专题09 一次函数（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦一次函数四大核心考点，整合2024-2026年山东各地中考真题及模拟题，情境融合乡村振兴、新能源、非遗文创等本土热点，凸显数形结合与数学建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约8题/3-4分|一次函数图象变换、性质判断、与反比例函数综合|基础题考查k/b符号与图象位置，提升题结合几何交点与参数范围分析| |填空题|约5题/3-4分|函数性质应用、解析式推导|含平移/轴对称变换后解析式推导，陷阱点设置端点取舍判断| |解答题|约12题/8-10分|实际应用、与方程不等式综合|应用题以行程/销售为载体，融入分段计费与最优方案设计，2026统考新增真实场景下的数学建模|

专题09 一次函数 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01一次函数的图象 2026 山东统考卷、2025 济南 / 青岛 / 潍坊卷、2024 烟台 / 淄博 / 济宁卷 以选择、填空题为主，分值 3-4 分。早年侧重 k、b 符号与图象位置的基础判断，2025 年起增多平移、轴对称变换后的解析式推导，常结合几何交点设题。2026 山东统考后新增分段函数图象识别，情境融入行程、工程等真实场景，选项多为正误判断，对读图分析与数形结合能力要求逐步提升，整体难度中等偏下。 考点02一次函数的性质 2026 山东统考卷、2025 威海 / 东营 / 临沂卷、2024 泰安 / 聊城 / 日照卷 覆盖选择、填空及解答小问，分值 3-6 分。核心考查增减性、坐标轴交点、k 与 b 的几何意义，早年以直接代入求值、判断增减趋势为主。2025 年后增多结合参数范围分析性质变化的题型，2026 统考后常与反比例函数综合考查性质对比，新增过定点问题与区间最值分析，对知识灵活运用的要求明显提高，题型区分度有所增强。 考点03一次函数与方程（组）、不等式 2026 山东统考卷、2025 淄博 / 滨州 / 菏泽卷、2024 济南 / 青岛 / 枣庄卷 以选择、填空及解答小问为主，分值 3-5 分。早年侧重利用图象完成方程解、不等式解集的基础转化，常结合方程组求解交点坐标。2025 年起增多参数型不等式解集与函数图象结合的题型，2026 统考后深化数形结合考查，常与动点、区间范围结合，需结合图象判断取值边界，陷阱点集中在端点取舍，对逻辑严谨性要求逐年提升。 考点04一次函数的实际应用 2026 山东统考卷、2025 济宁 / 烟台 / 东营卷、2024 潍坊 / 临沂 / 威海卷 以解答题为核心载体，分值 8-10 分，属于高频必考考点。早年以行程、销售利润等经典模型为主，常搭配二元一次方程组考查。2025 年起融入乡村振兴、新能源、非遗文创等山东本地热点情境，2026 统考后固定为中档解答题，新增分段计费、最优方案设计，结合不等式求最值，对数学建模与实际验根的要求显著提高，综合性持续增强。 考点01 一次函数的图象 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 二、填空题 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 三、解答题 4．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 5．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 考点02 一次函数的性质 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 二、多选题 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 三、填空题 5．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 一、解答题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2．（25-26九年级上·山东·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 4．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． （3）解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 5．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，补全表格：7；；7 (2)的取值范围为或； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 考点04 一次函数的实际应用 一、解答题 1．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． (2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解； （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 2．（2026·山东德州·中考真题）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； (3)若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 【答案】(1)3，35 (2) (3) 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解； （3）首先求出每小时的耗油量，然后求出汽车从加油站到目的地的时间，然后求出汽车到达目的地时的耗油量，然后求出剩余油量即可． 【详解】（1）解：由图象可得，汽车从出发到加油站行驶了3小时，在加油站加了升汽油； （2）解：设与时间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴与时间的函数关系式为； （3）解：∵汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同 ∴每小时的耗油量为 根据题意得，汽车从加油站到目的地的时间为， ∴汽车到达目的地时，耗油量为， ∴汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为． 3．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 4．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 5．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 7．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）设注水时间为x小时，根据蓄水池的底面积乘以水位的总高度，得出蓄水的总体积，再乘以每立方米的发电量，等于本次要求的发电量，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：设注水时间为x小时， 根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 8．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 一、单选题 1．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的性质，分和两种情况讨论它们图象的位置，从而确定正确选项． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，B选项符合； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，没有符合的选项， 综上，符合题意的选项为B． 2．（2026·山东淄博·二模）规定：对于某个函数，若自变量的取值范围为时，对应的函数值y全部满足：，其中是时对应的函数值，是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（     ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数增减性求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ，， 要求满足，即， 在，随的增大而增大， 的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间，， 在，随的增大而增大， 的范围是，，得， ， ， 不等式不成立，假设不成立，故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ，， 要求满足，即， 开口向上，对称轴为，在，随的增大而增大，的范围是，全部满足， 符合定义，故③正确； 对于④，当时，；当时，，函数的对称轴为， 在的最大值为，只需满足最小值大于等于， 开口向上，顶点在，当时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，可得，得，矛盾无解， 当且，即时，， 若是融值区间，则， ∴且， 解得，与矛盾，故此情况无解， 综上所述，，不是，故④错误； 综上，正确结论为②③． 3．（2026·山东济宁·一模）已知过点的直线不经过第四象限，，则w的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先利用直线过已知点得到k与b的关系式，再根据直线不经过第四象限的性质得到k和b的取值范围，将w转化为关于单个变量的一次函数，根据一次函数的增减性求w的最小值． 【详解】解：∵ 直线过点， ∴ 将点代入直线方程得 ，整理得 ， ∵ 直线不经过第四象限，可得 ，， 将代入，得 ，解得 ， 因此的取值范围为 ， ∵ ，将代入得： ， ∵ ， ∴ 随的增大而减小， ∴ 当取最大值时，取得最小值，代入得： ， 即的最小值为． 4．（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时，，令，则，解得：； 当时，，则； 当时，，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 5．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动12次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设移动中使用甲方式的次数为，根据平移规则分别得到与关于的表达式，消去参数即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：设次移动中使用了次甲方式，则使用了次乙方式， ∵起点坐标为，每次甲方式使增加，增加，每次乙方式使增加，增加， ∴， 整理得， 又∵， 将代入， 得， 化简得． 二、填空题 6．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕原点按顺时针方向旋转，所得直线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先找出原直线上两个已知点，利用旋转的性质得到两点旋转后的坐标，再用待定系数法求出旋转后直线的解析式． 【详解】解：如图，在原直线上取两点， 令得，得点； 令得，得点． 根据旋转的性质，旋转后对应点到原点的距离不变，原线段，， 将两点绕原点顺时针旋转后，A点到达图中C点位置，B点到达图中D点位置， ∴，，， 分别过C、D两点向y轴与x轴作垂线，垂足分别为E、F， ∴，，即． ，，即． 设旋转后所得直线解析式为， ∴， 解得， 将代入， 得． 因此所得直线的解析式为． 7．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 8．（2026·山东济南·二模），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 【答案】40 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两人离开地的距离与时间的函数解析式，再将分别代入两个解析式求出对应的距离，最后计算两人的距离差即可． 【详解】解：设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， 则， 则时，甲、乙两人相距． 9．（2026·山东济南·二模）甲、乙两人计划沿同一条笔直公路匀速骑行，甲先出发，骑行千米后，乙再从同一出发地沿同一方向出发．甲、乙两人各自到出发地的距离（）与乙的骑车时间（）的关系如图所示，则当乙追上甲时，乙到出发地的距离为____________． 【答案】 【分析】先根据图像信息求出甲、乙两人的距离与乙的骑行时间的函数关系式，再通过求两个函数的交点来确定追及时的时间，最后计算乙到出发地的距离． 【详解】解：设甲、乙两人的距离与乙的骑行时间的函数解析式分别为，根据图像信息：甲的图像过点和，代入得： ， 解得：， 所以， 乙的图像过点，代入得：， 解得， 所以， 当乙追上甲时，，即：， 解得，． 将代入，得 ， 答：当乙追上甲时，乙到出发地的距离为． 三、解答题 10．（2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，然后根据B的横坐标求出B的纵坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）先求出C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， ∴ 点． 将点，代入， 得 解得 一次函数的解析式为； （2）解：在一次函数中，令，则， 点， ． ， ． 11．（2026·山东潍坊·二模）如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． (1)求和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式即可计算，进而得到点坐标，设点横坐标为，则点坐标为，结合面积公式求出，继而得到点坐标，由此即可示得； （2）联立解析式可求得交点坐标，再结合图象可得x的取值范围． 【详解】（1） 一次函数过点， ∴ ，解得， ∴一次函数解析式为 ， 当时，， ∴点坐标为， ∴， 设点坐标为， ∵轴，在一次函数上， ∴点坐标为， ∴，其中，， 代入得： ， 整理得，解得或（舍去）， ∴点坐标为， 又∵在反比例函数上， ∴． （2）联立函数解析式， 解得或， ∴两个交点为和，结合图像性质可得： 当或． 12．（2026·山东临沂·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1． (1)求线段的长； (2)求点的坐标； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量取值范围． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用函数解析式求出点的坐标，然后根据坐标求出线段长度； （2）联立解析式求交点坐标； （3）根据函数图象以及交点坐标求自变量取值范围． 【详解】（1）解：已知点A的横坐标为1， 代入反比例函数，得， ， 代入一次函数，得， ， ； （2）解：联立解析式， 解得，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：一次函数值小于反比例函数值，即， 结合图像：当时，的图像在下方． 13．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)应选用A种食品3份，B种食品2份 (2)应选用A种食品2份，B种食品4份 【分析】（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品份，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设每份午餐的能量为，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，结合一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x份，B种食品y份， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； （2）解：设应选用A种食品m份，则选用B种食品份， 根据题意得：， 解得：， 设每份午餐的能量为， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 14．（2026·山东菏泽·二模）菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． (1)求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 【答案】(1)A款文创产品每件的进价90元，则B文创产品每件的进价是72元 (2)购进A款文创产品19件，购进B款文创产品81件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1552元 【分析】（1）设款文创产品每件的进价元，则款文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一元一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解. 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则款文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进 A 款文创产品x件，则购进 B款文创产品件，总利润为 W元． 由题意，得． 解之，得． ∵x 应为正整数， ∴x 最大取 19． ． ∵，W 随 x 的增大而增大， ∴当时，利润最大，W 最大， 此时 B 款：（件）． 答：购进 A 款文创产品 19 件，购进 B 款文创产品 81 件，才能使销售完后获得的利润 最大，最大利润是 1552 元． 15．（2026·山东潍坊·三模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系的图象如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)该小球滚动多长时间，速度为？ (3)求小球在整个运动过程中所滚动的路程．（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）． 【答案】(1) (2)1.5s或3.25s (3)14m 【分析】（1）先求出解析式得到点坐标，再用待定系数法求解析式； （2）分斜面加速（段）、水平面减速（段）两段分别列方程求时间； （3）根据题意：速度和时间图像与横轴围成三角形面积总路程，用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得， 解得， 所在直线的函数表达式为． （2）解：所在直线的函数表达式为， 当时，， 解得， 所在直线的函数表达式为； 依题意，当时，， 解得， 小球在滚动过程中速度为时所经历的时间为或． （3）解：点坐标为， 两条函数表达式图象与横轴围成的三角形面积为， 小球在整个运动过程中所滚动的路程为． 16．（2026·山东聊城·一模）“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】(1)18； (2)节省30元 (3)该经销商本次采购大蒜 【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案； （3）将代入求得x值即可． 【详解】（1）解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； （3）解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 试卷第1页，共3页 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01一次函数的图象 2026 山东统考卷、2025 济南 / 青岛 / 潍坊卷、2024 烟台 / 淄博 / 济宁卷 以选择、填空题为主，分值 3-4 分。早年侧重 k、b 符号与图象位置的基础判断，2025 年起增多平移、轴对称变换后的解析式推导，常结合几何交点设题。2026 山东统考后新增分段函数图象识别，情境融入行程、工程等真实场景，选项多为正误判断，对读图分析与数形结合能力要求逐步提升，整体难度中等偏下。 考点02一次函数的性质 2026 山东统考卷、2025 威海 / 东营 / 临沂卷、2024 泰安 / 聊城 / 日照卷 覆盖选择、填空及解答小问，分值 3-6 分。核心考查增减性、坐标轴交点、k 与 b 的几何意义，早年以直接代入求值、判断增减趋势为主。2025 年后增多结合参数范围分析性质变化的题型，2026 统考后常与反比例函数综合考查性质对比，新增过定点问题与区间最值分析，对知识灵活运用的要求明显提高，题型区分度有所增强。 考点03一次函数与方程（组）、不等式 2026 山东统考卷、2025 淄博 / 滨州 / 菏泽卷、2024 济南 / 青岛 / 枣庄卷 以选择、填空及解答小问为主，分值 3-5 分。早年侧重利用图象完成方程解、不等式解集的基础转化，常结合方程组求解交点坐标。2025 年起增多参数型不等式解集与函数图象结合的题型，2026 统考后深化数形结合考查，常与动点、区间范围结合，需结合图象判断取值边界，陷阱点集中在端点取舍，对逻辑严谨性要求逐年提升。 考点04一次函数的实际应用 2026 山东统考卷、2025 济宁 / 烟台 / 东营卷、2024 潍坊 / 临沂 / 威海卷 以解答题为核心载体，分值 8-10 分，属于高频必考考点。早年以行程、销售利润等经典模型为主，常搭配二元一次方程组考查。2025 年起融入乡村振兴、新能源、非遗文创等山东本地热点情境，2026 统考后固定为中档解答题，新增分段计费、最优方案设计，结合不等式求最值，对数学建模与实际验根的要求显著提高，综合性持续增强。 考点01 一次函数的图象 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 三、解答题 4．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 5．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 考点02 一次函数的性质 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 三、填空题 5．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 一、解答题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（25-26九年级上·山东·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 4．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 5．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 考点04 一次函数的实际应用 一、解答题 1．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 2．（2026·山东德州·中考真题）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； (3)若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 3．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 4．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 5．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 6．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 7．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 8．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 一、单选题 1．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·二模）规定：对于某个函数，若自变量的取值范围为时，对应的函数值y全部满足：，其中是时对应的函数值，是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（     ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3．（2026·山东济宁·一模）已知过点的直线不经过第四象限，，则w的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 4．（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 5．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动12次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕原点按顺时针方向旋转，所得直线的解析式为__________． 7．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 8．（2026·山东济南·二模），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 9．（2026·山东济南·二模）甲、乙两人计划沿同一条笔直公路匀速骑行，甲先出发，骑行千米后，乙再从同一出发地沿同一方向出发．甲、乙两人各自到出发地的距离（）与乙的骑车时间（）的关系如图所示，则当乙追上甲时，乙到出发地的距离为____________． 三、解答题 10．（2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 11．（2026·山东潍坊·二模）如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． (1)求和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 12．（2026·山东临沂·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1． (1)求线段的长； (2)求点的坐标； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量取值范围． 13．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 14．（2026·山东菏泽·二模）菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． (1)求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 15．（2026·山东潍坊·三模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系的图象如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)该小球滚动多长时间，速度为？ (3)求小球在整个运动过程中所滚动的路程．（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）． 16．（2026·山东聊城·一模）“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $