5.2-3 培优课 排列与组合的综合问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦排列与组合综合问题，通过典型例题（如7名学生排列中女生定序）导入，结合倍缩法、空位插空法等多种解法展开，总结通性通法后设置跟踪训练，构建从具体问题到方法提炼再到应用的学习支架。 其特色在于以冬奥会吉祥物组装、火星车命名等现实情境为例，引导学生用数学眼光发现问题，通过一题多解（如例1三种方法）培养数学思维，通性通法总结帮助学生用数学语言表达思路。学生能提升逻辑推理能力，教师可获得系统教学资源与方法指导。

培优课　 排列与组合的综合问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 排列中的定序问题 【例1】　有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名 学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？ 解：法一（整体法）　7名学生的排列方法共有 种，其中女生的排 列方法有 种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故 不同的排法共有 ＝ ＝840（种）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二（空位插空法）　设想有7把椅子让4名男生去坐，共有 种方 法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有 一种，故不同的坐法共有 ＝840（种）. 法三（逐步插空法）　先将3名女生按顺序排好，形成4个空位，第一 名男生选一个空位站好，有4种站法，排好的这4名学生形成5个空位， 再排第二名男生，以此类推逐步完成，由分步乘法计数原理得，不同 的排法共有4×5×6×7＝840（种）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 部分元素定序的排列问题的两种解法 　　一是把不要求定序的元素首先排列，剩余的位置就是定序的元 素，这些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为求不要求定序 的元素有多少种排法； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　　二是用“倍缩法”，有（ m ＋ n ）个元素排成一列，其中 m 个元素 之间的先后顺序确定不变，将这（ m ＋ n ）个元素排成一列，有 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他 n 个元素的位置 不动，把这 m 个元素交换顺序，有 种排法，其中只有一个排列是 我们需要的，因此共有 种满足条件的不同排法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某年元宵节灯展后，如图所示悬挂着的六盏不同的花灯需要取下，每 次取一盏，甲比乙先取下，丙比丁先取下，戊比己先取下，则共 有 种不同的取法.（用数字作答） 90　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元 素的排列数，其中甲在乙前，丙在丁前，戊在己前，先将六个元素全 排列，有 种排法，因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己 顺序确定，所以满足条件的排法数有 ＝ ＝90（种），即 取下六盏不同的花灯，每次取一盏，共有90种不同的取法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 选派问题 【例2】　有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生 到3个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区 A ，则不同的分 派方案共有　 种.（用数字作答） 解析：法一　分两类完成. 第一类：甲被选中，有 ＝36（种）分派方案. 第二类：甲不被选中，有 ＝54（种）分派方案. 根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90（种）. 90 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　分两类完成. 第一类：地区 A 分派女医生，有 种分派方案. 第二类：地区 A 分派除医生甲之外的男医生，有 ＝54 （种）分派方案. 根据分类加法计数原理，分派方案共有36＋54＝90（种）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 选派问题的解题策略 （1）解选派问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元 素都选出来，再对元素或位置进行排列.因此很多同类型试题都 可转化为选派问题进行求解； （2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件， 然后考虑是分类还是分步，这是处理选派问题的一般方法. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加， 乙、丙各需1人参加，从6人中选派4人参加这三个会议，不同的 安排方法共有 种.（用数字作答） 180　 解析：法一　先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中 选出1人参加会议乙，最后从剩下的3人中选出1人参加会议丙.根 据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 ＝180（种）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　先从6人中选出2人参加会议甲，再从余下的4人中选出2人分别 参加会议乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 ＝180（种）. 法三　先从6人中选出4人，其中2人参加会议甲，另外2人分别参加会 议乙、丙. 根据分步乘法计数原理，得不同的安排方法共有 ＝180（种）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 排列与组合的综合运用 【例3】　北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦 厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型 进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念.两者一经发布， 深受大家喜爱.某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小 赵、小孙、小王、小航6人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉 祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小 王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（　　） A. 20种 B. 28种 C. 32种 D. 40种 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一 组，共有 ＝16种；第二种：三人一组和三人一组，共有 ＝12种；所以不同的方案一共有： ＋ ＝28种.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 排列与组合综合问题的解题方法 　　求解排列、组合的综合问题时，要认真审题，把握问题的实质， 分清是排列还是组合问题，并注意结合分类与分步两个原理，要按元 素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序.解排 列、组合的综合问题的一般思路是：（1）先特殊后一般；（2）先组 合后排列；（3）先分类后分步. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 我国首辆火星车全球征名活动的初次评审环节遴选出弘毅、麒麟、哪 吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作 为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内涵， 计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是 第一个被分析的情况有（　　） A. 2 016种 B. 1 512种 C. 1 426种 D. 1 362种 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名 称共有 种不同的组合.选出的4个名称的不同分析顺序有 种，其 中赤兔是第一个被分析的顺序有 种，故赤兔不是第一个被分析的情 况共有 ·（ － ）＝1 512（种），故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $