第一章 二次函数（5考点+15易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学二次函数单元知识清单系统梳理了二次函数的定义、图象性质、解析式、几何变换、区间最值及应用、与方程不等式综合等核心内容，搭建了从基础概念到性质分析再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过分类呈现知识体系，如将二次函数性质按不同解析式形式用表格对比开口方向、顶点坐标等，培养几何直观与抽象能力。特设15个易错点专项模块，每个易错点配“提醒+对点训练”，如“二次函数定义中a≠0”的细节提醒及对应选择题，帮助学生精准突破难点，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

第一章 二次函数 知识点一 二次函数的图象、性质和解析式 1.1二次函数的定义 1．定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零。 1.2二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点。 2．二次函数的性质： （1）函数的图象与a的符号关系 ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点； ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大。 （2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴） a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0． 向下 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0． 3．二次函数的性质 a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, c) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c． 向下 (0, c) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c． 4．二次函数()的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k． 向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k． 5．二次函数的性质 配方：二次函数 a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值． 向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值． 注意：二次函数与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：； （2）与x轴的交点：使方程成立的x值。 1.3二次函数的解析式 1．一般式： 已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式。 2．顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式。 3．交点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式。 4．对称式： 已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式。 注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化． 知识点二 二次函数的图象判断和几何变换 2.1二次函数的图象判断 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；反之亦然。 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧。 （3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴。 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性； （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性； （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性； （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性； （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式； （7）根据抛物线的顶点，判断的大小。 2.2二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”。 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。 （1）关于x轴对称 关于x轴对称后，得到的解析式是． 关于x轴对称后，得到的解析式是． （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是． 关于y轴对称后，得到的解析式是． （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是． 关于原点对称后，得到的解析式是． （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是． 关于顶点对称后，得到的解析式是 （5）关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到。 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方。 知识点三 二次函数的区间最值及应用 3.1二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值） （1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值。 （2）若，如图②，当，；当，． （3）若，如图③，当，；当，． （4）若，，如图④，当，；当，． 2．动轴或动区间 对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小。 3.2二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 知识点四 二次函数的线段以及面积最值 4.1二次函数的线段最值 1．定点在同侧，需要对称转化为异侧； 2．动线段端点不重合，需要平移转化到同一点。 4.2二次函数的面积最值 1．铅垂法：． 分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长； （3）利用二次函数配方求最值． 2．切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使。 知识点五 二次函数和方程、不等式综合 5.1二次函数和方程综合 1．函数和二次函数的交点 （1）交点求解，联立方程组，并代入求解． （2）交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式（）． （3）交点关系，联立方程组，看判别式（），再用韦达定理． 2．一元二次方程的解也可以看成函数和二次函数的交点的横坐标。 5.2二次函数和不等式综合 1．数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式。 2．根的分布： 一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的。 （1）0分布或k分布 （2）区间分布 易错点1 二次函数的定义与自变量取值范围 易错提醒 1.判断是否为二次函数，必须化简后写成y=ax²+bx+c 的形式，其中a≠0。 2.含字母参数时，要特别注意二次项系数不能为0，否则可能降次。 3.实际问题中的自变量取值范围不能只由解析式确定，还要结合长度、数量、时间等实际条件确定。 【对点训练】1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 易错点2 根据条件确定二次函数解析式 易错提醒 1.点在函数图象上，意味着将代入解析式。 2.已知顶点优先设顶点式，已知与 x 轴交点优先设交点式，已知一般条件可设一般式。 3.求出解析式后要回代检验，并注意二次项系数必须满足a≠0。 【对点训练】2．（24-25九年级上·河南周口·期中）形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线相同， ， 则， 故选：A． 易错点3 二次函数 y=ax2的图象与性质 易错提醒 1.a>0时开口向上，a<0时开口向下。 2.比较抛物线开口大小时，应比较∣a∣的大小，而不是直接比较 a 的大小。 3.函数的增减性要结合对称轴判断，不能简单认为 x 越大，y 就越大。 【对点训练】3．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大。 易错点4 二次函数图象的平移 易错提醒 1.向左平移 h 个单位，解析式变为 y=a(x+h)2；向右平移 h 个单位，变为 y=a(x−h)2。 2.向上平移加常数，向下平移减常数。 3.判断平移后的图象位置时，先确定顶点坐标，避免“左加右减”混淆。 【对点训练】4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的特点，结合平移规律、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法，逐一分析选项即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律“左加右减”，向左平移个单位长度，得到，故选项A错误，不符合题意； ∵抛物线为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 令，得， ∴该抛物线与轴交于，与y轴存在交点，故选项C错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为，不是，故选项D错误，不符合题意． 易错点5 一般式、顶点式与交点式的相互转化 易错提醒 1.一般式 、顶点式 和交点式 的用途不同，要根据题目条件灵活选择。 2.顶点式中顶点坐标为(h,k)，括号内的符号容易判断错误。 3.交点式中的 是与 x 轴交点的横坐标，不能误写成相反数。 【对点训练】5．（2025·山东济宁·模拟预测）若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象如图所示，与轴的一个交点的横坐标为，下列说法中正确的个数有（ ） ①； ②； ③一次函数经过第一、二、三象限； ④多项式可因式分解为； ⑤当时，关于的方程有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线和轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键． 根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断；根据抛物线的顶点为，，利用顶点公式可判断；求得，，利用右侧函数的性质可判断；把解析式化成顶点式，可判断；根据二次函数的最值可判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 二次函数可通过配方法转化为顶点式， 对称轴为直线，顶点为， ， ， 抛物线交轴的正半轴， ， ，故正确； 抛物线的顶点为，， ，故错误； 该函数图象与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 抛物线与轴的一个交点的横坐标为， ， ， 一次函数第一、三象限，故错误； 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， ， 多项式可因式分解为，故错误； ，， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 函数的最大值为， 当时，抛物线与直线有交点， 关于的方程有实数根，故正确． 故正确的有个， 故选：B． 易错点6 二次函数的顶点、对称轴与最值 易错提醒 1.顶点横坐标就是对称轴的横坐标，纵坐标需要代入函数解析式求得。 2.a>0 时顶点取得最小值，a<0 时顶点取得最大值。 3.若自变量有取值范围，必须判断顶点是否在该范围内。 【对点训练】6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）对二次函数及其图像的描述正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．最小值为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先将一般式配成顶点式，再结合二次函数的开口方向、顶点坐标、最值及增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴其函数图像开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意； ∵该函数图像开口向上， ∴函数有最小值，故C选项错误，不符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 易错点7 二次函数的增减性与函数值比较 易错提醒 1.a>0 时，函数在对称轴左侧递减、右侧递增；a<0 时相反。 2.比较 与 时，不能只根据 判断大小。 3.若两个自变量位于对称轴两侧，应结合它们到对称轴的距离进行判断。 【对点训练】7．（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据题意得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分，和三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴①若，时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ③若时，当时，取得最小值为，不是7， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，的值为或6， 故选：D． 易错点8 利用二次函数的对称性比较函数值 易错提醒 1.关于对称轴对称的两个点，纵坐标相等。 2.若对称轴为 x=h，两个横坐标关于对称轴对称的条件为 3.不能把“横坐标互为相反数”直接等同于“函数值相等”，只有关于对称轴对称时才成立。 【对点训练】8．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，需先确定抛物线的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性或点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 又∵， ∴， 故选：B． 易错点9 利用图象判断 a,b,c 及判别式的符号 易错提醒 1.a 的符号由抛物线开口方向确定。 2.c=f(0)，其符号由抛物线与 y 轴交点的位置确定。 3.对称轴的位置可结合 a 的符号判断 b 的符号。 4. Δ 的符号由抛物线与 x 轴的交点个数确定。 【对点训练】9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 易错点10 二次函数图象与 x 轴交点的判断 易错提醒 1.Δ>0 时与 x 轴有两个交点，Δ=0 时有一个交点，Δ<0时没有交点。 2.“有交点”对应 Δ≥0，“有两个不同交点”对应 Δ>0。 3.与 x 轴的交点横坐标是方程 ax2+bx+c=0 的根，交点坐标还要写出纵坐标0。 【对点训练】10．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 易错点11 由二次函数图象判断不等式的解集 易错提醒 1.f(x)>0 表示图象在 x 轴上方，f(x)<0 表示图象在 x 轴下方。 2.先判断开口方向，再确定函数值的正负区间。 3.“>、<”不包含与 x 轴的交点，“≥、≤”包含交点。 4.没有交点时，要结合开口方向判断函数值恒正或恒负。 【对点训练】11．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 易错点12 二次函数与一元二次方程的关系 易错提醒 1.方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标。 2.两个不相等的实根、两个相等的实根、没有实根，分别对应两个交点、一个交点、没有交点。 3.要区分“方程的根”和“交点坐标”：根是横坐标，交点坐标还包括纵坐标0。 【对点训练】12．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，，三点，下列结论： ① ②当时，函数值随自变量的增大而增大 ③当时，的取值范围是 ④方程有两个相等的实数解 其中正确的有（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故①正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故②错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是，故③正确； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故④正确． 易错点13 二次函数图象与直线的交点问题 易错提醒 1.联立二次函数与直线的解析式，所得方程的根就是两个图象交点的横坐标。 2.两图象有两个交点、一个交点、没有交点，分别对应联立方程有两个不等实根、两个相等实根、没有实根。 3.相切问题通常对应联立方程的判别式等于0。 4.求出横坐标后，还要代入函数解析式求纵坐标。 【对点训练】13．（2026·安徽淮南·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】首先求出直线的表达式为，然后和抛物线联立得到，然后根据判别式求出，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 将直线和二次函数联立得，，即， 整理得，， ∵直线与抛物线有两个交点， ∴， 解得， 当时，抛物线开口向下 ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得： ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵抛物线与线段有两个不同的交点， ∴当时，；当时，， ∴， 解得． 综上a的取值范围为：或． 易错点14 实际问题中的二次函数最值 易错提醒 1.建立函数关系式后，必须结合实际意义确定自变量的取值范围。 2.求最值时，先确定对称轴和顶点，再判断顶点是否在自变量取值范围内。 3.若顶点不在取值范围内，应结合函数的增减性或比较端点函数值确定最值。 4.最终答案还要符合实际意义，注意单位以及长度、数量等不能为负。 【对点训练】14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 易错点15 实际问题中二次函数关系式的建立 易错提醒 1.先分析题目中的数量关系，再设自变量和表示其他量，不能直接套用二次函数公式。 2.“增加”“减少”“扩大”“缩短”等关键词容易导致代数式符号错误，应先用文字理清数量关系。 3.列出函数关系式后，要检查二次项系数的符号和函数关系是否符合实际变化趋势。 4.建立模型后必须结合实际条件确定自变量的取值范围。 【对点训练】15．（2026·河南周口·模拟预测）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点在上运动时，即： ； 综上分析可知，选项C中的函数图象符合题意． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）下列说法错误的是（ ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 2．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（ ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 4．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 5．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 二、填空题 6．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【答案】2 【分析】由、两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图像上有两点，，两点纵坐标相等， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得． 7．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离：，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得， 不能取，且时， ， 当时，的取值范围为． 8．（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 9．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 10．（2026·江苏徐州·二模）某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 【答案】 【分析】飞机停下来时滑行距离取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，求出顶点横坐标即可得到停下所需的时间． 【详解】解：整理函数得 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应飞机停下的时刻， 二次函数的顶点横坐标为， 将 代入得， 即该型号飞机着陆后需要滑行才能停下来． 三、解答题 11．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转90°，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转90°，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 12．（2026·浙江金华·三模）已知二次函数（，为常数）． (1)若二次函数图象过点，，求二次函数的解析式． (2)点，在二次函数的图象上； ①若点、是二次函数图象与轴的交点，且，，求的值； ②若，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）①二次函数图象与轴的交点可得出，展开与二次函数的字母一一对应，进而可求出的值． ②根据的正负分类，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：①二次函数图象与轴的交点为，， 则可转化为，即， ，， 解得，． ②对称轴为直线， 当时，则，抛物线开口向上，点在对称轴右边，随的增大而增大，满足； ， ，解得， ； 当时，则， 若，点在对称轴右边，随的增大而减小，则，不符合题意； 若，即，点关于对称轴对称的点是， ， ，解得， ， 综上所述：或． 13．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴． (2)当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到或，解不等式组即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在内， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∵当时，y的最大值和最小值的差为4， ∴， 解得：； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时，， 解得：； 当在右侧时，， 解得：； ∴或． 14．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 【答案】(1)， (2)函数图象如图所示： 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出，进而分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，则， ∵在中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴综上可知：； （2）解：描点如下： x 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 所作函数图象（略）；性质略（答案不唯一）； （3）解：由函数图象，当时，x的取值范围是或． 15．（2026·湖南长沙·三模）我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． (1)已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． (2)已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． (3)在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)点不是二次函数的“对称点”，理由如下： ∵二次函数的顶点坐标为， ∴，， ∴，故点不是二次函数的“对称点”． (2) (3) 【分析】（1）根据“对称点”的定义判断即可． （2）先把二次函数一般式化成顶点式，得出顶点坐标，根据二次函数过原点得出，再根据“对称点”的定义得出，根据“对称距”为4，分别求出对应的a的值，最后将a的值代入，即可求出m的值，最后根据得出m的值即可． （3）根据（2）得出，，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴顶点坐标为． ∵函数G的图象经过原点，∴． 由题意可知：，， ∴． ∵函数的“对称距”为4，即， ∴或． 当时，． 将代入，得， 解得或（舍去）； 当时，． 将代入， 得，， ∴无实数解． 综上，； （3）解：由（2）可知：，， ∴． ∵， ∴． ∵对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 当或3时，y有最大值，最大值为， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 知识点一 二次函数的图象、性质和解析式 1.1二次函数的定义 1．定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零。 1.2二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点。 2．二次函数的性质： （1）函数的图象与a的符号关系 ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点； ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大。 （2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴） a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0． 向下 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0． 3．二次函数的性质 a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, c) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c． 向下 (0, c) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c． 4．二次函数()的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k． 向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k． 5．二次函数的性质 配方：二次函数 a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值． 向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值． 注意：二次函数与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：； （2）与x轴的交点：使方程成立的x值。 1.3二次函数的解析式 1．一般式： 已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式。 2．顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式。 3．交点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式。 4．对称式： 已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式。 注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化． 知识点二 二次函数的图象判断和几何变换 2.1二次函数的图象判断 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；反之亦然。 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧。 （3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴。 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性； （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性； （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性； （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性； （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式； （7）根据抛物线的顶点，判断的大小。 2.2二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”。 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。 （1）关于x轴对称 关于x轴对称后，得到的解析式是． 关于x轴对称后，得到的解析式是． （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是． 关于y轴对称后，得到的解析式是． （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是． 关于原点对称后，得到的解析式是． （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是． 关于顶点对称后，得到的解析式是 （5）关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到。 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方。 知识点三 二次函数的区间最值及应用 3.1二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值） （1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值。 （2）若，如图②，当，；当，． （3）若，如图③，当，；当，． （4）若，，如图④，当，；当，． 2．动轴或动区间 对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小。 3.2二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 知识点四 二次函数的线段以及面积最值 4.1二次函数的线段最值 1．定点在同侧，需要对称转化为异侧； 2．动线段端点不重合，需要平移转化到同一点。 4.2二次函数的面积最值 1．铅垂法：． 分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长； （3）利用二次函数配方求最值． 2．切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使。 知识点五 二次函数和方程、不等式综合 5.1二次函数和方程综合 1．函数和二次函数的交点 （1）交点求解，联立方程组，并代入求解． （2）交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式（）． （3）交点关系，联立方程组，看判别式（），再用韦达定理． 2．一元二次方程的解也可以看成函数和二次函数的交点的横坐标。 5.2二次函数和不等式综合 1．数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式。 2．根的分布： 一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的。 （1）0分布或k分布 （2）区间分布 易错点1 二次函数的定义与自变量取值范围 易错提醒 1.判断是否为二次函数，必须化简后写成y=ax²+bx+c 的形式，其中a≠0。 2.含字母参数时，要特别注意二次项系数不能为0，否则可能降次。 3.实际问题中的自变量取值范围不能只由解析式确定，还要结合长度、数量、时间等实际条件确定。 【对点训练】1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ） A．3 B．-1 C． D．4 易错点2 根据条件确定二次函数解析式 易错提醒 1.点在函数图象上，意味着将代入解析式。 2.已知顶点优先设顶点式，已知与 x 轴交点优先设交点式，已知一般条件可设一般式。 3.求出解析式后要回代检验，并注意二次项系数必须满足a≠0。 【对点训练】2．（24-25九年级上·河南周口·期中）形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（ ） A． B． C． D． 易错点3 二次函数 y=ax2的图象与性质 易错提醒 1.a>0时开口向上，a<0时开口向下。 2.比较抛物线开口大小时，应比较∣a∣的大小，而不是直接比较 a 的大小。 3.函数的增减性要结合对称轴判断，不能简单认为 x 越大，y 就越大。 【对点训练】3．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（ ） A． B． C． D．无法确定 易错点4 二次函数图象的平移 易错提醒 1.向左平移 h 个单位，解析式变为 y=a(x+h)2；向右平移 h 个单位，变为 y=a(x−h)2。 2.向上平移加常数，向下平移减常数。 3.判断平移后的图象位置时，先确定顶点坐标，避免“左加右减”混淆。 【对点训练】4．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 易错点5 一般式、顶点式与交点式的相互转化 易错提醒 1.一般式 、顶点式 和交点式 的用途不同，要根据题目条件灵活选择。 2.顶点式中顶点坐标为(h,k)，括号内的符号容易判断错误。 3.交点式中的 是与 x 轴交点的横坐标，不能误写成相反数。 【对点训练】5．（2025·山东济宁·模拟预测）若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象如图所示，与轴的一个交点的横坐标为，下列说法中正确的个数有（ ） ①； ②； ③一次函数经过第一、二、三象限； ④多项式可因式分解为； ⑤当时，关于的方程有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 易错点6 二次函数的顶点、对称轴与最值 易错提醒 1.顶点横坐标就是对称轴的横坐标，纵坐标需要代入函数解析式求得。 2.a>0 时顶点取得最小值，a<0 时顶点取得最大值。 3.若自变量有取值范围，必须判断顶点是否在该范围内。 【对点训练】6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）对二次函数及其图像的描述正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．最小值为 D．当时，y随x的增大而增大 易错点7 二次函数的增减性与函数值比较 易错提醒 1.a>0 时，函数在对称轴左侧递减、右侧递增；a<0 时相反。 2.比较 与 时，不能只根据 判断大小。 3.若两个自变量位于对称轴两侧，应结合它们到对称轴的距离进行判断。 【对点训练】7．（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 易错点8 利用二次函数的对称性比较函数值 易错提醒 1.关于对称轴对称的两个点，纵坐标相等。 2.若对称轴为 x=h，两个横坐标关于对称轴对称的条件为 3.不能把“横坐标互为相反数”直接等同于“函数值相等”，只有关于对称轴对称时才成立。 【对点训练】8．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 易错点9 利用图象判断 a,b,c 及判别式的符号 易错提醒 1.a 的符号由抛物线开口方向确定。 2.c=f(0)，其符号由抛物线与 y 轴交点的位置确定。 3.对称轴的位置可结合 a 的符号判断 b 的符号。 4. Δ 的符号由抛物线与 x 轴的交点个数确定。 【对点训练】9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 易错点10 二次函数图象与 x 轴交点的判断 易错提醒 1.Δ>0 时与 x 轴有两个交点，Δ=0 时有一个交点，Δ<0时没有交点。 2.“有交点”对应 Δ≥0，“有两个不同交点”对应 Δ>0。 3.与 x 轴的交点横坐标是方程 ax2+bx+c=0 的根，交点坐标还要写出纵坐标0。 【对点训练】10．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错点11 由二次函数图象判断不等式的解集 易错提醒 1.f(x)>0 表示图象在 x 轴上方，f(x)<0 表示图象在 x 轴下方。 2.先判断开口方向，再确定函数值的正负区间。 3.“>、<”不包含与 x 轴的交点，“≥、≤”包含交点。 4.没有交点时，要结合开口方向判断函数值恒正或恒负。 【对点训练】11．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 易错点12 二次函数与一元二次方程的关系 易错提醒 1.方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标。 2.两个不相等的实根、两个相等的实根、没有实根，分别对应两个交点、一个交点、没有交点。 3.要区分“方程的根”和“交点坐标”：根是横坐标，交点坐标还包括纵坐标0。 【对点训练】12．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，，三点，下列结论： ① ②当时，函数值随自变量的增大而增大 ③当时，的取值范围是 ④方程有两个相等的实数解 其中正确的有（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 易错点13 二次函数图象与直线的交点问题 易错提醒 1.联立二次函数与直线的解析式，所得方程的根就是两个图象交点的横坐标。 2.两图象有两个交点、一个交点、没有交点，分别对应联立方程有两个不等实根、两个相等实根、没有实根。 3.相切问题通常对应联立方程的判别式等于0。 4.求出横坐标后，还要代入函数解析式求纵坐标。 【对点训练】13．（2026·安徽淮南·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．且 D．或 易错点14 实际问题中的二次函数最值 易错提醒 1.建立函数关系式后，必须结合实际意义确定自变量的取值范围。 2.求最值时，先确定对称轴和顶点，再判断顶点是否在自变量取值范围内。 3.若顶点不在取值范围内，应结合函数的增减性或比较端点函数值确定最值。 4.最终答案还要符合实际意义，注意单位以及长度、数量等不能为负。 【对点训练】14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 易错点15 实际问题中二次函数关系式的建立 易错提醒 1.先分析题目中的数量关系，再设自变量和表示其他量，不能直接套用二次函数公式。 2.“增加”“减少”“扩大”“缩短”等关键词容易导致代数式符号错误，应先用文字理清数量关系。 3.列出函数关系式后，要检查二次项系数的符号和函数关系是否符合实际变化趋势。 4.建立模型后必须结合实际条件确定自变量的取值范围。 【对点训练】15．（2026·河南周口·模拟预测）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）下列说法错误的是（ ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 2．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（ ） A．3 B．0 C．1 D．2 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 7．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 8．（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 9．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 10．（2026·江苏徐州·二模）某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 三、解答题 11．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转90°，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 12．（2026·浙江金华·三模）已知二次函数（，为常数）． (1)若二次函数图象过点，，求二次函数的解析式． (2)点，在二次函数的图象上； ①若点、是二次函数图象与轴的交点，且，，求的值； ②若，，都有，求的取值范围． 13．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴． (2)当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 14．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 15．（2026·湖南长沙·三模）我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． (1)已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． (2)已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． (3)在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $