3.2.1双曲线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过同心圆交点观察曲线形状导入，衔接椭圆知识，构建圆锥曲线学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于用AI思考辨析深化定义理解，培养数学思维，实际应用案例（巨响点轨迹）发展数学眼光与模型观念，规律方法总结助力系统掌握。学生提升推理与应用能力，教师教学更高效。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2.1　双曲线及其标准方程 学 习 目 标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.初步会按特定条件求双曲线的标准方程. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　双曲线的定义 定义 平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　 　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线  集合表示 {M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 焦点 两个　　　　　叫做双曲线的焦点  焦距 两焦点间的　　　　　叫做双曲线的焦距,表示为|F1F2|  距离的差的绝对值 定点F1,F2 距离 AI·思考辨析 将双曲线的定义式中“||MF1|-|MF2||=2a”改为“|MF1|-|MF2|=2a”,其余条件不变,此时点M的轨迹是什么? 提示 双曲线中靠近点F2的一支. 体验新知 (人教B版教材习题)如图,A,B是平面上的两点,且|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别为A,B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,….在两组同心圆的交点中,找出与A,B两点的距离之差的绝对值等于6的点,并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来,观察所得曲线的形状. 解 所得曲线是以A,B为焦点的双曲线. 知识点2　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>0,b>0) 　　 　　　 (a>0,b>0) 几何图形     焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) 　　　 　　  a,b,c的关系 c2=a2+b2 此关系蕴含①c>a,c>b;②可知二求一 F1(0,-c),F2(0,c) AI·思考辨析 如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置? 提示 “焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. 体验新知 1.已知两定点F1(5,0),F2(-5,0),曲线C上的点P到F1,F2的距离之差的绝对值是8,则曲线C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 B 解析 根据双曲线的定义知,P的轨迹是以F1(5,0),F2(-5,0)为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为 . 故选B. 2.(2026河北保定高二期中)若点P在双曲线=1上,则点P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为(　　) A.4 B.2 C.2 D.10 B 解析 设双曲线=1的实半轴长为a,则a=,所以点P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为2a=2.故选B. 3.双曲线=1的焦距为　　　　　.  2 解析 双曲线=1的实半轴长a=2,虚半轴长b=, 因此半焦距c=, 所以所求焦距为2. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)一个焦点为F(-3,0),且经过点(2,0); (2)与双曲线=1有相同的焦点,且经过点(3,2); (3)过点P(3,),Q(-,5)且焦点在坐标轴上. 解 (1)设双曲线的标准方程为=1,则c=3,代入点(2,0)的坐标得a2=4,所以b2=c2-a2=5,所以双曲线的标准方程为=1. (2)(方法1)∵焦点相同, ∴设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), ∴c2=16+4=20,即a2+b2=20.① ∵双曲线经过点(3,2),∴=1.② 由①②得a2=12,b2=8, ∴双曲线的标准方程为=1. (方法2)设所求双曲线的方程为=1(-4<λ<16). ∵双曲线过点(3,2),∴=1, 解得λ=4或λ=-14(舍去). ∴双曲线的标准方程为=1. (3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. ∵点P,Q在双曲线上,∴解得 ∴双曲线的标准方程为=1. 变式训练1 (北师大版教材习题)求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点为(2,0),(-2,0),且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2; (2)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4); (3)经过点(2,),(-,2). 能力提升点二　方程表示双曲线的条件 【例2】 给出曲线方程=1. (1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围; (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围. 思路分析 根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解. 若该方程表示双曲线,则有(4+k)(k-1)>0,解得k>1或k<-4, 故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). AI变式 给出曲线方程=1. (1)若该方程表示双曲线,求实数m的取值范围; (2)若该方程表示焦点在x轴上的双曲线,求实数m的取值范围. 解 (1)方程表示双曲线,则(m-2)(3-m)<0, 变形为(m-2)(m-3)>0,解得m<2或m>3, 故实数m的取值范围为(-∞,2)∪(3,+∞). (2)方程表示焦点在x轴上的双曲线,则解得m>3, 故实数m的取值范围为(3,+∞). 变式训练2　(多选题)(2026广东清远高二期中)方程=1表示的曲线为C,下列说法正确的有(　　) A.曲线C不可能是圆 B.若1<k<4,则曲线C为椭圆 C.若曲线C为双曲线,则k<1或k>4 D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k< CD 解析 对于A,若曲线C是圆,则4-k=k-1>0,解得k=,故A错误; 对于B,若曲线C为椭圆,则解得1<k<4且k≠,故B错误; 对于C,若曲线C为双曲线,则(4-k)(k-1)<0,解得k<1或k>4,故C正确; 对于D,若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<,故D正确. 故选CD. 能力提升点三　双曲线定义的应用 角度1 焦点三角形的面积 【例3】 已知F1,F2是双曲线=1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 思路分析 (1)直接利用定义求解. (2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|. 解 (1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6. 解得|MF2|=10或|MF2|=22. 所以点M到另一个焦点的距离为10或22. 例题探究1 (变条件)在本例(1)中,将条件中“点M到它的一个焦点的距离等于16”改为“点M到它的一个焦点的距离等于7”,其余不变. 解 设|MF1|=7,则||MF2|-7|=6,得|MF2|=13或|MF2|=1. 当|MF2|=1时,|MF1|=7,而|F1F2|=10,无意义,故舍去. 所以|MF1|=13.所以点M到另一个焦点的距离为13. 例题探究2 (变条件)将本例中双曲线的方程“=1”改为“=1 (m>0)”,其他不变,求解第(2)问. 解 设双曲线的方程为=1(a>0,b>0), 由双曲线的定义得=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2, 又由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=4c2, 两式作差得2|PF1||PF2|(1-cos∠F1PF2)=4b2, 则|PF1||PF2|=, 所以|PF1||PF2|sin∠F1PF2 =×sin∠F1PF2==16. 角度2 距离的最值问题 【例4】 已知F1,F2为双曲线=1的左、右焦点,P(4,1)在双曲线右支的右侧,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为　　　　　.  5-2 解析 由双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=2a=2,则|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,因而要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.连接F1P与双曲线的右支交于点A0(图略),当点A位于A0处时,|AP|+|AF1|的值最小,最小值为|PF1|==5,故|AP|+|AF2|的最小值为5-2. 例题探究 (变条件)本例中若点A在双曲线的左支上,其他条件不变,结果又如何? 解 由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=2a=2, 则|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|+2≥|PF1|+2. ∵|PF1|=5,∴|AP|+|AF2|的最小值为5+2. 能力提升点四　双曲线的实际生活应用 【例5】 (人教B版教材习题)相距1 400 m的A,B两个观察站都听到了一声巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4 s.已知当时的声速是340 m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方程. 解 以线段AB的中点为坐标原点, 的方向为x轴的正方向, 建立平面直角坐标系(图略),设发出巨响的点为P. 由题意可知|PB|-|PA|=340×4=1 360,易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,即2a=1 360,2c=1 400,解得a=680,c=700,所以b2=27 600. 变式训练3 如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km,则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是 　　　　km.  解析 如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支. 故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1=3, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)双曲线的定义及应用; (2)双曲线的标准方程及其推导过程; (3)双曲线在实际生活中的应用. 2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、转化化归法. 3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条件; (2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为(　　) A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 D 解析 因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,为一条射线. 1 2 3 4 5 2.若方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,2)∪(6,+∞) B.(2,6) C.(-∞,-6)∪(-2,+∞) D.(-6,-2) B 解析 由题意,得(m-2)(m-6)<0,解得2<m<6.故选B. 1 2 3 4 5 3.(苏教版教材习题改编)设a为实数,若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点,则a的值是　　　　　.  1 解析 由双曲线方程知a>0,焦点在x轴上,所以4-a2=2+a,解得a=1(负值舍去). 1 2 3 4 5 4.已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上, |PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=　　　　　.  1 2 3 4 5 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 本 课 结 束 =1 =1 =1 解 (1)双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0). 由题意,得c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=3, 因此,所求双曲线的标准方程为x2-=1. (2)双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0). 由题意,得2c=10,c=5,a=4,b2=c2-a2=9. 因此,所求双曲线的标准方程为=1. (3)若双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 则解得a2=b2=1. 因此,双曲线的标准方程为x2-y2=1. 若双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 则该方程组无解. 因此,所求双曲线的标准方程为x2-y2=1. 解 (1)将所给方程化为=1, (2)将所给方程化为=1,若该方程表示焦点在y轴上的双曲线, 则有解得k<-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4). (2)由=1,得a=3,b=4,c=5. 由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6, -2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=64, ∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16. 因此发出巨响的点所在曲线的方程为=1(x<0). x2-=1(x>0) 2-2 故轨迹方程为x2-=1(x>0). 根据题意知C(3,), |MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2-2, 当A,M,C共线时,等号成立. 解析 |PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2,则|PF1|=4,|PF2|=2. 又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2=. (1)焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),且经过点P(5,2); (2)焦点在坐标轴上,经过点(-2),(-2,2). 解 (1)由焦点坐标为F1(-,0),F2(,0), ∴设双曲线的标准方程为=1. ∵双曲线经过点P(5,2),∴=1. 又c2=6=a2+b2,∴a4-35a2+150=0,解得a2=5或a2=30. 当a2=5时,b2=1,故双曲线方程为-y2=1; 当a2=30时,b2=-24(舍去). 综上,双曲线的标准方程为-y2=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1, ∵双曲线经过点(-2),(-2,2), ∴解得 ∴双曲线的标准方程为=1. $