1.3集合的基本运算课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的并集、交集、补集运算，通过复习集合表示法与关系，结合超市进货等生活实例导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解集合运算的意义。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例，用Venn图和数轴培养数学思维的直观性，通过并集与交集性质对比、先化简再运算等方法强化逻辑推理，分层练习和高考题链接提升应用能力，助力学生发展数学语言表达，方便教师高效教学。

第一章　集合与常用逻辑用语 1.3　集合的基本运算 人教A版必修第一册　·　共2课时 1 第一课时 并集与交集 2 复习回顾 　　1.1节我们学会了写集合：列举法与描述法。1.2节学会了比集合：子集、真子集、相等。 　　两个实数可以相加，5＋7＝12。两个集合能不能"相加"？如果能，结果是什么？ 3 学习目标 1．理解并集的含义，会求两个简单集合的并集。 2．理解交集的含义，会求两个简单集合的交集。 3．能用Venn图和数轴表示集合的并集、交集。 4．知道A∪B＝A与B⊆A、A∩B＝A与A⊆B的对应关系。 4 导入 　　某超市进了两次货。第一次进的是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水，共6种；第二次进的是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面，共4种。 问　两次一共进了多少种货？是6＋4＝10种吗？ 明确　8种。圆珠笔和方便面两次都进了，合并的时候只算一次——这正是集合元素的互异性。 5 观察 (1)　A＝{4，5，6，8}，　B＝{3，5，7，8}，　C＝{3，4，5，6，7，8} (2)　A＝{x|x是有理数}，　B＝{x|x是无理数}，　C＝{x|x是实数} 问　每组中，集合C与集合A、B有什么关系？ 明确　C由A和B的元素合起来组成。 6 并集 　　一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，读作"A并B"。 A∪B＝{x | x∈A，或x∈B} 　　记号提示：∪开口朝上，像一只杯子，装得多——是并集。 7 关键字·或 问　x∈A∪B，有哪几种可能？ 明确　三种：只属于A；只属于B；既属于A又属于B。 数学中的"或"是可兼的——公共元素属于并集。这与日常说的"要么吃面要么吃饭"那种排他的"或"不同。 8 Venn图·并集 A B 　　两个圆覆盖的全部区域就是A∪B——中间重叠的那块也在里面。 9 例1 问　设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，求A∪B。 解　A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}。 公共元素5、8只写一次（互异性）；按从小到大排，便于检查。 10 想一想 问　A有4个元素，B有4个元素，A∪B有几个元素？是4＋4＝8吗？ 明确　只有6个。公共的5、8被重复计算了。 一般的计数规律见教材第15页"阅读与思考　集合中元素的个数"，有兴趣的课后读。 11 例2 问　设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B。 －1 1 2 3 A B 解　A∪B＝{x|－1＜x＜3}——数轴上两段合起来盖住的部分。 12 练一练 问　设A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，求A∪B。 明确　A∪B＝{x|x＜0或x＞1}。 两段不重叠时，并集写成"或"连接的形式，不能强行写成一个区间。 13 并集的性质 A∪A＝A　　　A∪∅＝A　　　A∪B＝B∪A A⊆(A∪B)　　　B⊆(A∪B) A∪B＝A　⟺　B⊆A 　　最后一条最有用：并起来还等于A，说明B没带来新元素，即B被A包住。含参问题常从这里入手。 14 练一练 问　已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，求A∪B。 明确　先化简B：(x＋1)(x－2)＜0得－1＜x＜2，又x∈Z，故B＝{0，1}。 A∪B＝{1，2，3}∪{0，1}＝{0，1，2，3}。 －1和2都取不到（严格不等号），别把端点算进去。 15 方法·先化简，再运算 　　题面给的集合常常是描述法写的：{x|x²＋2x＝0}、{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}。这类集合不能直接拿来做运算，第一步一律先化简——解方程、解不等式，把集合具体化成列举形式或区间形式。 　　这一步做熟了，高考选择题第1题就是三十秒的事。 16 练一练 问　已知A＝{－1，0，1，2，3，4，5}，B＝{x|－3＜x＜4}，求A∩B。 明确　A是一串具体的数，B是一段区间。把A的元素逐个拿去问：在不在－3与4之间？ A∩B＝{－1，0，1，2，3}。4不满足x＜4，落选。 17 两个集合的三种位置 相交——有公共元素，A∩B是重叠的那块。 包含——A画在B里面，此时A∩B＝A，A∪B＝B。 相离——没有公共元素，A∩B＝∅，A∪B是分开的两块。 　　做题前先想"这两个集合是哪种位置"，比闷头套定义快。 18 换个角度 　　还是A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}。刚才看的是"合起来"，现在看另一处——它们的公共部分。 问　A与B的公共元素有哪些？ 明确　5和8。由它们组成的集合{5，8}，就是下面要学的交集。 19 交集 　　一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作"A交B"。 A∩B＝{x | x∈A，且x∈B} 　　∩开口朝下，取的是公共部分——是交集。关键字"且"，说人话就是"既……又……"。 20 Venn图·交集 A B 　　中间重叠的那块就是A∩B。 21 例3 问　设A＝{x|x是参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是参加跳高比赛的同学}，求A∩B。 解　A∩B就是既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合。 22 例4 问　设直线l₁上点的集合为L₁，直线l₂上点的集合为L₂，试用集合的运算表示l₁、l₂的位置关系。 　　两条直线的位置关系有几种？各种情形下，它们的公共点是什么？小组讨论两分钟。 23 例4·解 解　相交于一点P：L₁∩L₂＝{点P}； 平行：L₁∩L₂＝∅； 重合：L₁∩L₂＝L₁＝L₂。 注意　两条平行线有交集，它们的交集是空集。没有公共元素时结果为∅，这是正常的运算结果，不能说"没有交集"。 24 练一练 问　设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∩B。 －1 1 2 3 A B 明确　A∩B＝{x|1＜x＜2}——两段重叠的部分。求并看"合起来盖住哪里"，求交看"重叠在哪里"。 25 端点，逐个验 问　设A＝{x|x≤2}，B＝{x|x＞2}，求A∩B与A∪B。若B改成{x|x≥2}呢？ 明确　原题：A∩B＝∅（2属于A、不属于B），A∪B＝R。 若B＝{x|x≥2}：A∩B＝{2}，A∪B＝R。 一个端点的开闭就改变了答案。做题时把每个端点单独问一遍：它在A里吗？在B里吗？在结果里吗？ 26 交集的性质 A∩A＝A　　　A∩∅＝∅　　　A∩B＝B∩A (A∩B)⊆A　　　(A∩B)⊆B A∩B＝A　⟺　A⊆B 　　与并集那条对照记：并集等于大的那个，交集等于小的那个。 27 并与交，对照着记 并集A∪B——"或"，合起来，结果比A、B都大（A⊆A∪B）。 交集A∩B——"且"，公共部分，结果比A、B都小（A∩B⊆A）。 A∪B＝A说明B没带来新东西，即B⊆A； A∩B＝A说明A整个都在B里，即A⊆B。 28 练一练 问　满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是哪些？ 明确　A中必须含5（否则并集里没有5），且不能有1、3、5以外的元素。 所以A可以是{5}、{1，5}、{3，5}、{1，3，5}。 这类"由运算结果反推集合"的题，从"必须含什么、不能含什么"两头想。 29 ★算一算（优生班） 问　取A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{1，3，6}，算出(A∩B)∩C与A∩(B∩C)，再算(A∪B)∪C与A∪(B∪C)。 明确　(A∩B)∩C＝{3}，A∩(B∩C)＝{3}； (A∪B)∪C＝{1，2，3，4，5，6}，A∪(B∪C)＝{1，2，3，4，5，6}。 两组各自相等——交、并都满足结合律，连续求交或求并不必加括号。集合运算和实数运算一样有章可循。 30 当堂检测（一） 限时完成学案第1、2题 问　1．设A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，求A∩B与A∪B。 问　2．设M＝{x|x²＋2x＝0}，N＝{x|x²－2x＝0}，则M∪N＝？ 答案　1．A∩B＝{5，8}；A∪B＝{3，4，5，6，7，8}。 答案　2．M＝{0，－2}，N＝{0，2}，M∪N＝{－2，0，2}。先解方程，再合并。 31 当堂检测（二） 问　3．设A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜5}，求A∩B与A∪B。 问　4．已知A＝{x|x≤2}，B＝{x|x＞2}，求A∩B与A∪B。 答案　3．A∩B＝{x|1＜x≤3}；A∪B＝{x|－2≤x＜5}。 答案　4．A∩B＝∅；A∪B＝R。2这个点只在A里，所以不在交集里。 32 第一课时小结 两种运算： 　并集A∪B——关键字"或"，可兼，公共元素也算进去。 　交集A∩B——关键字"且"，既……又……。 两件工具：Venn图看关系，数轴算区间。 两条对应：A∪B＝A ⟺ B⊆A；A∩B＝A ⟺ A⊆B。 33 课时作业 1．课时作业第一课时A组（第1～8题）：全体必做。 2．B组（第9～11题）：优生班必做，普通班选做。第9题解出m后记得代回检验互异性。 3．预习第二课时，想一想：在{1，2，3，4，5}这个范围内，集合{1，2}"剩下的部分"是什么？换成{1，2，3}呢？ 34 第二课时 全集与补集 35 复习回顾 问　A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，求A∪B与A∩B。 明确　A∪B＝{1，2，3，4}；A∩B＝{2，3}。 　　这节课学第三种运算。 36 想一想 问　在{1，2，3，4，5}这个范围内，集合A＝{1，2}以外"剩下的部分"是什么？如果范围换成{1，2，3}呢？ 明确　分别是{3，4，5}和{3}。 同一个A，"剩下的部分"随讨论范围而变。所以要先把范围说清楚——这个范围就叫全集。 37 全集 　　如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 　　全集是相对的，随问题而定：讨论有理数与无理数时，全集取实数集R；只在五个数里讨论问题时，全集就是那个五元集。没有一个绝对的、包罗万象的全集。 38 补集 　　对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为A相对于全集U的补集，记作∁_U A。 ∁_U A＝{x | x∈U，且x∉A} 　　读作"A在U中的补集"。补集必须指明相对于哪个全集——脱离全集谈补集没有意义。 39 Venn图·补集 U A 　　矩形表示全集U，圆表示A，圆外矩形内的深色部分就是∁_U A。 40 两条基本关系 问　把A与∁_U A拼起来是什么？它们有没有公共元素？ 明确　A∪(∁_U A)＝U　　　A∩(∁_U A)＝∅ 这两条是补集运算的依据，也是最快的自检工具——算完补集，拼一拼、交一交，对不上就是算错了。 41 例5 问　设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁_U A，∁_U B。 　　动手之前先想：第一步该做什么？ 第一步　把全集的元素写出来：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}。全集没写清就动手，必错。 42 例5·解 解　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， ∁_U A＝{4，5，6，7，8}， ∁_U B＝{1，2，7，8}。 自检　把A与∁_U A拼起来是U，交起来是∅——对上了。 43 例6 问　设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}。求A∩B，∁_U(A∪B)。 解　A∩B＝∅——一个三角形不可能既是锐角三角形又是钝角三角形。 A∪B是所有斜三角形组成的集合，所以∁_U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}。 44 区间型集合求补集 问　全集U＝R，A＝{x|x＜1}，∁_R A是什么？ 1 A ∁A 明确　∁_R A＝{x|x≥1}。1不在A里，所以在补集里——端点由开变闭。答{x|x＞1}是本节头号错误。 45 端点开闭，互换 问　求∁_R{x|－2≤x≤3}，∁_R{x|x＜－1或x＞4}。 明确　∁_R{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2或x＞3}； ∁_R{x|x＜－1或x＞4}＝{x|－1≤x≤4}。 闭变开、开变闭，每个端点单独验一遍。 46 全集不是R的时候 问　若全集U＝{x|x≤4}，那么∁_U{x|0≤x≤3}是什么？ 明确　{x|x＜0或3＜x≤4}。 补集只在全集内取，右端要卡在4上。写成"x＞3"就跑出全集了——补集永远是全集的子集。 47 补集的性质 ∁_U U＝∅　　　　∁_U ∅＝U ∁_U(∁_U A)＝A　　（补集的补集是它自己，与"负负得正"同构） A∪(∁_U A)＝U　　A∩(∁_U A)＝∅ 48 练一练 问　设A＝{x∈N|－1≤x＜7}，B＝{x∈N₊|－1＜x≤5}，求∁_A B。 明确　先具体化：A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2，3，4，5}（N₊不含0）。 这里的全集是A，从A中去掉B的元素，∁_A B＝{0，6}。 全集未必是R或U，题目说是谁就是谁。 49 读韦恩图 　　图中画着全集U和两个集合A、B，某块区域被涂了阴影，问阴影表示哪个集合——先把阴影翻译成运算式子： 　　在A内、在B外　→　A∩(∁_U B) 　　在A外、在B外　→　(∁_U A)∩(∁_U B)，即∁_U(A∪B) 　　重叠部分之外的全部　→　∁_U(A∩B) 50 混合运算 　　并、交、补放在一起，会出现∁_U(A∩B)、(∁_U A)∪B这类式子。运算顺序：先算括号内，再算括号外。 　　看清∁的作用范围： 　　∁_U(A∩B)——先求交，再求补； 　　(∁_U A)∩B——先求A的补，再与B求交。 　　两者完全不同。 51 例7 问　已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，求(∁_U A)∪B。 解　∁_U A＝{0，4}， (∁_U A)∪B＝{0，4}∪{2，4}＝{0，2，4}。 先补后并，公共元素4只写一次。 52 ★算一算（优生班） 问　设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}。分别求∁_R(A∩B)、∁_R(A∪B)、(∁_R A)∩(∁_R B)、(∁_R A)∪(∁_R B)。 　　小组分工，每组算两个式子，四分钟后汇总到黑板上并排写出来对比。 53 ★算一算·结果 解　A∩B＝{x|3＜x＜5}，∁_R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}； A∪B＝R，∁_R(A∪B)＝∅； ∁_R A＝{x|x≥5}，∁_R B＝{x|x≤3}； (∁_R A)∩(∁_R B)＝∅，(∁_R A)∪(∁_R B)＝{x|x≤3或x≥5}。 54 ★德摩根律 问　把四个结果并排看，发现了什么？ 明确　∁_R(A∩B)＝(∁_R A)∪(∁_R B) ∁_R(A∪B)＝(∁_R A)∩(∁_R B) 教材没有正式命名，但练习里经常用到。口诀：补进括号，交并互换。 55 含参数的运算问题 问　已知集合A＝{x|1＜x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围。 　　先问自己一句：A∪B＝A说明A、B是什么关系？ 第一步　翻译：A∪B＝A　⟺　B⊆A。翻译方向弄反，后面全错。 56 含参·解答 解　由A∪B＝A得B⊆A。 在数轴上：A要包住B，右端必须够到2，所以a≥2。 检验a＝2：A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜2}⊆A成立，等号保留。 故a的取值范围是{a|a≥2}，即[2，＋∞)。 57 方法·含参三步 第一步　翻译：A∪B＝A即B⊆A；A∩B＝A即A⊆B；A∩B＝∅即两段不重叠。 第二步　画数轴：把两个集合画出来，比端点。 第三步　验端点：等号能不能取，代回原集合看一眼。 　　A∩B＝∅型放在作业B组，讲评课再展开。 58 高考怎么考 问　设全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{2，5}，求N∪∁_U M。（2023年全国甲卷） 明确　∁_U M＝{2，3，5}， N∪∁_U M＝{2，5}∪{2，3，5}＝{2，3，5}。 两步走：先补后并。步骤简单，但全集不列清楚就容易漏元素。 59 高考怎么考 问　设U＝R，M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}等于下列哪一个？（2023年全国乙卷） 明确　M∪N＝{x|x＜2}，所以∁_U(M∪N)＝{x|x≥2}——就是它。 这类题把四个选项各算一遍再比对，稳当。练熟了三十秒能做完。 60 当堂检测 问　1．U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，求∁_U(A∩B)。 问　2．∁_R{x|x≤－3}＝？　　3．U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，求(∁_U A)∩(∁_U B)。 答案　1．A∩B＝{2，3}，∁_U(A∩B)＝{1，4}。 答案　2．{x|x＞－3}（端点互换）。3．{0，4}——也可用德摩根律：等于∁_U(A∪B)。 61 易错提醒 1．求补集第一步：把全集的元素写清楚。 2．区间求补，端点开闭互换——∁_R{x|x＜1}＝{x|x≥1}。 3．全集不是R时，补集要卡在全集边界上。 4．∁_U(A∩B)与(∁_U A)∩B完全不同，看清∁管到哪里。 5．含参问题先翻译再画图，解出的值代回检验。 62 本章小结 1.1　写集合——列举法、描述法 1.2　比集合——子集、真子集、相等 1.3　算集合——并集、交集、补集 三节合起来，就是一套完整的集合语言。下一节转入常用逻辑用语。 63 课时作业 1．课时作业第二课时A组（第1～8题）：全体必做。 2．B组（第9～11题）：优生班必做，普通班选做。第11题算完四个式子记得并排对比。 3．预习1.4节充分条件与必要条件。 64 下节课见 1.4　充分条件与必要条件 65 $