暑期预习讲义（第3讲）——正方形综合专题（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——正方形综合专题（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 1. 预习目标 2 2.课本预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】特殊四边形从属关系（核心逻辑） 3 【知识点二】正方形终极性质汇总 3 【知识点三】正方形四种判定方法（解题优先级） 3 【知识点四】中考必考正方形固定结论 3 【知识点五】易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】正方形的性质的理解 4 【题型 2】正方形边长、对角线、角度基础计算 5 【题型 3】利用45°角、等腰直角三角形求值 7 【题型 4】正方形与面积问题 10 【题型 5】正方形判定证明 13 【题型 6】正方形性质与判定综合（基础） 16 四.经典题型精析（巩固提升） 19 【题型 7】 菱形与平行四边形综合 19 【题型 8】 菱形与图形变换 27 五.同步自测 32 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握正方形的定义、性质与四种判定方法，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系； （2）熟练运用正方形边角、对角线性质进行计算与证明； （3）掌握正方形基础几何模型，能解决简单综合题型； （4）规避特殊四边形判定易错点，对接中考中档几何题型。 2.课本预习填空 【课本基础概念填空】 （1）正方形的定义：有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。 （2）正方形是特殊的________，也是特殊的________，更是特殊的平行四边形。因此正方形同时具备矩形、菱形、平行四边形的所有性质。 （3）正方形的性质： ①边：四条边________，对边平行； ②角：四个角都是________； ③对角线：对角线________且________，每条对角线________一组对角； ④对角线将正方形分成四个全等的________三角形。 （4）正方形的对称性：正方形是_____对称图形，有_____条对称轴；同时是______对称图形。 （5）正方形的判定： ①有一组邻边相等的________是正方形； ②有一个角是直角的________是正方形； ③对角线互相垂直的________是正方形； ④对角线相等的________是正方形。 【课本预习填空·参考答案】 （1）相等；直角 （2）矩形；菱形 （3）①相等；②直角；③相等；互相垂直；平分；④等腰直角 （4）轴；4；中心 （5）①矩形；②菱形；③矩形；④菱形 二.教材知识梳理解读 【知识点一】特殊四边形从属关系（核心逻辑） 平行四边形→矩形（加直角）菱形（加邻边相等）→正方形（同时直角+邻边相等） 正方形 = 最完美的四边形：集齐平行四边形、矩形、菱形全部性质。 【知识点二】正方形终极性质汇总 边：四边相等、对边平行、邻边垂直； 角：四个角均为90°； 对角线（重中之重）： ① 相等、互相垂直、互相平分；② 平分内角，分得内角为45°；③ 分割出等腰直角三角形。 【知识点三】正方形四种判定方法（解题优先级） 判定1（矩形升级）：矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 判定2（菱形升级）：菱形 + 一个直角 → 正方形 判定3（对角线法1）：矩形 + 对角线垂直 → 正方形 判定4（对角线法2）：菱形 + 对角线相等 → 正方形 极简口诀：矩形变正方加邻边相等，菱形变正方加直角。 【知识点四】中考必考正方形固定结论 1. 正方形对角线与边的夹角为45°； 2. 若正方形边长为a，则对角线长为； 3. 正方形面积 = 边长² = 对角线²； 4. 对角线分割的三角形全部为等腰直角三角形。 【知识点五】易错点重磅预警 易错1：对角线相等且垂直的四边形是正方形（错！必须先为平行四边形） 易错2：有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形（错！必须先为平行四边形） 易错3：混淆三者性质：菱形垂直不等、矩形相等不垂、正方形既垂又等 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】正方形的性质的理解 【例题1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】D 解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期末）下列说法正确的是（     ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，逐项进行判断即可． 解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·开学考试）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质逐一判断命题真假即可． 解：A．只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，普通平行四边形的对角线不平分一组对角，因此A是假命题； B．矩形对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，因此B是假命题； C．菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，因此C是假命题； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，符合正方形的性质，因此D是真命题； 【题型 2】正方形边长、对角线、角度基础计算 【例题2】（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键． 解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到． 解：正方形中，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，是正方形的边的中点，连接，证明． 【答案】证明见分析 【分析】通过已知条件，借助边角边即可证三角形全等． 解：是正方形的边的中点， ， 在和中 【题型 3】利用45°角、等腰直角三角形求值 【例题3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，正方形的边长为1，延长边到点E，使，连接，的度数是多少？试利用这个图形求出角的正切的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查正方形的性质及三角函数，熟练掌握正方形的性质及三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据等腰三角形的性质及外角的性质可得，进而根据正切的定义可进行求解． 解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴角的正切的值为． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可． 解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意； B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形， ∴， 若， 则， ∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出正方形边长的平方，根据正方形面积等于边长的平方，即可得出结果． 解：是等腰直角三角形，，， 由勾股定理得， 正方形的边长为，正方形面积等于边长的平方， 正方形的面积为． 【变式3】（江苏省泰州市姜堰区南苑学校2023-2024学年八年级上学期数学独立作业9.27）如图，点M是正方形边AB上一动点，作的延长线，过M作的垂线与的角平分线交于点N，问与相等吗？为什么？    【答案】．理由见分析 【分析】取边上的一点F，使，连接，求得，推出，，利用证明，即可证明． 解：．理由如下， 证明：取边上的一点F，使，连接．    正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 在和中 ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型 4】正方形与面积问题 【例题4】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，在直线上有正方形，，，若正方形，的边长分别为和，则正方形的面积为多少？为什么？ 【答案】正方形的面积为20．理由： ，在直线上有正方形，，， ，， ， ∴， ， 在和中，， ， ， ，边长分别为2和4， ， 正方形的面积为20． 【分析】证明得出，进而根据勾股定理求得，即可求解． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可． 解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级下·四川南充·期末）如图，四边形是边长为的正方形，是边上一点，连接，，于． （1）用含的式子表示的面积． （2）若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】先求出正方形的面积，再根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形的面积公式求出，再根据勾股定理解答即可． 解：（1）解：∵正方形边长为， ， ； （2）解：∵于， ∴， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，． 【题型 5】正方形判定证明 【例题5】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】正方形，见分析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，正方形的判定，难度适中．先由中位线的性质得出，则，再根据旋转的性质得出，则四边形是矩形，又，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形是正方形． 解：四边形是正方形． 证明如下： 点、点分别是、的中点， ，是的中位线， ， ． 又是由绕点旋转而得， ，点、、在一条直线上， 四边形是矩形． ，， ， 四边形是正方形． 【变式1】（2026·河北廊坊·一模）如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵矩形本身就有，，，故A，C，D错误； 添加，可以证明矩形是正方形，故B正确． 【变式2】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，结合，，即可作答． 解：略 【题型 6】正方形性质与判定综合（基础） 【例题6】（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【答案】（1）见分析；（2）正方形， 【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形； （2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可． 解：（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE， ∴四边形ADCE是正方形， ∴ ∴． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，点、分别在轴、轴上，且，若点坐标为，则______（用含的代数式表示）． 【答案】18-． 【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-，可求CD=9-，求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可． 解：过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D， ∵点， AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º， 四边形AEOD为正方形， ∵，∠EAD=90°， ∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠BAE=∠CAD， ∵，AE=AD， ∴△AEB≌△ADC（SAS）， ∴BE=CD， ∵EB=EO-BO=9-， ∴CD=9-， OC=OD+CD=9+9-=18-， 故答案为：18-． 【点拨】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键． 【变式3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，，进一步证明，同理可证明，由此即可证明结论． 解：证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理可证明， ∴四边形是正方形． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】 菱形与平行四边形综合 【例题7】（23-24八年级下·安徽池州·阶段检测）如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． （1）求证：． （2）①______； ②求证：． （3）求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）①15°；②详见分析；（3）详见分析 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 解：（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 【变式1】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、，连接，点分别是线段上的动点，沿折叠，使点的对应点落在边上．若是直角三角形，则的长为__________． 【答案】或 【分析】根据勾股定理可得，分类讨论：当时，，是直角三角形，根据折叠可得点重合，则，在中，根据锐角三角函数，得到，，在中，由勾股定理即可求解；当时，，是直角三角形，由折叠可得四边形是正方形，设，则，，得到，在中，由勾股定理即可求解． 解：∵点、，， ∴，， 当时，，是直角三角形，如图所示， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴点重合，则， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得，， ∴， 在中，； 当时，，是直角三角形，如图所示， ∵折叠， ∴，且， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，锐角三角函数的计算，正方形的判定和性质，掌握以上知识的综合，数形结合分析思想是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图1，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明：如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴（角平分线的性质定理）， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2） （3）或 【分析】（1）过点作于点，作于点，证出，则，再根据正方形的判定即可得证； （2）先求出，再得出点与点重合，则，然后得出即可； （3）分两种情况：①当线段与正方形的边的夹角是时，即，②当线段与正方形的边的夹角是时，即，利用正方形和矩形的性质求解即可． 解：（1）证明：略． （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 又∵过点作，交射线于点， ∴如图2，此时点与点重合，则， 由（1）已证：四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； ②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即， 设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 即； 综上，的度数为或． 【题型 8】 菱形与图形变换 【例题8】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，正方形的边长为，，分别是，边上的点，且，将绕点按逆时针方向旋转得到． （1）画出旋转后的； （2）求证：； （3）当时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）证明见分析；（3）． 【分析】（）根据旋转作图即可； （）由旋转的性质可得，为直角，可得出，则有，推出，根据全等三角形的性质即可求证； （）由旋转的性质可得，设，根据勾股定理则可求解． 解：（1）画图，    ∴即为所求； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点逆时针旋转90°得到， ∴，，， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由旋转得， ∴， 设，则， ∵正方形中，， ∴， ∴， 解得，即． 【点拨】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）如图，边长为4的正方形中，将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再利用正方形的性质、折叠的性质、等角对等边，以及勾股定理，进行解答即可． 解：如图，连接， 四边形为正方形， ，平分，， ，． 将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处， ，，， ，， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，点P在线段上，，分别以为边，在同侧作正方形和正方形．再把正方形沿着平移，使得点B与点P重合，如图2，连结．若，阴影部分的面积为，则线段的长为________cm． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，可得，再结合平方差公式可得，即可求解． 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ∴，， ∵， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 联立得：， 解得：， 即． 故答案为：6 【变式3】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． （1）如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； （2）如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； （3）如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）①② 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由求解即可； （2） 添加辅助线，连接，得到为的垂直平分线，结合折叠的性质可得，，进而得到为等边三角形，从而可求解，由此可解； （3）①根据折叠可知，，，再结合，求解即可； ②先由折叠的性质得到，，再由直角三角形中的勾股定理建立关于的方程，求解即可． 解：（1）解：根据折叠的性质可得， ， ，即， ； （2）解：连接，如图， 将长方形纸片对折，折痕为， 为的垂直平分线， ， 再由折叠的性质可得，， ， 为等边三角形， ， ， ； （3）解：①由折叠性质可知：，． 四边形是正方形， ， 即． ； ②四边形是正方形， ， 由折叠可得，， ， ，， ， ， 中，， ， 即，解得． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·湖南·三模）下列图形中，具有稳定性的是（     ） A．三角形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】A 解：具有稳定性的是三角形． 2．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得出，，，然后利用勾股定理求解即可． 解：∵每个小正方形边长均为1，， ∴，， ∴． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，若，则点P到直线的距离为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 利用正方形的性质得到为的平分线，直接利用角平分线的性质即可求解． 解：过点作于点，    ∵四边形为正方形， ∴平分， 又∵， ， ∴点到直线的距离为3． 故选：A． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 5．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理． 解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 6．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 解：在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查中位线定理和正方形的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定． 画出图形，由三角形中位线的性质，可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形为菱形，可证明平行四边形是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形即可证明菱形是正方形． 解：设正方形，、、、分别为、、、的中点，连接、. ∵ 、是、的中点， ∴ ，且 . 同理，，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形. ∵ 、是、的中点， ∴ ， . ∵ 正方形对角线相等且垂直， ∴ ，， ∴ = ， 又∵四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形. ∵ ，，， ∴， ∴ ， ∴ 菱形是正方形. 故选：D． 8．（25-26七年级下·河北张家口·期末）图中正方形、的边长分别为和，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质证明，再根据勾股定理求解即可． 解：如图， ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为． 9．（2024福建南平·模拟预测）如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质知道，证明，再根据角平分线的性质求出的角度，利用等量代换求解即可． 解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可． 解：当点Q在上运动时，的面积为， 当时，的面积为4， 即， 此时点为的中点， 故， 解得：． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，可得，，则，再根据等边对等角，可得，结合，即可求得的度数． 解：∵四边形是一个正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·阶段检测）正方形的面积是4，则它的对角线长是_______________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理质、二次根式的性质．熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．根据正方形的性质可求得其边长，再根据勾股定理可求得其对角线的长． 解：∵正方形的面积是4， ∴它的边长是， 根据勾股定理得到则它的对角线长． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个正方形，则剪口与折痕所成的角α的度数为____________． 【答案】45° 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的判定进行分析即可． 解：把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的角平分线， ∴当剪口线与折痕成45度角的时候，菱形就变成了正方形， 故答案为：45°． 【点拨】本题主要考查了通过折叠变换，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．（2026·天津河东·三模）如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于点，，，分别是，的中点． （1）四边形的面积为______； （2）的长为______． 【答案】 【分析】连接，先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，是的中点，可得由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且是的中点，根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵是的中点， ∴是的中点， ∴． 15．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为____________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点E在正方形外部和点E在正方形内部，分别画出示意图，讨论求解即可． 解：如图所示，当点E在正方形外部时， 由正方形的性质可得， 由等边三角形的性质可得， ∴， ∴； 如图所示，当点E在正方形内部时， 由正方形的性质可得， 由等边三角形的性质可得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 16．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，是正方形的对角线，延长至点，使，连接，若，则的度数为____________． 【答案】/67.5度 【分析】根据正方形的性质先得到，，再由等边对等角求解即可 ． 解：在正方形中，，为对角线， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴ ． 17．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴，垂足为E，证明，得到，计算的长即可． 解：如图，过点C作轴，垂足为E． ∵四边形是正方形，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 18．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________． 【答案】/40度 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 解：连接， 在菱形和正方形中， ∴平分， ∴ ∵， ∴, ∴ ∵ ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 解：略． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在坐标平面内，正方形的顶点坐标分别为、． （1）直接写出正方形的边长__________； （2）求顶点A的坐标． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，掌握平面直角坐标系的含义是解本题的关键； （1）由正方形的顶点坐标分别为、，可得答案； （2）由轴，可得轴，结合，可得答案． （1）解：∵正方形的顶点坐标分别为、， ∴， （2）∵，，轴， ∴轴，； 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，为正方形的对角线上的任一点，于，于． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，．求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）如图1，连接，由正方形的性质得到，，接下来证明，于是得到，然后证明四边形是矩形，由矩形的对角线相等可得到，从而等量代换可证得； （2）先根据勾股定理计算，根据和三角形内角和定理可得，计算，即可求解． 解：（1）证明：如图所示，连接，   四边形是正方形， ，， 又， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ； （2）在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． （1）求证：矩形为正方形； （2） ． 【答案】（1）证明：如图，过点作于M，于N，则． 四边形是正方形， 平分，， 又，， ，， ∴四边形 是矩形， ∴， ， ，， ． 在和中， ， ． ， ∵四边形是矩形， 矩形是正方形． （2） 【分析】（1）过点作于M，于N，证，得，即可证矩形为正方形； （2）证明，可得，由此可推得，利用勾股定理计算即可． 解：（1）略 （2）解：四边形与四边形为正方形， ∴，，， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，化为最简二次根式，解决本题的关键是熟练运用相关性质定理． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形是正方形，点P是上任意一点，于点E，于点F，于点H，的延长线交于点G． （1）求证：； （2）四边形是什么四边形？并证明； （3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）正方形，见分析；（3） 【分析】（1）利用全等三角形的判定首先得出，进而得出，即可证明结论； （2）首先得出四边形是矩形，再利用，同理可得：，进而得出，即可得出答案； （3）首先求出的长，再利用三角形面积关系得出的长，进而求出的长，即可得出答案． 解：（1）证明：∵于点E，于点F，于点H， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴四边形是矩形， ∵，同理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，利用已知得出以及求出的长是解题关键． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的位置关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）由正方形的性质容易证明，则，由等量代换可得，因此； （2）先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形的性质求出． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴， 在中，是的中点， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——正方形综合专题（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 2 1. 预习目标 2 2.课本预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】特殊四边形从属关系（核心逻辑） 3 【知识点二】正方形终极性质汇总 3 【知识点三】正方形四种判定方法（解题优先级） 3 【知识点四】中考必考正方形固定结论 3 【知识点五】易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】正方形的性质的理解 4 【题型 2】正方形边长、对角线、角度基础计算 4 【题型 3】利用45°角、等腰直角三角形求值 5 【题型 4】正方形与面积问题 6 【题型 5】正方形判定证明 7 【题型 6】正方形性质与判定综合（基础） 7 四.经典题型精析（巩固提升） 8 【题型 7】 菱形与平行四边形综合 9 【题型 8】 菱形与图形变换 10 五.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握正方形的定义、性质与四种判定方法，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系； （2）熟练运用正方形边角、对角线性质进行计算与证明； （3）掌握正方形基础几何模型，能解决简单综合题型； （4）规避特殊四边形判定易错点，对接中考中档几何题型。 2.课本预习填空 【课本基础概念填空】 （1）正方形的定义：有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。 （2）正方形是特殊的________，也是特殊的________，更是特殊的平行四边形。因此正方形同时具备矩形、菱形、平行四边形的所有性质。 （3）正方形的性质： ①边：四条边________，对边平行； ②角：四个角都是________； ③对角线：对角线________且________，每条对角线________一组对角； ④对角线将正方形分成四个全等的________三角形。 （4）正方形的对称性：正方形是_____对称图形，有_____条对称轴；同时是______对称图形。 （5）正方形的判定： ①有一组邻边相等的________是正方形； ②有一个角是直角的________是正方形； ③对角线互相垂直的________是正方形； ④对角线相等的________是正方形。 【课本预习填空·参考答案】 （1）相等；直角 （2）矩形；菱形 （3）①相等；②直角；③相等；互相垂直；平分；④等腰直角 （4）轴；4；中心 （5）①矩形；②菱形；③矩形；④菱形 二.教材知识梳理解读 【知识点一】特殊四边形从属关系（核心逻辑） 平行四边形→矩形（加直角）/菱形（加邻边相等）→正方形（同时直角+邻边相等） 正方形 = 最完美的四边形：集齐平行四边形、矩形、菱形全部性质。 【知识点二】正方形终极性质汇总 边：四边相等、对边平行、邻边垂直； 角：四个角均为90°； 对角线（重中之重）： ① 相等、互相垂直、互相平分；② 平分内角，分得内角为45°；③ 分割出等腰直角三角形。 【知识点三】正方形四种判定方法（解题优先级） 判定1（矩形升级）：矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 判定2（菱形升级）：菱形 + 一个直角 → 正方形 判定3（对角线法1）：矩形 + 对角线垂直 → 正方形 判定4（对角线法2）：菱形 + 对角线相等 → 正方形 极简口诀：矩形变正方加邻边相等，菱形变正方加直角。 【知识点四】中考必考正方形固定结论 1. 正方形对角线与边的夹角为45°； 2. 若正方形边长为a，则对角线长为； 3. 正方形面积 = 边长² = 对角线²； 4. 对角线分割的三角形全部为等腰直角三角形。 【知识点五】易错点重磅预警 易错1：对角线相等且垂直的四边形是正方形（错！必须先为平行四边形） 易错2：有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形（错！必须先为平行四边形） 易错3：混淆三者性质：菱形垂直不等、矩形相等不垂、正方形既垂又等 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】正方形的性质的理解 【例题1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 【变式1】（25-26八年级下·山西临汾·期末）下列说法正确的是（     ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·开学考试）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【题型 2】正方形边长、对角线、角度基础计算 【例题2】（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【变式3】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，是正方形的边的中点，连接，证明． 【题型 3】利用45°角、等腰直角三角形求值 【例题3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，正方形的边长为1，延长边到点E，使，连接，的度数是多少？试利用这个图形求出角的正切的值． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 【变式3】（江苏省泰州市姜堰区南苑学校2023-2024学年八年级上学期数学独立作业9.27）如图，点M是正方形边AB上一动点，作的延长线，过M作的垂线与的角平分线交于点N，问与相等吗？为什么？    【题型 4】正方形与面积问题 【例题4】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，在直线上有正方形，，，若正方形，的边长分别为和，则正方形的面积为多少？为什么？ 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 【变式3】（25-26八年级下·四川南充·期末）如图，四边形是边长为的正方形，是边上一点，连接，，于． （1）用含的式子表示的面积． （2）若，，求的长． 【题型 5】正方形判定证明 【例题5】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【变式1】（2026·河北廊坊·一模）如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【题型 6】正方形性质与判定综合（基础） 【例题6】（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，点、分别在轴、轴上，且，若点坐标为，则______（用含的代数式表示）． 【变式3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】 菱形与平行四边形综合 【例题7】（23-24八年级下·安徽池州·阶段检测）如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． （1）求证：． （2）①______； ②求证：． （3）求证：． 【变式1】（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、，连接，点分别是线段上的动点，沿折叠，使点的对应点落在边上．若是直角三角形，则的长为__________． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图1，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【题型 8】 菱形与图形变换 【例题8】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，正方形的边长为，，分别是，边上的点，且，将绕点按逆时针方向旋转得到． （1）画出旋转后的； （2）求证：； （3）当时，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）如图，边长为4的正方形中，将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，点P在线段上，，分别以为边，在同侧作正方形和正方形．再把正方形沿着平移，使得点B与点P重合，如图2，连结．若，阴影部分的面积为，则线段的长为________cm． 【变式3】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． （1）如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； （2）如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； （3）如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·湖南·三模）下列图形中，具有稳定性的是（     ） A．三角形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，若，则点P到直线的距离为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 5．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8．（25-26七年级下·河北张家口·期末）图中正方形、的边长分别为和，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2024福建南平·模拟预测）如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数______． 12．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·阶段检测）正方形的面积是4，则它的对角线长是_______________ 13．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个正方形，则剪口与折痕所成的角α的度数为____________． 14．（2026·天津河东·三模）如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于点，，，分别是，的中点． （1）四边形的面积为______； （2）的长为______． 15．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为____________． 16．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，是正方形的对角线，延长至点，使，连接，若，则的度数为____________． 17．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 18．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在坐标平面内，正方形的顶点坐标分别为、． （1）直接写出正方形的边长__________； （2）求顶点A的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，为正方形的对角线上的任一点，于，于． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，．求的长． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． （1）求证：矩形为正方形； （2） ． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形是正方形，点P是上任意一点，于点E，于点F，于点H，的延长线交于点G． （1）求证：； （2）四边形是什么四边形？并证明； （3）若，求四边形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的位置关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $