2.3 实数（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本初中数学讲义聚焦“实数”核心知识点，先通过无理数的定义、特征及三种常见形式（含π类、无限不循环小数、开方开不尽的数）建立认知基础，再延伸至实数的定义、分类（按定义和与0的大小关系）及与数轴的一一对应关系，构建从有理数到实数的完整知识脉络。 资料以“知识点+题型”双轨设计，7类题型（如无理数估算、实数程序图）均配典例与变式，通过具体问题培养抽象能力、运算能力和推理意识。课中辅助教师系统教学，课后学生可借变式练习与随堂检测查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

2.3 实数（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【 题型·1.无理数的定义】 1 【题型 2·无理数的大小估算】 3 【题型 3·无理数整数部分的有关计算 4 【题型·4·实数的性质】 4 【题型 5·实数的大小比较】 5 【题型 6·实数的混合运算】 6 【题型 7.与实数有关的程序图】 7 【随堂检测】 9 知识点1 无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【 题型·1.无理数的定义】 【典例1】下列各数中，无理数的个数有（     ） ，，，，（每相邻两个1之间有1个），，，， （小数部分由连续的整数组成） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是分数和整数的统称，据此逐一判断即可． 【详解】解：，， 则无理数有，，， 小数部分由连续的整数组成，共4个． 【变式1-1】下列实数中是无理数的数是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，因此也是无理数，符合题意； D、，是整数，属于有理数，不符合题意． 【变式1-2】在实数：，，，，（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：是无理数，是无理数，（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数；是有理数，是有理数， ∴无理数共3个． 【变式1-3】在实数0，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间逐渐增加1个零）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先化简题目中的根式，再根据无理数定义逐一判断，统计个数． 【详解】解：是整数，是分数，是整数，均为有理数， 是无限不循环小数，是无理数，开方开不尽，是无理数，开方开不尽，是无理数，（相邻两个1之间逐渐增加1个零）是无限不循环小数，是无理数, 无理数共有个． 【题型 2·无理数的大小估算】 【典例2】无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题使用夹逼法，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，确定无理数的范围． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 因此位于和之间． 【变式2-1】估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 【变式2-2】如图，估计的值可能是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】先估算 的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断即可. 【详解】解：， ， ， 观察数轴可知： 点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， 估计的值可能是点. 【变式2-3】估计的值介于（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】B 【分析】先确定的取值范围，再通过不等式变形得到的范围即可． 【详解】解： ，即 不等式三边同时减3，得 即 因此的值介于1到2之间． 题型 3·无理数整数部分的有关计算 知识点2 实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型·4·实数的性质】 【典例4】实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 【变式4-1】的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义，改变原数的符号即可求解． 【详解】解：的相反数为． 【变式4-2】计算（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】下列实数中最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“正数大于，负数小于；两个负数比较，绝对值大的数反而小”求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵，即， ∴， 综上所述，四个数的大小关系为， ∴最小的数是． 题型 5·实数的大小比较】 【典例5】比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：对两个数分别平方，可得，， ∵， ∴． 【变式5-1】比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-2】比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式5-3】比较大小：________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】两个同分母正分数比较大小，只需比较分子的大小，对于两个正数，可利用平方法比较大小，正数平方越大，原数越大． 【详解】解：和分母均为，且都是正数，因此只需比较分子与的大小， ，，且， ， ． 【题型 6·实数的混合运算】 【典例6】计算： 【答案】 【分析】先根据算术平方根、立方根定义计算，再加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】（1）（2）先分别计算每道题中的绝对值、乘方、算术平方根，再按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，掌握先算绝对值、乘方、开方，再算乘除，最后算加减的运算顺序是解题的关键． 【题型 7.与实数有关的程序图】 【典例7】在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 【变式7-1】如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 【详解】解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 【变式7-2】如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 【变式7-3】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，而4是有理数， 当时，，而2是有理数， 当时，，而是无理数，输出y， ∴输出的y的值是． 随堂检测 【随堂检测】 1．在下列实数中，是无理数的为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数； B．是有限小数，属于有理数； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； D．， 是整数，属于有理数． 2．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 3．的相反数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的基本概念，根据相反数的定义即可直接得出结果． 【详解】∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 求的相反数，只需改变其符号，得到． 4．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置得出，则，再判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 6．估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】用夹逼法估计无理数的大小，找到紧邻23的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即 ， 因此在4到5之间． 7．写出满足的所有整数：______． 【答案】和 【分析】对和大小的估算，得到的大致范围，确定满足条件的整数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴满足的整数有，． 8．如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积是10，先求出边长，再在数轴上求出点M对应的数． 【详解】解：∵面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上， ∴ ∵以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M， ∴， ∴点M所表示的数为． 9．比较大小：______． 【答案】 【详解】解：，， ∴， ∴． 10．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 11．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、立方根的计算依次化简再计算加减法． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查求一个数的算术平方根，实数的绝对值，求一个数的立方根，掌握相关定义、公式和法则是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 实数（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【 题型·1.无理数的定义】 1 【题型 2·无理数的大小估算】 2 【题型 3·无理数整数部分的有关计算 2 【题型·4·实数的性质】 3 【题型 5·实数的大小比较】 3 【题型 6·实数的混合运算】 3 【题型 7.与实数有关的程序图】 4 【随堂检测】 5 知识点1 无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【 题型·1.无理数的定义】 【典例1】下列各数中，无理数的个数有（     ） ，，，，（每相邻两个1之间有1个），，，， （小数部分由连续的整数组成） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】下列实数中是无理数的数是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 【变式1-2】在实数：，，，，（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】在实数0，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间逐渐增加1个零）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型 2·无理数的大小估算】 【典例2】无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，估计的值可能是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2-3】估计的值介于（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 题型 3·无理数整数部分的有关计算 知识点2 实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型·4·实数的性质】 【典例4】实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【变式4-2】计算（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列实数中最小的数是（     ） A． B． C． D． 题型 5·实数的大小比较】 【典例5】比较大小：________．（填“”“”或“”） 【变式5-1】比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【变式5-2】比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【变式5-3】比较大小：________．（填“”，“”或“”） 【题型 6·实数的混合运算】 【典例6】计算： 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【题型 7.与实数有关的程序图】 【典例7】在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【变式7-2】如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【变式7-3】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．在下列实数中，是无理数的为（      ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 3．的相反数是（     ）． A． B． C． D． 4．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 7．写出满足的所有整数：______． 8．如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 9．比较大小：______． 10．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 11．计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $