第十三章 三角形 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册.

**基本信息** 初中数学第十三章三角形单元巩固测试卷，通过选择、填空、解答题全面考查三角形核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形稳定性（第1题）、三边关系（第2题）、内角和（第3题）|结合生活情境（窗户固定）、动态变换（旋转三角板）| |填空题|6/18|等腰三角形边长（第12题）、角平分线性质（第14题）|易错点辨析（分类讨论边长）| |解答题|8/72|中线与高计算（第19题）、折叠变换（第20题）、角平分线推理（第24题）|分层设计（第23题三问递进）、动手操作（作高与平行线）|

第十三章 三角形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 2．小芳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成），下列哪根木条可以与前两根木条围成一个三角形（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据定理求出第三边的取值范围，再匹配选项得出结果． 【详解】设第三根木条长度为， 根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 化简得， 对比选项，只有在该范围内． 3．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 4．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 5．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 6．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：． 【详解】解：如下图所示，在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 8．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 9．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 10．如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式，代入与的面积，进而求出垂线段的长度． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， , , ， 故答案为：1． 12．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【答案】 /厘米 【分析】分两种情况讨论，分别以为腰长和为腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，即可得到第三边的长度． 【详解】 该三角形为等腰三角形，两边长分别为和， 分两种情况讨论： 情况一：若为腰长，则第三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去； 情况二：若为腰长，则第三边长为， ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 综上，这个等腰三角形的第三边长为． 13．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 14．如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC=________． 【答案】110°/110度 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得进而． 可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： 又∵BP平分CP平分 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解． 15．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 16．在中，高，所在直线相交于点（点不与点，，重合）．若，则________． 【答案】 或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的高，对顶角的性质，需要利用分类讨论思想，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况计算，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为锐角三角形时， ，是的高，， ∴， 在四边形中，， （对顶角相等）， ∴； 当为钝角三角形，且是钝角时， ，是的高， ∴，， ∴； 当为钝角三角形，且是钝角时， ，是的高， ∴，， ∴ ∴； 综上所述，或． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3； 【分析】根据垂线的定义，可得，从而得到，进而得到，，即可解答． 【详解】略 18．[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 19．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 20．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1) 解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 21．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由题意得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）利用等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴． 22．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 23．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)的度数为 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 2．小芳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成），下列哪根木条可以与前两根木条围成一个三角形（     ） A． B． C． D． 3．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 5．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A．B．C． D． 7．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 8．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则__________． 12．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 13．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 14．如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC=________． 15．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 16．在中，高，所在直线相交于点（点不与点，，重合）．若，则________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 18．[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 19．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 20．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 21．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，求的长． 22．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 23．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 24．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $