广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025—2026学年 下学期高二年级期末考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A A D B C ABC AC ACD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）由题意得，，， 2分 ，， 4分 ． 6分 ， 7分 故经验回归方程为． 8分 （2）零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联． 则． 11分 根据小概率值的独立性检验，不成立， 12分 所以认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关． 13分 16．法一：几何法（1）过A作交于延长线于H，连． 因为面面，面面，，面， 所以面，故与面所成角为． 3分 不妨设，在中，， 所以，， 在中，，易得，所以， 在中，， 所以， 5分 即与面所成角为． 6分 （2）过H作交于Q，连． 因为面，面， 所以， 8分 因为，，所以面，面， 所以， 10分 所以为二面角的大小，即平面与平面的夹角， 11分 在中，， 在中，，， 所以，， 14分 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 15分 法二：向量法（1）设，作于点O，连，以点O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标： ，，，，， 2分 ，显然为平面的一个法向量， 3分 ， 5分 ∴直线与平面所成角的大小． 6分 （2）设平面的法向量为，则， 7分 所以，即， 9分 令，则，，则 11分 设平面和平面的夹角为，则， 14分 因此平面和平面的夹角的余弦为． 15分 17．【解】（1）若质点只能在x轴上移动，每秒有2种可能，4秒移动方式共有种， 2分 第4秒末质点回到原点，则必定向左移动2步，向右移动2步，有种， 4分 故． 6分 （2）因在1秒末，质点会等可能地出现在，，，四点处， 7分 故在第2秒末可能运动到点，，，各两种情形， ，，，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 9分 随机变量X表示的取值，故X的可能取值为0，2，4， 12分、11分 对应的概率分别为：，，， 13分 故X的分布列为： X 0 2 4 P 期望为． 15分 18．【详解】（1）证明：在中，，O是线段的中点， ， 1分 ∵平面平面，平面平面，平面， 平面．又平面，， 3分 ，即，，，平面，平面， 平面，． 5分 （2）解：①取的中点F，连接，则，， 由（1）可知，，平面， 平面，，即，，两两互相垂直， 6分 以点O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， ，，，，，， 7分 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 8分 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，． 9分 ，，，，， 设二面角的平面角为， 则， 10分 ，，，解得，即． 11分 ②假设实数存在，设点，则，， 12分 由，得，则， 13分 由，，得，则， 14分 由（1）知平面的一个法向量． 由平面，得，解得． 16分 ∴存在实数，使得当时，平面． 17分 19．【详解】（1）①由题意，抽到6号的概率为，抽到号的概率为；抽取3次后，总积分为4分，应满足恰好抽到1次6号代币，2次15号代币． 总积分为4分的概率为：， 2分 ②根据题意，3次抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，有3种情况 三次均未抽到6号：， 三次中有一次抽到6号：， 三次中有两次抽到6号，只能第一次和第三次抽到6号：， 则． 5分 （2）设抽到6号k次，则，得； 7分 因为k个6号不连续，故至少有次抽到其他号码， 所以有，即，又， 联立解得， 9分 故n的最大值为7，此时：共种抽取方法． 10分 （3）第n次抽取后处于安全积累状态，分两种情况： 第一种情况：第n次抽号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为， 概率为； 12分 第二种情况：第n次抽6号，其概率为，第次抽号，概率为， 前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 故， 14分 则， 所以当时，， 15分 当时，由（1）知，， 16分 故，当时，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025—2026学年 下学期高二年级期末考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分．考试用时150分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若i为虚数单位，，则（ ） A．-2i B．-i C．2 D．-2 3．某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（ ） A． B． C． D． 4．的展开式中的常数项为（ ） A．-20 B．20 C．-15 D．15 5．四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（ ） A．36 B．24 C．64 D．81 6．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A． B． C． D． 7．某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量重量，已知抽取的n袋面粉的样本均值X（单位：千克）服从正态分布，若，则n的最小值为（ ）（参考数据：若，则） A．100 B．60 C．6 D．1 8．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 10．如图，点M，N分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点P在线段上，且．则（ ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，，为圆的两条直径，且，母线，与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线与所成角为 D．平面截球O的截面面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知平面向量，，若，则__________． 13．如图，在边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的体积为__________． 14．甲，乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则三局游戏后甲、乙两人得分之和X的数学期望__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来年的增长数据y（万吨），如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 26 37 50 64 93 （1）经探究x与y之间具有相关关系，求y关于x的经验回归方程； （2）为了检验M，N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A，B两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用N设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关？ 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）与平面所成角的大小； （2）平面和平面的夹角的余弦值． 17．（15分）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． （1）若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求； （2）从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 18．（17分）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的6个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取1个代币，抽取相互独立．规则为：抽到6号代币得2个积分，抽到号代币得1个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，记第n次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． （1）①求抽取3次后，总积分为4分的概率；②求的值； （2）设抽取n次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的n的取值范围，并求当n最大时共有多少种抽取方法； （3）证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $