第21章 一元二次方程 单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过分类框架与对比表格系统梳理了一元二次方程知识体系，涵盖概念、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，用表格呈现特殊形式方程系数特征和解法适用类型，突出解法灵活选择、实际问题等量关系建立等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础概念辨析到综合几何应用，如增长率模型、销售利润问题等培养模型意识，配方法求最值题发展推理能力，典例结合变式题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习提升。

第21章 一元二次方程 教学目标 1.梳理全章知识体系，巩固一元二次方程的相关概念，能准确识别方程并确定各项系数。 2.熟练掌握四种基本解法，能根据方程特征灵活选择最优解法求解一元二次方程。 3.理解根的判别式与根与系数的关系，能运用其解决参数求解、代数式求值等问题。 4.能运用一元二次方程解决各类实际问题，建立数学模型，提升分析与解决实际问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的四种解法及灵活选择 （2）根的判别式与根与系数关系的综合应用 （3）列一元二次方程解决实际问题 2.难点 （1）配方法的规范操作与综合应用 （2）含参数一元二次方程的分类讨论 （3）实际问题中等量关系的建立与解的合理性检验 知识点01：一元二次方程的概念与一般形式 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。 2.三个必备条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③整理合并后，未知数的最高次数为2。 3.一般形式：（为常数，）。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 4.常见特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （） 0 （） 0 （） 0 0 5.易错提醒：含字母系数的方程中，是判定一元二次方程的必要前提，易遗漏该条件导致多解。 知识点02：一元二次方程的解法 1.四种基本解法对比 解法 适用方程类型 核心步骤 注意事项 直接开平方法 形如、 开平方转化为两个一元一次方程，分别求解 时方程无实数根；开平方勿遗漏负根 因式分解法 方程左边易分解为两个一次因式乘积，右边为0 移项使右边为0→分解因式→令各因式为0→求解 严禁方程两边同除以含未知数的代数式，避免丢根 配方法 所有一元二次方程，常用于代数式变形与最值问题 化二次项系数为1→移项→两边加一次项系数一半的平方→配成完全平方式→开平方求解 等式两边需同步配方；二次项系数不为1时先化为1 公式法 所有一元二次方程，通用解法 化为一般形式→计算→时代入求根公式计算 确定时需包含前面的符号；先判根再代公式 2.求根公式：当时，。 3.解法选择原则：无一次项优先直接开平方法；无常数项优先因式分解法；易因式分解优先因式分解法；通用解法选公式法；需特定形式或最值问题用配方法。 知识点03：一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，把叫作根的判别式。 2.根的情况与判别式的对应关系 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.常见应用：不解方程直接判断根的情况；根据根的情况求参数的取值范围；证明方程根的个数。 知识点04：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.基本结论：若一元二次方程的两个实数根为、，则 2.常用代数式变形 3.注意事项：根与系数的关系成立的前提是方程有实数根，即，求解参数后必须检验。 知识点05：一元二次方程的实际应用 1.解题一般步骤：审清题意→设未知数→寻找等量关系列方程→解方程→检验解是否符合实际意义→作答。 2.高频应用模型 增长（降低）率模型：基数为，平均变化率为，经过次变化后结果为，则增长率：，降低率： 销售利润模型：总利润=单件利润×销售量=总收入-总支出 几何面积模型：通过平移、割补将不规则图形转化为规则图形，利用面积公式列方程 数字与循环模型：多位数按数位表示；单循环总场次为 题型01一元二次方程的概念辨析与参数求解 先整理化简方程，对照“整式、一元、二次”三个条件判断；根据定义求参数时，令最高次数为2，同时保证二次项系数不为0。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【变式2】. （25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 题型02一元二次方程的解法选择 根据方程结构选解法：缺一次项用直接开平方法；缺常数项用提公因式法；易分解优先因式分解法；通用选公式法；需配方变形用配方法，注意符号与漏根问题。 【典例2】. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式1】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； 【变式2】. （25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 题型03利用根的定义求参数与代数式的值 将已知根代入方程得到参数等式；求代数式值时，对等式变形后整体代入，无需解出未知数。 【典例3】. （25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【变式1】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 题型04根的判别式的基础应用 先确定方程的，计算，根据符号判断根的情况；含参数方程需先保证二次项系数不为0。 【典例4】. （25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式1】. （2026·河南漯河·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】. （25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式3】. （25-26八年级下·北京延庆·期末）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 题型05根与系数关系的基础求值 直接利用两根和、两根积公式，将所求代数式恒等变形为含、的形式，整体代入计算。 【典例5】. （2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【变式2】. （25-26八年级下·北京通州·期末）已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【变式3】. （25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 题型06根据根的情况求参数的取值范围 根据题意列判别式的不等式或方程，结合“二次项系数不为0”的隐含条件求解，注意等号取舍与多解检验。 【典例6】. （25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【变式1】. （25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【变式2】. （25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 题型07增长率与降低率实际应用 找准初始量、最终量和变化次数，套用模型列方程；累计总量问题需累加各期数量，解后检验实际意义。 【典例7】. （25-26八年级下·浙江宁波·期末）宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【变式2】. （25-26八年级下·北京·期末）某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 题型08销售利润类实际应用 以“总利润=单件利润×销售量”为等量关系，用未知数表示调价后的单价与销量，列方程求解，结合实际限制筛选解。 【典例8】. （25-26八年级下·山东烟台·期末）暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 【变式1】. （2026·山西阳泉·三模）红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元，当购买红薯的质量超过时，每多购买，红薯的单价降低0.2元，但要求红薯的单价不低于2元．已知某零售商购买红薯的质量超过了，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【变式3】. （25-26八年级下·重庆渝中·期末）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 题型09几何面积类实际应用 通过平移、割补将不规则图形转化为规则矩形，用含未知数的代数式表示边长，根据面积关系列方程，注意边长限制条件。 【典例9】. （25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【变式1】. （25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【变式2】. （25-26八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． (1)若矩形菜园的面积为，求的长； (2)矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； (3)当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【变式3】. （2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 题型10配方法的应用 分“二次项系数为0（一元一次方程）”和“二次项系数不为0（一元二次方程）”两类讨论，结合判别式、根与系数关系综合分析。 【典例10】. （25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ， ， 代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； 【变式1】. （25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫作配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【变式2】. （2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【变式3】. （25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 题型11方程与几何图形的综合问题 用运动时间表示相关线段长度，结合几何性质（等腰三角形、面积公式、勾股定理）建立方程，注意动点范围与多解情况。 【典例11】. （25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【变式1】. （25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】. （25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【变式3】. （25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 题型12新定义与换元法拓展题型 新定义题紧扣定义转化为常规方程问题；高次方程用换元法降次转化为一元二次方程求解，注意换元后变量的取值范围。 【典例12】. （25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【变式1】. （25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【变式2】. （25-26九年级上·四川资阳·期末）阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济南·期末）换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 二、填空题 4．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 5．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 6．已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 三、解答题 7．解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 8．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 9．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 10．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 2．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 3．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 4．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 5．综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 教学目标 1.梳理全章知识体系，巩固一元二次方程的相关概念，能准确识别方程并确定各项系数。 2.熟练掌握四种基本解法，能根据方程特征灵活选择最优解法求解一元二次方程。 3.理解根的判别式与根与系数的关系，能运用其解决参数求解、代数式求值等问题。 4.能运用一元二次方程解决各类实际问题，建立数学模型，提升分析与解决实际问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的四种解法及灵活选择 （2）根的判别式与根与系数关系的综合应用 （3）列一元二次方程解决实际问题 2.难点 （1）配方法的规范操作与综合应用 （2）含参数一元二次方程的分类讨论 （3）实际问题中等量关系的建立与解的合理性检验 知识点01：一元二次方程的概念与一般形式 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。 2.三个必备条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③整理合并后，未知数的最高次数为2。 3.一般形式：（为常数，）。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 4.常见特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （） 0 （） 0 （） 0 0 5.易错提醒：含字母系数的方程中，是判定一元二次方程的必要前提，易遗漏该条件导致多解。 知识点02：一元二次方程的解法 1.四种基本解法对比 解法 适用方程类型 核心步骤 注意事项 直接开平方法 形如、 开平方转化为两个一元一次方程，分别求解 时方程无实数根；开平方勿遗漏负根 因式分解法 方程左边易分解为两个一次因式乘积，右边为0 移项使右边为0→分解因式→令各因式为0→求解 严禁方程两边同除以含未知数的代数式，避免丢根 配方法 所有一元二次方程，常用于代数式变形与最值问题 化二次项系数为1→移项→两边加一次项系数一半的平方→配成完全平方式→开平方求解 等式两边需同步配方；二次项系数不为1时先化为1 公式法 所有一元二次方程，通用解法 化为一般形式→计算→时代入求根公式计算 确定时需包含前面的符号；先判根再代公式 2.求根公式：当时，。 3.解法选择原则：无一次项优先直接开平方法；无常数项优先因式分解法；易因式分解优先因式分解法；通用解法选公式法；需特定形式或最值问题用配方法。 知识点03：一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，把 叫作根的判别式。 2.根的情况与判别式的对应关系 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.常见应用：不解方程直接判断根的情况；根据根的情况求参数的取值范围；证明方程根的个数。 知识点04：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.基本结论：若一元二次方程的两个实数根为、，则 2.常用代数式变形 3.注意事项：根与系数的关系成立的前提是方程有实数根，即，求解参数后必须检验。 知识点05：一元二次方程的实际应用 1.解题一般步骤：审清题意→设未知数→寻找等量关系列方程→解方程→检验解是否符合实际意义→作答。 2.高频应用模型 增长（降低）率模型：基数为，平均变化率为，经过次变化后结果为，则增长率：，降低率： 销售利润模型：总利润=单件利润×销售量=总收入-总支出 几何面积模型：通过平移、割补将不规则图形转化为规则图形，利用面积公式列方程 数字与循环模型：多位数按数位表示；单循环总场次为 题型01一元二次方程的概念辨析与参数求解 先整理化简方程，对照“整式、一元、二次”三个条件判断；根据定义求参数时，令最高次数为2，同时保证二次项系数不为0。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 【变式2】. （25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【变式3】. （25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 题型02一元二次方程的解法选择 根据方程结构选解法：缺一次项用直接开平方法；缺常数项用提公因式法；易分解优先因式分解法；通用选公式法；需配方变形用配方法，注意符号与漏根问题。 【典例2】. （25-26八年级下·浙江丽水·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解答； （2）利用配方法解答； 【详解】（1）解：， 移项，得， 解得：，． （2）解：， 移项，得， 方程两边同时加上4，得，即， 则，或， 解得，． 【变式1】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． 【变式2】. （25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【变式3】. （25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 题型03利用根的定义求参数与代数式的值 将已知根代入方程得到参数等式；求代数式值时，对等式变形后整体代入，无需解出未知数。 【典例3】. （25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 【变式1】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）若2是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 题型04根的判别式的基础应用 先确定方程的，计算，根据符号判断根的情况；含参数方程需先保证二次项系数不为0。 【典例4】. （25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1】. （2026·河南漯河·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【变式2】. （25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 【变式3】. （25-26八年级下·北京延庆·期末）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 题型05根与系数关系的基础求值 直接利用两根和、两根积公式，将所求代数式恒等变形为含、的形式，整体代入计算。 【典例5】. （2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ 【变式2】. （25-26八年级下·北京通州·期末）已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 【变式3】. （25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 题型06根据根的情况求参数的取值范围 根据题意列判别式的不等式或方程，结合“二次项系数不为0”的隐含条件求解，注意等号取舍与多解检验。 【典例6】. （25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 【变式1】. （25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 【变式2】. （25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 题型07增长率与降低率实际应用 找准初始量、最终量和变化次数，套用模型列方程；累计总量问题需累加各期数量，解后检验实际意义。 【典例7】. （25-26八年级下·浙江宁波·期末）宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年平均增长率的计算方法，从2023年的初始里程推出2025年的里程表达式，结合已知2025年的里程即可列出方程． 【详解】解：∵2023年运营里程为公里，年平均增长率为.， ∴2024年运营里程为，2025年运营里程为.， 又∵2025年运营里程为公里， ∴可列方程为 ． 【变式1】. （25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 【变式2】. （25-26八年级下·北京·期末）某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（     ） A． B． kC． D． 【答案】D 【分析】由平均下降率问题的求解方法，按照两年后待机时长=初始待机时长年平均下降率，代入对应量即可列出方程． 【详解】解：设该手机待机时长的年平均下降率为， ∵初始待机时长为小时， ∴一年后待机时长为，两年后待机时长为， 又∵现在待机时长为小时， ∴可得方程． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 题型08销售利润类实际应用 以“总利润=单件利润×销售量”为等量关系，用未知数表示调价后的单价与销量，列方程求解，结合实际限制筛选解。 【典例8】. （25-26八年级下·山东烟台·期末）暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 【答案】这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元 【分析】设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，然后根据利润公式建立一元二次方程求解． 【详解】解：设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，根据题意得 解得，． ∵销售单价不得低于元， ． 答：这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元． 【变式1】. （2026·山西阳泉·三模）红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元，当购买红薯的质量超过时，每多购买，红薯的单价降低0.2元，但要求红薯的单价不低于2元．已知某零售商购买红薯的质量超过了，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【答案】该零售商购买红薯的质量为 【分析】设该零售商购买红薯的质量为，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该零售商购买红薯的质量为． 根据题意，得． 解得． 当时，，舍去． 当时，，且． 答：该零售商购买红薯的质量为． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 【变式3】. （25-26八年级下·重庆渝中·期末）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【答案】(1)甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． (2)的值为． 【分析】(1) 设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同，列出分式方程，解方程即可． (2)由题意得新的成本为，甲款小车单件耗材成本为元，数量为台，乙款小车单件耗材成本为元，数量为台，全部耗材总费用为13500元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． 题型09几何面积类实际应用 通过平移、割补将不规则图形转化为规则矩形，用含未知数的代数式表示边长，根据面积关系列方程，注意边长限制条件。 【典例9】. （25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 【变式1】. （25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 【变式2】. （25-26八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． (1)若矩形菜园的面积为，求的长； (2)矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； (3)当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)的长为或 (2)矩形菜园的面积不可能是，理由如下： 根据题意得，， 整理得，， ∴， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是； (3)当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（1）设边长为，则，根据矩形菜园的面积为列方程求解即可； （2）根据题意得到，整理后利用判别式判断即可； （3）设矩形菜园的面积为S，根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设边长为，则， ∵矩形菜园的面积为， ∴， 整理得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴的长为或； （2）略 （3）解：设矩形菜园的面积为S， 根据题意得，， ∵， ∴当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 【变式3】. （2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 题型10配方法的应用 分“二次项系数为0（一元一次方程）”和“二次项系数不为0（一元二次方程）”两类讨论，结合判别式、根与系数关系综合分析。 【典例10】. （25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ， ， 代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据配方法得到，即可得到答案； （2）根据配方法得到，即可得到，求出答案即可． 【详解】（1）解： ， 代数式的最小值为1； （2）解： 代数式的最小值为． 由题可知： 解得． 【变式1】. （25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫作配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 【变式2】. （2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 【变式3】. （25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)1，小，3 (2)，大，1 (3)矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）根据完全平方的非负性，进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，根据矩形的性质，列出代数式，配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当，即时，，值最小； 故答案为：1，小，3； （2）∵， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值为1； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，则另一边的边长为， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大为， ∴当矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为． 题型11方程与几何图形的综合问题 用运动时间表示相关线段长度，结合几何性质（等腰三角形、面积公式、勾股定理）建立方程，注意动点范围与多解情况。 【典例11】. （25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 【变式1】. （25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【变式2】. （25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【变式3】. （25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为秒或秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点坐标得出，即可求出，根据点速度即可得答案； （2）点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别表示出和，利用平行四边形的性质列方程求出的值即可； （3）分、和三种情况，分别利用等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒， ∴， ∴． （2）解：∵，点运动到点时，点随之停止运动， ∴， ∵点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动， ∴， ①如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点在点左侧时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是或． （3）解：如图，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴此种情况不存在； 综上所述：的值为秒或秒． 题型12新定义与换元法拓展题型 新定义题紧扣定义转化为常规方程问题；高次方程用换元法降次转化为一元二次方程求解，注意换元后变量的取值范围。 【典例12】. （25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴； （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ， ∴ ∴ ． 【变式1】. （25-26九年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】(1)②③ (2)的值是3或 (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键． （1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：①解方程， 可得：； ②解方程， 可得：，； ③解方程， 可得：，； 其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根， 方程②③是“同伴方程”； 故答案为：②③； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：； 此时方程为， 可得，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是3或； （3）解：由条件可知方程的解是，， 方程可整理为 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式2】. （25-26九年级上·四川资阳·期末）阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2)该式的值为9 (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． （1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，（舍去），即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得，，， 即． 故答案为：. （2）设， 则，， 解得：或， 由，得， 即． 故该式的值为9. （3）设最小正整数为，则， 即：， 设，则， 解得：，， 为正整数， ， ． 解得，（舍去）， ，，． 这四个连续正整数为2，3，4，5． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济南·期末）换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （2）令，依照材料提供的方法解答即可； （3）令，根据完全平方公式变形后进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：令，则 原式 ． （3）解：令，则原式， 当，即时原式取得最小值， 可得， 解得：，． 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 二、填空题 4．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 5．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 6．已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 三、解答题 7．解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）变形后使用直接开平方法求解， （2）无法因式分解，使用求根公式法求解， （3）整理为一般形式后使用因式分解法求解． 【详解】（1）解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． （2）解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． （3）解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 8．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 9．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 10．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． 【答案】(1) (2)50箱 【分析】（1）根据销售量随降价的变化关系，直接写出一次函数表达式，结合题干给出的降价限制确定自变量的取值范围； （2）利用“总利润每箱利润销售量”列一元二次方程求解，结合x的取值范围舍去不符合题意的解，再代入函数关系式求出最终的销售量即可． 【详解】（1）解：由题意可得，原本每天售出20箱，每箱降价x元后，每天可多售出箱， 因此， ∵每箱降价不超过15元， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）解：由题意，总利润为1200元，降价后每箱盈利为 元，每天销售量为y， 因此列方程得， 展开整理得 ， 解得 ，， ∵， ∴不符合要求，舍去， 将 代入，得， 答：这天该甜瓜的销量为50箱． 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 2．关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 3．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 4．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 5．综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： (1)任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． (2)任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)围栏方案为矩形的长为，宽为 (2)整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质得出面积，解一元二次方程得出解并与35比较即可得出答案． （2）设，则，．根据题意列出关于y的一元二次方程，然后再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解∶设，则， 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 答∶围栏方案为矩形的长为，宽为； （2）略； 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $