③若，则四边形为菱形．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式2】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、 位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 1.（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题中正确的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 2.（25-26九年级上·重庆·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 6.（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则________． 7．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，与边交于点，则线段_______． 8．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 9．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：；(2)求证：． 10．（2026·山东泰安·校考一模）如图，为的对角线． (1)作对角线的垂直平分线，分别交，，于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接，，求证：四边形为菱形． 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 4．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 6．（2025·陕西西安·一模）如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为_______． 7．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 8.（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时．①求证：；②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；(2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $