暑期预习讲义（第6讲）——一元二次方程的实际应用（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第6讲）——一元二次方程的实际应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 预习目标 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）列一元二次方程解应用题六步法 3 （二）四大高频题型通用公式模型 3 1. 增长率或下降率问题（必考） 3 2. 销售利润问题（中考热点） 3 3. 图形面积问题 3 4. 传播与计数问题 3 （三）核心易错点提醒 3 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】增长率问题 4 【题型 2】图形面积问题 4 【题型 3】销售利润问题 6 【题型 4】传播与比赛问题 7 【题型 5】行程与工程问题 7 四.经典题型精析（巩固提升） 8 【题型 6】 增长率问题与销售利润问题综合 8 【题型 7】 一元一次方程与几何动点问题 10 【题型 8】 一元一次方程与函数问题 11 五.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的通用步骤，明确实际问题中根的取舍原则。 2. 熟练掌握增长率、销售利润、图形面积、传播计数四大核心必考题型的解题模型。 3. 能从实际情境中提取等量关系，建立一元二次方程模型，规范解题步骤。 预习重难点 重点：各类实际问题的等量关系梳理、一元二次方程建模。 难点：复杂情境下的数量关系分析、不符合实际意义方程根的舍去。 课本原文预习填空 请结合课本内容自主填空，预习夯实核心概念，为本讲实际应用解题打基础 1. 列一元二次方程解应用题的完整六步骤：____、____、____、____、____、____。 2. 解实际问题方程后必须双重检验：一是检验__________，二是检验__________。 3. 平均增长率模型：初始量为，平均增长率为，经过次增长后总量_________。 4. 商品销售核心公式：总利润 = ______ × ______；单件利润 = _______ - _______。 5. 单循环比赛/握手问题总次数公式：_________；双循环比赛总次数公式：_______。 6. 传播问题：1个传染源，每轮每人传播人，经过两轮传播后总数量为__________。 预习填空参考答案 1. 审、设、列、解、验、答 2. 未知数的值是否为方程的解；未知数的值是否符合实际意义 3. 4. 单件利润、销售数量；售价、进价 5. ； 6. 二.教材知识梳理解读 （一）列一元二次方程解应用题六步法 1. 审：读懂题意，梳理已知量、未知量，找准题目中的核心等量关系（解题关键）。 2. 设：合理设未知数，优先直接设所求量，复杂问题可间接设，注明单位。 3. 列：根据等量关系，列出标准一元二次方程（一般形式：）。 4. 解：选用合适方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解方程。 5. 验：双重检验！①检验数值是否为方程的解；②检验是否符合实际情境（长度、人数、增长率等不能为负数），舍去不合理的根。 6. 答：规范书写答案，匹配题目问题，带对应单位。 （二）四大高频题型通用公式模型 1. 增长率或下降率问题（必考） 适用场景：产量、销量、产值、价格、存款等连续两轮及以上变化问题。 核心模型： 参数说明：为初始基数，为平均增长率（+）/下降率（-），为变化次数，为变化后总量。 2. 销售利润问题（中考热点） 核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量 衍生公式：单件利润=售价-进价；涨价销量减、降价销量增，根据题意对应调整数量表达式。 3. 图形面积问题 适用场景：道路宽度、边框宽度、裁剪拼接、动态图形面积变化。 解题思路：通过平移、割补法，将不规则图形转化为规则矩形、正方形，利用面积公式列方程，核心是找准变化后的边长。 4. 传播与计数问题 传播问题模型：（初始数量，每轮传播数量，传播轮数） 计数问题（握手、比赛）：单循环总次数，双循环总次数。 （三）核心易错点提醒 1. 实际问题中，未知数取值受现实限制：人数、边长、数量必须为正数，增长率介于0-1之间。 2. 方程解出两个根时，务必取舍，不可直接照搬答案。 3. 增长率问题注意变化次数，区分单次变化与多次连续变化。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率； （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【题型 2】图形面积问题 【例题2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【变式1】（2026·云南昆明·二模）如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： （1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． （2）求出剪去的小正方形的边长； （3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【题型 3】销售利润问题 【例题3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） （2）该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． （1）关于的函数解析式为 ； （2）若销售单价不低于元时，求最大销售量； （3）若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【题型 4】传播与比赛问题 【例题4】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【变式3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【题型 5】行程与工程问题 【例题5】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【变式3】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； （2）若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 增长率问题与销售利润问题综合 【例题6】（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某款发卡在某电商平台上月日的销量为个，月日和月日的总销量是个．若月日和日较前一天的增长率均为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某种型号的芯片每片的出厂价为200元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为72元．依题意可列方程为______. 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： （1）任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； （2）任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【题型 7】 一元一次方程与几何动点问题 【例题7】（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型 8】 一元一次方程与函数问题 【例题8】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（是常数）图像与轴的交点位于轴负半轴上，且函数值随自变量的增大而减小． （1）该一次函数图像一定经过第________象限； （2）求的取值范围； （3）如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 【变式1】（2026·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接、、，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． （1）求E点的坐标； （2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·贵州·一模）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 4．（25-26八年级下·重庆·期末）固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 7．（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·重庆·模拟预测）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______． 12．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为13米的篱笆，围出一块一边靠墙（墙足够长）的20平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设的长为x米，根据题意可列方程为_________． 14．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 15．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 17．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 18．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·贵州黔南·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形花圃的面积为，求的长． （2）围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． （1）该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． （2）如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——一元二次方程的实际应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 预习目标 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）列一元二次方程解应用题六步法 3 （二）四大高频题型通用公式模型 3 1. 增长率或下降率问题（必考） 3 2. 销售利润问题（中考热点） 3 3. 图形面积问题 3 4. 传播与计数问题 3 （三）核心易错点提醒 3 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】增长率问题 4 【题型 2】图形面积问题 6 【题型 3】销售利润问题 8 【题型 4】传播与比赛问题 11 【题型 5】行程与工程问题 13 四.经典题型精析（巩固提升） 16 【题型 6】 增长率问题与销售利润问题综合 16 【题型 7】 一元一次方程与几何动点问题 19 【题型 8】 一元一次方程与函数问题 24 五.同步自测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 38 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的通用步骤，明确实际问题中根的取舍原则。 2. 熟练掌握增长率、销售利润、图形面积、传播计数四大核心必考题型的解题模型。 3. 能从实际情境中提取等量关系，建立一元二次方程模型，规范解题步骤。 预习重难点 重点：各类实际问题的等量关系梳理、一元二次方程建模。 难点：复杂情境下的数量关系分析、不符合实际意义方程根的舍去。 课本原文预习填空 请结合课本内容自主填空，预习夯实核心概念，为本讲实际应用解题打基础 1. 列一元二次方程解应用题的完整六步骤：____、____、____、____、____、____。 2. 解实际问题方程后必须双重检验：一是检验__________，二是检验__________。 3. 平均增长率模型：初始量为，平均增长率为，经过次增长后总量_________。 4. 商品销售核心公式：总利润 = ______ × ______；单件利润 = _______ - _______。 5. 单循环比赛/握手问题总次数公式：_________；双循环比赛总次数公式：_______。 6. 传播问题：1个传染源，每轮每人传播人，经过两轮传播后总数量为__________。 预习填空参考答案 1. 审、设、列、解、验、答 2. 未知数的值是否为方程的解；未知数的值是否符合实际意义 3. 4. 单件利润、销售数量；售价、进价 5. ； 6. 二.教材知识梳理解读 （一）列一元二次方程解应用题六步法 1. 审：读懂题意，梳理已知量、未知量，找准题目中的核心等量关系（解题关键）。 2. 设：合理设未知数，优先直接设所求量，复杂问题可间接设，注明单位。 3. 列：根据等量关系，列出标准一元二次方程（一般形式：）。 4. 解：选用合适方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解方程。 5. 验：双重检验！①检验数值是否为方程的解；②检验是否符合实际情境（长度、人数、增长率等不能为负数），舍去不合理的根。 6. 答：规范书写答案，匹配题目问题，带对应单位。 （二）四大高频题型通用公式模型 1. 增长率或下降率问题（必考） 适用场景：产量、销量、产值、价格、存款等连续两轮及以上变化问题。 核心模型： 参数说明：为初始基数，为平均增长率（+）/下降率（-），为变化次数，为变化后总量。 2. 销售利润问题（中考热点） 核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量 衍生公式：单件利润=售价-进价；涨价销量减、降价销量增，根据题意对应调整数量表达式。 3. 图形面积问题 适用场景：道路宽度、边框宽度、裁剪拼接、动态图形面积变化。 解题思路：通过平移、割补法，将不规则图形转化为规则矩形、正方形，利用面积公式列方程，核心是找准变化后的边长。 4. 传播与计数问题 传播问题模型：（初始数量，每轮传播数量，传播轮数） 计数问题（握手、比赛）：单循环总次数，双循环总次数。 （三）核心易错点提醒 1. 实际问题中，未知数取值受现实限制：人数、边长、数量必须为正数，增长率介于0-1之间。 2. 方程解出两个根时，务必取舍，不可直接照搬答案。 3. 增长率问题注意变化次数，区分单次变化与多次连续变化。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】（1）年到年这种药剂价格的年平均下降率为；（2）该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 解：（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率； （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】（1）；（2）米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 解：（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 【题型 2】图形面积问题 【例题2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【答案】（1）6；（2）12 【分析】（1）根据“一段长为的篱笆”可表示出，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可； （2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴x的值为6； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 答：x的值为12． 【变式1】（2026·云南昆明·二模）如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，剩余部分长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 解：由题可知，剩余部分长为，宽为的矩形， 所以． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 解：由题意，可列方程为. 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： （1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． （2）求出剪去的小正方形的边长； （3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】（1），；（2）；（3）个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 解：（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； （2）解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； （3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． 【题型 3】销售利润问题 【例题3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） （2）该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】（1），；（2）每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 解：（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 解：设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 【变式2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． （1）关于的函数解析式为 ； （2）若销售单价不低于元时，求最大销售量； （3）若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】（1） ；（2） 个 ；（3）不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 解：（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合（1）可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 【题型 4】传播与比赛问题 【例题4】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 【变式3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 【题型 5】行程与工程问题 【例题5】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】（1）型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 解：（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点拨】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 解：设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； （2）若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】（1）4；6；（2）①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 解：（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 增长率问题与销售利润问题综合 【例题6】（25-26八年级下·云南昆明·期末）2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 解：（1）解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某款发卡在某电商平台上月日的销量为个，月日和月日的总销量是个．若月日和日较前一天的增长率均为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是增长率问题，理清不同日期的销量关系是解题的关键．设增长率为，根据 “现期量基期量 （增长率）”，可分别表示出月日和日的销量，再根据两天的总销量为个列出方程． 解：设月日和日较前一天的增长率均为， 月日销量为个， 月日销量为，月日销量为， 又月日和月日的总销量是个， 可列方程， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某种型号的芯片每片的出厂价为200元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为72元．依题意可列方程为______. 【答案】 【分析】第一降价后，价格为，则接着在第一次价格的基础上进行第二次降价为，据此列出等式即可作答． 解：每次降价的百分率都为x，第一降价后，价格为，则接着在第一次价格的基础上进行第二次降价，价格为， 则根据题意，有：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： （1）任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； （2）任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【答案】（1）10月份至12月份报名人数的月平均增长率为；（2）降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 解：（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 【题型 7】 一元一次方程与几何动点问题 【例题7】（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】（1）或 （2）能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 解：（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 解：（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 【题型 8】 一元一次方程与函数问题 【例题8】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（是常数）图像与轴的交点位于轴负半轴上，且函数值随自变量的增大而减小． （1）该一次函数图像一定经过第________象限； （2）求的取值范围； （3）如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 【答案】（1）二、三、四 （2） （3） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程． （1）根据图象的增减性以及与轴的交点的位置的特点直接判断即可； （2）根据图象的增减性可以确定一次函数的自变量系数的正负性进而列出一个不等式；再求出轴的交点的坐标，再根据位置特点列出第二个不等式，问题即可得解； （3）先求出与坐标轴的交点坐标，再根据（2）的结果，结合面积即可列出方程，解方程即可求解． 解：（1）解：∵一次函数图像与轴的交点位于轴负半轴上， ∴该一次函数图像一定经过第三、四象限， ∵该函数值随自变量的增大而减小， ∴该一次函数图像一定经过第二、四象限， 综上：该一次函数图像一定经过第二、三、四象限， （2）解：∵一次函数的值随自变量的增大而减小， ∴，即， 当时，， ∴函数图像与轴的交点为， ∵该函数图像与轴的交点位于轴负半轴上， ∴，即， 综上：； （3）解：当时，即：， 则有：， ∴函数图像与轴的交点为， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，， ∴原点与点的距离为：，原点与点的距离为：， ∵该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2， ∴， 整理：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一次函数的表达式为：． 【变式1】（2026·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接、、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则和是方程的两个解，得到，．设一次函数与轴交于点，根据，得到，平方后解方程即可． 解：设，． 联立，整理得， ∴和是方程的两个解， ∴， ∴． 设一次函数与轴交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 整理得，即 解得或（舍去）， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． （1）求E点的坐标； （2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 【答案】（1）E的坐标是 （2）点M的坐标为 （3）点M的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，菱形的性质，解一元二次方程． （1）令，得，可知，求出，即可作答； （2）先求出，再设M的横坐标是a，代入计算进一步即可得出点M的坐标. （3）当四边形是菱形时，直接根据菱形的性质得到M的纵坐标是3，代入计算即可；当四边形是菱形时，列一元二次方程计算即可． 解：（1）解：一次函数中， 令，得， ∴D的坐标是，， ∵， ∴， ∴， ∴E的坐标是； （2）解：， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴， 设M的横坐标是a，则， 解得：， 把代入得： ， ∴M的坐标； （3）解：当四边形是菱形时，如图（1）， 此时，M的纵坐标是3，把代入中， 解得：， ∴M的坐标是； 当四边形是菱形时，如图（2）， ∵，则设M的横坐标是m，则纵坐标是， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴M的坐标是， 综上，点M的坐标为或． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·贵州·一模）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 2．（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 3．（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 6．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． 解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 7．（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 8．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出方程，即可解答． 解：当输出结果为时， 解得：或， 故选：B． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 10．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 解：设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·重庆·模拟预测）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______． 【答案】10 【分析】等量关系为：原价（降价百分率现售价，将相关数值代入求解，舍去不符合实际意义的解即可． 解：第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， 由此列方程得：， 解得，， 因为降价百分率不大于， 所以不合题意，舍去． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为13米的篱笆，围出一块一边靠墙（墙足够长）的20平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设的长为x米，根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形面积公式建立方程． 设的长为x米，则米，再由长方形面积公式建立方程． 解：设的长为x米，则米， 由题意得，， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 解：根据题意得，． 15．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的日平均增长率为；（2）校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 解：（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·贵州黔南·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形花圃的面积为，求的长． （2）围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1）5米；（2）不能，理由见分析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． 解：（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； （2）解：围成的矩形花圃的面积不能为，理由如下， 假设面积可以为，则， 整理得即， ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． （1）该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每件文创产品的售价应降低10元；（2）每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 解：（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． （2）如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】（1），；； （2）解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 解：（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·辽宁营口·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】（1）；（2）20元或40元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． 解：（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $