江西南昌市豫章中学2027届高三上学期7月阶段检测数学试题

**基本信息** 聚焦高三一轮基础巩固，融合数学思维与应用能力考查，覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题突出统计建模与新定义探究，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、二项式定理、向量、三角函数|基础概念辨析，如向量条件判断考查推理意识| |多项选择|3/18|函数性质、概率统计、立体几何|多角度能力评估，如函数极值与单调性综合判断| |填空|3/15|三角恒等变换、数列、椭圆|简洁计算，如椭圆离心率范围考查几何直观| |解答题|5/77|立体几何、统计、导数、椭圆、数列新定义|统计题结合海水浓度与亩产量数据，考查数据意识；数列“紧密数列”新定义，培养创新意识，贴合高考命题趋势|

南昌市豫章中学2027届高三7月阶段模拟测试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．36 8．已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 10．有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（     ） A． B． C． D． 11．已知四面体中，，则下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D．若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则________. 13．设等差数列的前项和为，若，，则__________． 14．已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出说明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 16．（15分）某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． (1)求，，的值； (2)请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 17．（15分）已知函数． (1)当时，求的单调区间以及极值； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 19．（17分）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $南昌市豫章中学2027届高三7月阶段模拟测试数学阅卷答案 1.C2.B3.A4.A5.D6.A7.B8.B 9.ABC 10.AC 11.ABD √21 12.513.1114.(3,+∞) BC 15.(1)连接 A B E D B 1BC中，D,E分别为4B,1C中点，： DEllBC 在 :DEc平面 BCC B BCBCC B ”平面 BCCB :DEW平面 CC=2 (2)由题意得， 在直三楼柱1BC-4BG中，∠4CB=90°，设 AC=BC=2t(t>0) ACCA BCCB 四边形 与四边形 是矩形， ,AC⊥BCAC⊥CCBC⊥CC 建立空间直角坐标系，如下图所示， C A B E A D B 得到12,00.B(0,2,0）.C00,0）.D,0).E0,） :.历=(0,1，，面ACC4的一个法向量为”=(0,10) :直线DE与平面 CCA 45° 所成的角为 设直线DE与平面 ACCA 所成的角为 ED.m 0+t×1+0 .sin=cosED,n= ED阿0+2+-}x0+1'+0 =sin45° 解得=l,÷1(2,00),B(0,20）,C0,0.0).DL1.0)E0,)） DEI面BCCB BCCB ·由几何知识得，DE到面 D=1 面 的距离为 16.1)F=3+4+5+6+7 =5 5 1 万=5×0.57+0.53+0.4+0.36+0.30)=0.44。 将6.0,4)代入5=-007x+a可符044=-0.07x5+0,即a=0.79 所以经验回归方程为)=-0.07x+0.79 因月=-0.07x5+0.79=0,4,则m=y-y=0,4-0,4=0 又因=-007×6+079=037，则”=y-4=036-037=001 2y-72=(-0.012+0.022+02+(-0.012+02=0.0006 所以决定系数R=1-006=09,故该模型拟合效果良好 0.051 17.(1)当a=1时，f()=e-x-2,定义域为(0，+w) f'(x)=e-1 令)k0,即e<1,解得r<0,令)小>0 ,即e>1,解得x>0, 所以”=/（四的单调递减区间为，0），单调递增区间为0+切) 当x=0时取得极小值，极小值为了0)=e°-0-！ 22,无极大值 （2)f'()=e+a-2.xe(←o,w) 当4-2≥0，即“≥2时，()>0恒成立，所以f(闪在®+)上单调递增，最多1个零 点，不符合题意 当a-2<0,即a<2时，令代)=0，即e+a-2=0,解得=ln(2-） 当=n(2-)时，f()k0当x>n(2-a时，f()>0 所以f(在区间←心，h(2-a刃上单调递减，在区间血(2-，+切)上单调递增 所以=血(2-a)是极小值点，也是最小值点， 且fa2-月-een+a-2he-or号-1=a-2yne-) 当→-时，儿国→切，当→时，f)→网 因为有两个不时的季点，所以2-》小0a-2)n(2-a)引<0 又因为a<2,所以h2-a)>0,解得a<2-c 所以a<2-Ve 综上所述，若/（四有两个不同的零点，口的取值范围为m,2-) -=1 18.(1)由已知95 ,则a2=9,b2=5，又a2=b2+c2, 得c=2,a=3, 故椭圆的离心率为e=C= a3; (2)由椭圆的标准方程为9+51】 则43,0，设P(）,则P=(6--）,=(-m 由 ,则3-=，解得 PA=MP -%=%-m Γ2 ，又，故 9 5 m2=15 m>0m=V15 (3)设B(,),C(3) 当立线率不在：皮这方为，期9-写司，-写 ∠BAC AB·AC=0 由 为直角，可得 a-写-写外.e-: 当斜率存在时，设直线，方程为y=:+m，联立 y=kx+m, 18km x1+x2= 5+9k2 整理得 ,可得 ① 9m2-45 (5+9k2)x2+18kmx+9m2-45=0 Xx2= 5+9k2 且<BAC 为直角，可得BAC=0 所以-3≤-3+y=0,即（-3s-3列+(c+m)+m）=0， 整理得+k)+(km-3g+)+m2+9=0 将0成尺入式得：+)5-6-如0+m+9=0, 化简得7m2+27km+18k2=0 整理得m+3)7m+6)=0,可得m=-3站或m=-9 71 当m=-3涨时，直线方程为”=(-3 ,此时直线过定点 3,0) 不符合题意，舍去， 当勿 60 7 时，直线方程为 此时直线过定点7” 符合题意。 绽上线1面议定专（仔0 19.)a,}是“紧密数列”.理由如下： 因为8=1 当≥2所.=1-门 ----rg 当m=1时，a=9=3,满足上述关系式， 3 又2号2，所以a是餐密数列 (2) 由(1)知， b.=c".a=c". ) 2c 所以{b}是以3为首项，3为公比的等比数列. 1<u1=2c≤2 因为数列凸}是“紧密数列”，所以2b。3 为的=地-2，即传-%亭4，售信-小0 解号-号合去)或答2，则后1,6=2， 2c_1 1×-2）-2-1 因此7.=1-2 故数列么的前”项和为2”-1