专题27.2 反比例函数的图象和性质（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上学期培优讲义

专题27.2 反比例函数的图象和性质 【本节预习目标】 1.知识与技能 会用描点法画反比例函数的图象，了解反比例函数的图象是双曲线 掌握反比例函数的性质，能根据k的符号判断图象所在象限和增减性 理解反比例函数图象的对称性（中心对称和轴对称） 能运用反比例函数的图象和性质解决相关问题 2.过程与方法 经历"画图—观察—猜想—归纳—验证"的过程，培养探究能力 通过类比一次函数、二次函数的研究方法，体会类比的数学思想 在探究反比例函数性质的过程中，发展数形结合的数学思想 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 反比例函数的概念 定义：（为常数，）；三种表达形式；取值范围 本节研究的对象，是学习图象和性质的基础 一次函数的图象和性质 图象是直线；时y随x增大而增大；时y随x增大而减小 类比一次函数的研究方法，学习反比例函数的图象和性质 描点法画函数图象 列表、描点、连线三个步骤 画反比例函数图象的基本方法 中心对称与轴对称 中心对称图形的定义；轴对称图形的定义 理解反比例函数图象对称性的基础 知识点1：反比例函数的图象 1.图象形状 反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，它由两条曲线组成，分别位于不同的象限。 2.描点法画图步骤 列表：自变量取原点附近的相反数（如等），求出对应的值 描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点 连线：用平滑的曲线顺次连接描出的点，注意图象有两个分支 3.图象特征 反比例函数的图象与轴、轴都没有交点（因为，） 图象的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交 图象的两个分支关于原点成中心对称 图象的两个分支关于直线和成轴对称 知识点2：反比例函数的性质 1. k的符号与图象位置的关系 k的符号 图象所在象限 图示 第一、第三象限 第二、第四象限 2.增减性 k的符号 增减性 注意事项 在每一个象限内，随的增大而减小 必须强调"在每一个象限内"，不能说在整个定义域内y随x增大而减小 在每一个象限内，随的增大而增大 同样必须强调"在每一个象限内" 3.对称性 中心对称：反比例函数的图象关于原点成中心对称图形，对称中心是原点 轴对称：反比例函数的图象关于直线和成轴对称图形 应用：若点在反比例函数图象上，则点、、也在图象上 知识点3：|k|的大小与图象的关系 1.|k|的几何意义 |k|的大小反映了双曲线的"开口"大小，|k|越大，双曲线的两个分支离原点越远，图象越"平缓"；|k|越小，双曲线的两个分支离原点越近，图象越"靠近"坐标轴。 2.比较方法 在同一坐标系中，|k|越大，双曲线离原点越远 可以通过取，比较对应的值的大小来判断|k|的大小 过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k| 【基础巩固题型】 【题型1】反比例函数图象的识别 1.核心知识点: 反比例函数的图象形状；双曲线的特征；k的符号与象限的关系 2.解题方法技巧: ①形状判断法：反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，据此排除不是双曲线的选项 ②象限判断法：根据k的符号，判断图象所在的象限，排除象限错误的选项 ③特征验证法：验证图象是否与坐标轴无交点，是否关于原点对称等特征 .【例题1】.（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【题型2】反比例函数图象所在象限的判断 1.核心知识点: 反比例函数的性质；k的符号与图象位置的关系 2.解题方法技巧: ①符号判断法：先确定k的正负，再根据k>0在一、三象限，k<0在二、四象限判断 ②点坐标验证法：取一个特殊点（如x=1），计算对应的y值，根据点的坐标判断象限 ③排除法：根据k的符号排除不可能的象限，缩小选择范围 【例题2】.（25-26八年级下·河南周口·期末）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【变式题2-1】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【变式题2-2】.（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【变式题2-3】.（2026·云南楚雄·二模）如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【题型3】反比例函数增减性的判断 1.核心知识点: 反比例函数的增减性；k的符号与增减性的关系 2.解题方法技巧: ①符号判断法：k>0时，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时，在每个象限内y随x增大而增大 ②图象法：画出函数图象的草图，根据图象的走向判断增减性 ③特殊值法：取两个同象限内的x值，比较对应的y值大小，验证增减性 【例题3】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·湖南邵阳·三模）已知反比例函数，下列选项正确的是（     ）． A．函数图象在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．随的增大而增大 【题型4】反比例函数的对称性应用 1.核心知识点: 反比例函数的对称性；中心对称；轴对称 2.解题方法技巧: ①中心对称法：若点在双曲线上，则其关于原点的对称点也在双曲线上 ②轴对称法：若点在双曲线上，则其关于直线的对称点也在双曲线上 ③交点对称法：反比例函数与正比例函数的两个交点一定关于原点对称 【例题4】.（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【培优提升题型】 【题型5】反比例函数与一次函数图象共存问题 1.核心知识点: 反比例函数的图象和性质；一次函数的图象和性质；图象共存问题 2.解题方法技巧: ①符号一致法：两个函数中的k（或参数）的符号应该一致，据此排除矛盾的选项 ②逐一验证法：对每个选项，分别分析两个函数的图象是否符合各自的性质 ③特殊点法：取特殊点（如x=1），比较两个函数在该点的函数值是否合理 【例题5】.（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型6】利用增减性比较函数值大小 1.核心知识点: 反比例函数的增减性；象限分布；函数值大小比较 2.解题方法技巧: ①同象限比较法：若两点在同一象限，直接根据增减性比较大小 ②异象限比较法：若两点在不同象限，根据象限的函数值正负性比较（第一象限y>0，第二象限y>0，第三象限y<0，第四象限y<0） ③代入计算法：将各点的横坐标代入解析式，计算出函数值后直接比较 【例题6】.（25-26八年级下·河南周口·期末）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式题6-1】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式题6-2】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【题型7】|k|的大小与图象位置的关系 1.核心知识点: |k|的几何意义；反比例函数图象与|k|的关系 2.解题方法技巧: ①距离判断法：在同一坐标系中，双曲线离原点越远，|k|越大 ②特殊值法：取x=1，比较各双曲线对应的y值的绝对值大小，绝对值大的|k|大 ③面积法：过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，围成的矩形面积越大，|k|越大 【例题7】.（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【变式题7-1】.（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【压轴素养题型】 【题型8】利用k的几何意义求图形面积 1.核心知识点: 反比例函数k的几何意义；矩形面积与|k|的关系；三角形面积与|k|的关系 2.解题方法技巧: ①矩形面积法：过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积等于|k| ②三角形面积法：过双曲线上任一点作一坐标轴垂线，连接原点，所得直角三角形面积等于 ③割补转化法：复杂图形通过割补转化为矩形或三角形，利用k的几何意义求解 【例题8】.（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【变式题8-1】.（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【变式题8-2】.（2026·重庆·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（    ） A．2.5 B．5 C．10 D．12 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【题型9】由图形面积求反比例函数的k值 1.核心知识点: 反比例函数k的几何意义；由面积反求k值；k的符号判断 2.解题方法技巧: ①面积转化法：将已知图形面积转化为矩形或三角形面积，对应|k|或 ②符号判断法：根据双曲线所在象限，确定k的正负号 ③方程求解法：设点坐标，根据面积关系列方程求解 【例题9】.（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式题9-2】.（2026·山东聊城·模拟预测）已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第______象限，常数的取值范围是______． (2)若该函数的图象任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为时，求反比例函数的解析式． 【变式题9-3】.（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【题型10】反比例函数与几何图形的综合 1.核心知识点: 反比例函数的图象和性质；几何图形的面积、坐标；数形结合 2.解题方法技巧: ①坐标转化法：将几何图形的边长、面积等转化为点的坐标问题 ②面积法：利用|k|的几何意义，将图形面积与k值联系起来 ③对称法：利用反比例函数的对称性，简化几何图形的计算 【例题10】.（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． (1)请直接写出、、三点的坐标； (2)将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 易错点 1、描述反比例函数的增减性时，漏掉"在每一个象限内"，错误地说"y随x的增大而减小（或增大）" 2、混淆k的符号与图象所在象限的关系，记反k>0和k<0时的图象位置 3、比较函数值大小时，不考虑点是否在同一象限，直接用增减性比较 4、认为反比例函数的图象与坐标轴有交点，忽略x≠0、y≠0的限制 5、判断图象共存问题时，忽略两个函数中参数的符号一致性 重点 1、反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，与坐标轴无交点 2、反比例函数的性质：k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大 3、反比例函数图象的对称性：关于原点中心对称，关于直线y=x和y=-x轴对称 4、|k|的大小与图象位置的关系：|k|越大，双曲线离原点越远 难点 1、反比例函数增减性的理解和正确描述，特别是"在每一个象限内"的理解 2、利用增减性比较不同象限内点的函数值大小 3、反比例函数图象的对称性的灵活应用 4、反比例函数与几何图形的综合问题，数形结合思想的运用 一、单选题 1．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 6．已知反比例函数 的图象经过点和，则 _____ 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 9．如图，一次函数的图象与坐标轴交于和，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2 反比例函数的图象和性质 【本节预习目标】 1.知识与技能 会用描点法画反比例函数的图象，了解反比例函数的图象是双曲线 掌握反比例函数的性质，能根据k的符号判断图象所在象限和增减性 理解反比例函数图象的对称性（中心对称和轴对称） 能运用反比例函数的图象和性质解决相关问题 2.过程与方法 经历"画图—观察—猜想—归纳—验证"的过程，培养探究能力 通过类比一次函数、二次函数的研究方法，体会类比的数学思想 在探究反比例函数性质的过程中，发展数形结合的数学思想 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 反比例函数的概念 定义：（为常数，）；三种表达形式；取值范围 本节研究的对象，是学习图象和性质的基础 一次函数的图象和性质 图象是直线；时y随x增大而增大；时y随x增大而减小 类比一次函数的研究方法，学习反比例函数的图象和性质 描点法画函数图象 列表、描点、连线三个步骤 画反比例函数图象的基本方法 中心对称与轴对称 中心对称图形的定义；轴对称图形的定义 理解反比例函数图象对称性的基础 知识点1：反比例函数的图象 1.图象形状 反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，它由两条曲线组成，分别位于不同的象限。 2.描点法画图步骤 列表：自变量取原点附近的相反数（如等），求出对应的值 描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点 连线：用平滑的曲线顺次连接描出的点，注意图象有两个分支 3.图象特征 反比例函数的图象与轴、轴都没有交点（因为，） 图象的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交 图象的两个分支关于原点成中心对称 图象的两个分支关于直线和成轴对称 知识点2：反比例函数的性质 1. k的符号与图象位置的关系 k的符号 图象所在象限 图示 第一、第三象限 第二、第四象限 2.增减性 k的符号 增减性 注意事项 在每一个象限内，随的增大而减小 必须强调"在每一个象限内"，不能说在整个定义域内y随x增大而减小 在每一个象限内，随的增大而增大 同样必须强调"在每一个象限内" 3.对称性 中心对称：反比例函数的图象关于原点成中心对称图形，对称中心是原点 轴对称：反比例函数的图象关于直线和成轴对称图形 应用：若点在反比例函数图象上，则点、、也在图象上 知识点3：|k|的大小与图象的关系 1.|k|的几何意义 |k|的大小反映了双曲线的"开口"大小，|k|越大，双曲线的两个分支离原点越远，图象越"平缓"；|k|越小，双曲线的两个分支离原点越近，图象越"靠近"坐标轴。 2.比较方法 在同一坐标系中，|k|越大，双曲线离原点越远 可以通过取，比较对应的值的大小来判断|k|的大小 过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k| 【基础巩固题型】 【题型1】反比例函数图象的识别 1.核心知识点: 反比例函数的图象形状；双曲线的特征；k的符号与象限的关系 2.解题方法技巧: ①形状判断法：反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，据此排除不是双曲线的选项 ②象限判断法：根据k的符号，判断图象所在的象限，排除象限错误的选项 ③特征验证法：验证图象是否与坐标轴无交点，是否关于原点对称等特征 .【例题1】.（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·四川巴中·期中）反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 【变式题1-3】.（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【题型2】反比例函数图象所在象限的判断 1.核心知识点: 反比例函数的性质；k的符号与图象位置的关系 2.解题方法技巧: ①符号判断法：先确定k的正负，再根据k>0在一、三象限，k<0在二、四象限判断 ②点坐标验证法：取一个特殊点（如x=1），计算对应的y值，根据点的坐标判断象限 ③排除法：根据k的符号排除不可能的象限，缩小选择范围 【例题2】.（25-26八年级下·河南周口·期末）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 【变式题2-2】.（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【分析】对于反比例函数，当时，图象位于第一，第三象限，当时，图象位于第二，第四象限，只需判断本题中的符号即可求解. 【详解】解： 反比例函数中，， 该反比例函数的图象位于第一，第三象限， 【变式题2-3】.（2026·云南楚雄·二模）如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象性质，先根据点的坐标求出比例系数的值，再根据的符号判断函数图象所在象限． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 根据反比例函数的性质，当时，函数的图象在第二、四象限． 【题型3】反比例函数增减性的判断 1.核心知识点: 反比例函数的增减性；k的符号与增减性的关系 2.解题方法技巧: ①符号判断法：k>0时，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时，在每个象限内y随x增大而增大 ②图象法：画出函数图象的草图，根据图象的走向判断增减性 ③特殊值法：取两个同象限内的x值，比较对应的y值大小，验证增减性 【例题3】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】 减小 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第一象限内的图象， ∴随的增大而减小． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项B：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项C：是反比例函数，仅在每个象限内满足随增大而增大，不符合题意； 选项D：中，，随增大而减小，符合题意． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 【变式题3-3】.（2026·湖南邵阳·三模）已知反比例函数，下列选项正确的是（     ）． A．函数图象在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合的正负判断图象所在象限及增减性即可． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象的两支分布在第二、四象限，故选项C正确，选项A错误； ∵当时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大， ∴选项B错误，选项D未说明“在每个象限内”，故选项D错误． 【题型4】反比例函数的对称性应用 1.核心知识点: 反比例函数的对称性；中心对称；轴对称 2.解题方法技巧: ①中心对称法：若点在双曲线上，则其关于原点的对称点也在双曲线上 ②轴对称法：若点在双曲线上，则其关于直线的对称点也在双曲线上 ③交点对称法：反比例函数与正比例函数的两个交点一定关于原点对称 【例题4】.（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 【变式题4-3】.（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 【培优提升题型】 【题型5】反比例函数与一次函数图象共存问题 1.核心知识点: 反比例函数的图象和性质；一次函数的图象和性质；图象共存问题 2.解题方法技巧: ①符号一致法：两个函数中的k（或参数）的符号应该一致，据此排除矛盾的选项 ②逐一验证法：对每个选项，分别分析两个函数的图象是否符合各自的性质 ③特殊点法：取特殊点（如x=1），比较两个函数在该点的函数值是否合理 【例题5】.（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 【题型6】利用增减性比较函数值大小 1.核心知识点: 反比例函数的增减性；象限分布；函数值大小比较 2.解题方法技巧: ①同象限比较法：若两点在同一象限，直接根据增减性比较大小 ②异象限比较法：若两点在不同象限，根据象限的函数值正负性比较（第一象限y>0，第二象限y>0，第三象限y<0，第四象限y<0） ③代入计算法：将各点的横坐标代入解析式，计算出函数值后直接比较 【例题6】.（25-26八年级下·河南周口·期末）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 【变式题6-2】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，再根据y的符号推导出对应x的符号，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限， 第一象限满足，第三象限满足． 又∵， ∴，可得点在第一象限，因此； ，可得点在第三象限，因此． ∴大小关系为． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 【题型7】|k|的大小与图象位置的关系 1.核心知识点: |k|的几何意义；反比例函数图象与|k|的关系 2.解题方法技巧: ①距离判断法：在同一坐标系中，双曲线离原点越远，|k|越大 ②特殊值法：取x=1，比较各双曲线对应的y值的绝对值大小，绝对值大的|k|大 ③面积法：过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，围成的矩形面积越大，|k|越大 【例题7】.（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 【变式题7-1】.（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 【变式题7-2】.（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A的坐标可排除选项A和B，根据时，，可排除选项D，从而可确定选项C符合题意． 【详解】解：设 点在反比例函数的图象上，轴， ∴，，故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴，故选项D不符合题意； ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于，故选项C符合题意． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【压轴素养题型】 【题型8】利用k的几何意义求图形面积 1.核心知识点: 反比例函数k的几何意义；矩形面积与|k|的关系；三角形面积与|k|的关系 2.解题方法技巧: ①矩形面积法：过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积等于|k| ②三角形面积法：过双曲线上任一点作一坐标轴垂线，连接原点，所得直角三角形面积等于 ③割补转化法：复杂图形通过割补转化为矩形或三角形，利用k的几何意义求解 【例题8】.（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 【变式题8-1】.（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 【变式题8-2】.（2026·重庆·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（    ） A．2.5 B．5 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，过点作轴于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得出，再利用反比例函数的几何意义求出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可得， 是等腰三角形， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 【题型9】由图形面积求反比例函数的k值 1.核心知识点: 反比例函数k的几何意义；由面积反求k值；k的符号判断 2.解题方法技巧: ①面积转化法：将已知图形面积转化为矩形或三角形面积，对应|k|或 ②符号判断法：根据双曲线所在象限，确定k的正负号 ③方程求解法：设点坐标，根据面积关系列方程求解 【例题9】.（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 【变式题9-2】.（2026·山东聊城·模拟预测）已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第______象限，常数的取值范围是______． (2)若该函数的图象任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)三， (2) 【分析】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以即可求解； （2）设点，根据三角形的面积列方程即可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：由图可知：这个反比例函数图象的另一支在第三象限， 这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ， 解得； （2）解：设点， 轴， 点的坐标为， ， ， ，  反比例函数的解析式为． 【变式题9-3】.（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)> (2) 【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数，求出，，再根据比较大小； （2）先证得四边形是矩形，再说明，，然后根据四边形的面积为20，得出点A的坐标，求出k的值． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【题型10】反比例函数与几何图形的综合 1.核心知识点: 反比例函数的图象和性质；几何图形的面积、坐标；数形结合 2.解题方法技巧: ①坐标转化法：将几何图形的边长、面积等转化为点的坐标问题 ②面积法：利用|k|的几何意义，将图形面积与k值联系起来 ③对称法：利用反比例函数的对称性，简化几何图形的计算 【例题10】.（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． (1)请直接写出、、三点的坐标； (2)将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）连接交于点，根据菱形的性质得到，，，即可求得点和点； （2）根据平移得到点和，代入反比例函数得到方程组求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点，如图， ∵四边形是菱形，，点在轴上，轴， ∴，，， ∵点在轴上， ∴，； （2）解：∵菱形向右平移个单位得， ∴点、， ∵点、恰好同时落在反比例函数的图像上， ∴，解得， 则反比例函数． 易错点 1、描述反比例函数的增减性时，漏掉"在每一个象限内"，错误地说"y随x的增大而减小（或增大）" 2、混淆k的符号与图象所在象限的关系，记反k>0和k<0时的图象位置 3、比较函数值大小时，不考虑点是否在同一象限，直接用增减性比较 4、认为反比例函数的图象与坐标轴有交点，忽略x≠0、y≠0的限制 5、判断图象共存问题时，忽略两个函数中参数的符号一致性 重点 1、反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，与坐标轴无交点 2、反比例函数的性质：k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大 3、反比例函数图象的对称性：关于原点中心对称，关于直线y=x和y=-x轴对称 4、|k|的大小与图象位置的关系：|k|越大，双曲线离原点越远 难点 1、反比例函数增减性的理解和正确描述，特别是"在每一个象限内"的理解 2、利用增减性比较不同象限内点的函数值大小 3、反比例函数图象的对称性的灵活应用 4、反比例函数与几何图形的综合问题，数形结合思想的运用 一、单选题 1．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 2．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 3．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 二、填空题 4．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 6．已知反比例函数 的图象经过点和，则 _____ 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象经过的已知点求出比例系数，再将另一点坐标代入解析式求出的值．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将，代入得 ， 解得 ， 反比例函数的解析式为 ， 点在该反比例函数图象上， 将，代入得． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为， (2)或． 【分析】（1）将点代入求得即可得到反比例函数解析式，进而确定，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，，先求得，再分、、三种情况列方程求得解并取符合题意的解即可解答． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 将代入， ∴，解得：， ∴． （2）解： 设，， ∵， ∴， 由为等腰三角形： ①当时，，解得： （不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为：， ②当时，，解得：（不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为； ③当时，，解得：（不合题意舍去）． 综上所述，P点的坐标为或． 9．如图，一次函数的图象与坐标轴交于和，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 或 【分析】（1）将点A和点B坐标代入即可解得一次函数的解析式，再求出点C坐标为，进而求得反比例函数的解析式； （2）联立和解出点D坐标，再结合图像判断不等式的解集． 【详解】（1）解：将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵过点C作x轴的垂线的垂足是E，且点在第一象限， ∴点C的x坐标为， 将代入得，， ∴点C坐标为， 将点C坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立和，得， 解得或， 当时，， ∵点在第三象限， ∴点D坐标为， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $