辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．-18 B．2 C．9 D．21 3．52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A．162 B．243 C．384 D．512 7．甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用3局2胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A． B． C． D． 8．若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 10．在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A． B． C． D．数列的前1000项和大于 11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知等差数列的前项和为，且，则公差_________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为_________． 13．已知随机变量，，且，若，则________． 14．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，为数列的前项和，求． 16．已知函数，． （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围 17．2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差． 18．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式： （3）若，求的取值范围． 19．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学 参考答案 题 1 2 4 6 7 10 号 答 9 D CD BC 案 题 11 号 答 ABC 案 12.-2 9(答案不唯一，满足8≤4≤10即可) 13.0.82 14.0 15.(1)a,=n,n∈N(2)22a1+n-2 【详解】(1)由题可知d>0,4=1,且4a4=a2 …2分 即4(a+3d)=(a+d) 可得4d=d2,a=d=1 …4分 ∴an=a+(n-l)d=n.neN …6分 (2)b.=2”+(-1)°n …7分 I2n=(2+22+…+2）+[-1+2-3+4--(2n-1)+2n] 21-22 +n 1-2 =22+n-2…13分 16.(1)a=2,b=2 (2)a≥-1 【详解】(1)由题 -a2- …2分 f'(0)=a(2-)=a,因为f(四在f(0》处的切线为y=2x+b,所以 a=2, …4分 代入f()得切点为(L,4),切点在切线上，则 4=2+b→b=2.…… …7分 (2）由题m()-=a(2x-ln-x+r=r产+(2a-x-ahx,求导 m(=2x+(2a-)-是 9分 由m()在4上单调递增，得mr(20分2x+(2a-)x-a≥0台(2x-1(x+a)≥0在[，4上恒 成立，… …l1分 当r∈4到时，2x-1>0,因此a≥-x在4]上恒成立，又4≤-x≤-1，则a之-115分 17.(1)a=0.020 (2)X的分布列为 X 0 1 2 P 1 3 10 5 10 6 数学期望为5 (3)Y的分布列为 2 P 27 27 9 1 64 64 64 64 9 方差为16 【详解11)依题态，得(0.005+2a+0.030+a+0.05)×10=1,解得a=0.020.…3分 (2)依题意，成绩在[70,80)的人有0.03x10×100=30人)， 成绩在80,90)的人有0.02x10x100=20人)， 用分层随机抽样的方法抽取5人 则从成绩在[70,80)的人中拍取3人，从成绩在80,90)的人中抽取2人，…5分 所以X的所有可能取值为0,1,2， P(x-0)-CC2_1 p(x=)=CC-3 则 c10 C 5 P(X=2)= cc_3 C310 …7分 所以X的分布列为 X 0 1 10 5 10 所以 E(X)=0x 3 36 10+1×5+2× 105 …9分 (3)因为成绩在80,100]的频率为 0.02+0.005)×10=0.25= 4，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成续在80,10]的概率为4。 又全公司中成绩在[80,10]范围的人有0.25×100=25（人）， 所以Y的可能取值为0,1,2,3，且 Y8到 ……1分. 所以 Pv--c日--w-=c目--器 Pw--c用fw--c9-d 所以Y的分布列为 0 1 2 27 27 9 1 P 64 64 64 64 E(Y)=0x27 1x27+2x +3x1=3 9 所 4 64 64 644 所以 p=小a-0--2-*4名w 18.【详解】 (1)因为各项均为正数的数列a,}的前n项和为S,则对任意的n∈N,S,>0, 当n之2时， an=S,-S-1=VS.+VS- …3分 即(，-S,+S-反+S,所以.反.-S,=1, 因此，数对是签差数列：且其古项为瓦=山，公若为1 …6分 由(1)可得VS,=1+n-1=n …8分 则当n之2时， a,=S,+S=n+n-1=2n-1 …10分 a=1也满足a,=2n-L,故neN,an=2n-1 .11分 〔++女-f:wx>0eN 3) 可得 a+}-+ …13分 2+} 则b,>0 .画 b 则 2++d 2n+12n+2 (2n+2)2 4n2+8n+4 -V2m+32m+12m+3)(2n+V4m+8m+3 >1 ,即 batt>bn 15分 225 所以，数列也，}为单调递增数列， 0<th- 3, 025 3 因此，t的取值范围是 17分 19.(1)()的单调递减区间是(0,2），单调递增区间是(2，+0） (2)当a≤0时，函数()的单调递减区间为(0,2），单调递增区间为(2，+∞）， 当0<a<2时，函数f()的单调递减区间为(a,2),单调递增区间为(0，a),、(2,+∞）： 当a=2时，f(:)的单调递增区间为(0，+0，无单调递减区间； 当a>2时，函数f()的单调递减区间为(2，a),单调递增区间为(0,2)、(a,+∞） 【详解】(1)函数()的定文域为(0，+切) …1分 1 a=- 2x-Inx 所以 -}2-2 2x 2x …3分 令'(<0，解得0<x<2,所以函数f(的减区间是(0,2) 令'"()>0，解得x>2,所以函数()的增区间是(2，+切) …5分 2数)-分r-(a+2)x+2 palx(acR) 的定义域为(0，+∞)， 又f()=x-(a+2+20--a+2r+20_-ox-2到 。。 。。。。。。。。。。 。。。。。。。 …6分 ①当a≤0时，对任意的x>0,x-a>0, 当0<x<2,f'()<0:当x>2,f'()>0 此时函数f()在(0,2)上单调递减，在(2，+）上单调递增； …7分 ②当0<a<2时， 由f'(<0可得a<x<2,由f'()>0可得0<x<a或x>2, 此时函数(~)在(a,2)上单调递减，在(0,0)和（2，+∞）上单调递增： …9分 ③当a=2时，f'()20恒成立， 此时函数f()在(0，+0)上单调递增， 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。 10分 ④当a>2时 由'()<0可得2<x<a,由'()>0可得0<x<2或x>a, 此时函数f(x)在(2，a)上单调递减，在(0,2)和(a,+）上单调递增： 综上所述，当a≤0时，函数()的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+0），当0<a<2时， 函数()的单调递减区间为(a,2),单调递增区间为0,0）.(2，+切），当a=2时，f(四的单调递增 区间为0，+0），无单调递减区间： 当a>2时，函数(W)的单调递减区间为2.0），单调递增区间为0,2)、(a,+0） …12分 (3) )-f()-x-2almr-(a+2)x 因为函数()有两个零点，名，不妨设>站>0， 2alnx,=(a+2)x 则 2alnx2 =(a+2)x2 2a(nx-lnx,)=(a+2)(x-) 所以 2a(Inx+Inx2)=(a+2)(x+x2) nx+ln=+五n(xx)=+n 整理可得n-ln,-为，即 x1-x2x2, 要证>e,即证 (x)=+31n5>2 x1-X22, 2x-1 n4,20-）2名 X2 x+x2 +1 即证 X2 t=i>1 Int> 2(t-1) 令，即证 1+1(>) 令p四=r2业-) p0=}4=-以0 t+1,其中t>1, t(t+1)t(t+1)2 所以函数p(在山，+)上为增函数，则P()>p(0)=0, -2-0m>2-9 即 t+1 ,即 t+1,故原不等式得证. …17分