2～3排列问题、组合问题（14大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

2、排列问题；3、组合问题 题型一：排列问题 1．下列选项中，不属于排列问题的是（ ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 3．下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 题型二：组合问题 1．下列四个问题属于组合问题的是（ ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．下列选项中，属于组合问题的是（ ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 3．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（ ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 题型三：排列数的计算 1．（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（ ） A．0 B．4 C．12 D．24 3．（ ） A．0 B．56 C．1 D．42 4．可表示为（ ） A． B． C． D． 题型四：用排列数公式证明 1．（多选）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）下列等式中，成立的有（ ） A． B． C． D． 题型五：排列数方程和不等式 1．（多选）已知，，则满足不等式的的值为（ ） A．6 B．3 C．8 D．4 2．（多选）满足不等式的x的值可能为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（多选）已知，则满足不等式的的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选）满足不等式的的值可能为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型六：组合数的计算 1．（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．计算（ ） A．6 B．35 C．41 D．45 3．若，则的值为（ ） A．12 B．5 C．12或5 D．3或5 4．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：用组合数公式证明 1．（多选）已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）下列结论正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 题型八：组合数方程和不等式 1．解关于x的方程： (1)；(2)． 2．求值、解方程或解不等式 (1)求值：； (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 3．（1）化简：； （2）证明：． 题型九：均分和不均分组合 1．（多选）盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 2．某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有种__________________. 3．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 题型一：先组后排 1．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ） A．300种 B．90种 C．240种 D．150种 2．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ） A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 3．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 4．某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（ ） A．120 B．210 C．150 D．180 题型二：捆绑法 1．某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有_______________种不同的排法．（用数字作答） 2．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有_________________（用数字作答）种. 3．三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有_______________种．（用数字作答） 题型三：插空法 1．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有______________种． 2．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 3．现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（ ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 4．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A．24 B．48 C．144 D．240 题型三：特殊位置优先法 1．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 3．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有_____________种. 4．3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人． (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数． 题型一：排列组合的综合应用 1．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 2．（多选）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 3．A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 4．（多选）现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（ ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．可以组成288个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成3240个六位数 D．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2、排列问题；3、组合问题 题型一：排列问题 1．下列选项中，不属于排列问题的是（ ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B.分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C.如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D.如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 2．下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 3．下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合排列的定义，逐项分析判断即可. 【详解】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问题； ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题， ③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题， 所以属于排列问题的为①④. 故选：A 题型二：组合问题 1．下列四个问题属于组合问题的是（ ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C.从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 2．下列选项中，属于组合问题的是（ ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 3．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（ ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 题型三：排列数的计算 1．（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据排列数的运算直接求解即可. 【详解】根据排列数的运算，. 故选：C. 2．（ ） A．0 B．4 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据阶乘的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 3．（ ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【分析】根据排列数计算公式，化简求值. 【详解】由题意得， 故选：A. 4．可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 题型四：用排列数公式证明 1．（多选）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 2．（多选）下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 3．（多选）下列等式中，成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式逐项计算、验证并判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，而，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 题型五：排列数方程和不等式 1．（多选）已知，，则满足不等式的的值为（ ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 2．（多选）满足不等式的x的值可能为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可. 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 3．（多选）已知，则满足不等式的的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】求出列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4. 故选：AB. 4．（多选）满足不等式的的值可能为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】CD 【分析】根据排列数的计算公式化简即可求解. 【详解】由可得， 故，化简可得，故， 故选：CD 题型六：组合数的计算 1．（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】根据组合数公式和排列数公式直接计算可得. 【详解】由组合数公式和排列数公式可得. 故选：D 2．计算（ ） A．6 B．35 C．41 D．45 【答案】C 【分析】根据组合数及排列数计算求解. 【详解】，，， 故选：C． 3．若，则的值为（ ） A．12 B．5 C．12或5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据组合数的性质列出方程求解即可. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又， 所以或， 解得（舍去）或. 故选：B 4．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B 题型七：用组合数公式证明 1．（多选）已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 2．（多选）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数的计算公式即可判断A；根据组合数的计算公式即可判断BCD． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， ， 所以，故D正确； 故选：ABD． 3．（多选）已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数的对称性分析判断；对于B：根据即可判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据组合数公式分析判断. 【详解】对于选项A：由，得，故A正确； 对于选项B：由，得，则，故B正确； 对于选项C：例如，则，即，故C错误； 对于选项D：因为， 所以，故D正确； 故选：ABD． 4．（多选）下列结论正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】利用排列数与组合数公式依次计算即可判断各选项. 【详解】对于选项A，显然，故正确； 对于选项B，因为，所以或， 计算可得(舍去)或，故正确； 对于选项C，由，计算可得， 所以(舍)或或，故不正确； 对于选项D，，故D不正确. 故选：AB. 题型八：组合数方程和不等式 1．解关于x的方程： (1)；(2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用排列数公式求解即可； （2）利用组合数公式求解即可． 【详解】（1）由排列数公式，可得， 化简得， 解得或或或． 又因为x要满足，且， 所以原方程的解为． （2）由条件，结合组合数的性质，可得或， 则或（舍去） 又因为， 可得， 即， 把代入上式，解得． 2．求值、解方程或解不等式 (1)求值：； (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 【答案】(1)1 (2)165 (3) (4)或 (5) 【分析】（1）利用排列数的计算求解即可； （2）利用组合数的性质与计算求解即可； （3）根据排列数的计算解排列方程即可； （4）利用组合数的性质解组合方程即可； （5）根据排列数的计算解排列不等式即可； 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）由，得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是； （4），则或 解得：或，经检验均符合， 故或； （5）由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. 3．（1）化简：； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用组合数性质计算推导即可. （2）利用以及化简处理 【详解】（1）原式． （2）左边 右边， 故等式成立． 题型九：均分和不均分组合 1．（多选）盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 【答案】ACD 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目. 【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球，则还有2个红球，不同取法有，所以A正确，B错误. 取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况，第一种2个蓝球加1个红球， 第二种3个蓝球，则不同取法有，所以C正确. 取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可， 不同取法有，所以D正确. 故选：ACD. 2．某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有种__________________. 【答案】 【分析】根据组合数的定义及计算方式直接可得解. 【详解】恰好有个女生被选中时，共有种方法， 故答案为：. 3．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 【答案】(1)15；(2)60；(3)90；(4)60；(5)360 【分析】（1）是平均分组问题，是无序的，要将直接分组后的结果除以组数的全排列数； （2）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可； （3）是平均分配问题，将（1）中的平均分组数再乘以组数的全排列数； （4）是确定了方案的非平均分配问题，（2）中的非平均分组数即是本小题的非平均分配数； （5）是无确定方案的非平均分配问题，将（2）中的非平均分组数乘以组数的全排列数，即为非平均分配数． 【详解】（1）将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序． 故有， 将6本书平均分成三堆共有15种不同的分法. （2）由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法． 故有． 所以6本书分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本共有60种不同的分法． （3）先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人， 故有． 所以6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人共有90种不同的分法 （4）实际上和（2）的问题是等价的. 故有． 所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法． （5）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以． 故有． 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 题型一：先组后排 1．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ） A．300种 B．90种 C．240种 D．150种 【答案】D 【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【详解】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有1名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 2．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ） A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得. 【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法； 第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法. 故由分类加法计数原理，共有种不同分法. 故选：B. 3．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 4．某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（ ） A．120 B．210 C．150 D．180 【答案】C 【分析】根据题意，分为两类情况：按照进行分配和按照进行分配，利用排列组合数计算后，运用分类加法计数原理即得. 【详解】因每个展区至少安排1人，故有两类情况： ①将5名志愿者按照进行分配，有种方法； ②将5名志愿者按照进行分配，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故选：C. 题型二：捆绑法 1．某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有_______________种不同的排法．（用数字作答） 【答案】240 【分析】根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他4名男生全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行， 先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他4名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：240． 2．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有_________________（用数字作答）种. 【答案】144 【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解. 【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 3．三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有_______________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】将两个空位视为一个整体与三个人排列，结合排列数的定义及计算公式可得结论. 【详解】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有种排法. 故答案为：. 题型三：插空法 1．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有______________种． 【答案】60 【分析】根据题意，运用插空法即可得到结果. 【详解】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位，包括两端， 从5个空位中选出3个空位，对3人进行全排列，即得不同的坐法共有种. 故答案为：60. 2．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 3．现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（ ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 【答案】A 【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法解决问题. 【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有种方法，再和化学书排列有种方法，最后剩下的2本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 综上，共有种方法. 故选：A 4．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 题型三：特殊位置优先法 1．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 2．甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 3．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有_____________种. 【答案】504 【分析】借助排列数的性质，结合分类、分步计数原理计算可得. 【详解】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 4．3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人． (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数． 【答案】(1)144；(2)960；(3)4896 【分析】（1）明确数学和语文小组的人数，分别计算两排的排列数后相乘；（2）分甲乙站在第一排和第二排两种情况，分别计算两种情况的排列、组合数后相加；（3）采用间接法，即7人的总排列数减去语文组4人均在第二排的排列数，即为语文小组成员分成两排站（每排至少站1人）的排列总数. 【详解】（1）数学组3人站在第一排，排法共有：, 语文组4人站第二排，排法共有:, 那么总排法为：. （2）根据题意，分甲、乙站在第一排和第二排两种情况： ①甲、乙站在第一排： 选1人在甲、乙中间：， 甲、乙二人插空排法：， 第二排4人全排：, ， ②甲、乙站在第二排： 选2人与甲、乙站在第二排：, 甲、乙二人插空排法：， 第一排3人全排：, , 所以总共排法为：. （3）利用间接法：语文小组成员分成两排站（每排至少站1人）=总排法-语文小组成员全在第二排. 即. 题型一：排列组合的综合应用 1．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐”排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 3．A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 【答案】ACD 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D. 【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确， 对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误， 对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确， 对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确， 故选：ACD 4．（多选）现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（ ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．可以组成288个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成3240个六位数 D．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】CD 【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理分别判断各选项即可． 【详解】对于A，没有重复数字的六位数应由0，1，2，3，4，5组成，共有个，故A错误； 对于B，没有重复数字的六位偶数有两类情况，末位为0的有个，末位不为0的有个，共有个，故B错误； 对于C，没有重复数字的六位数有600个，有两个1的六位数有个，有三个1的六位数有个，共有个，故C正确； 对于D，先排0，2，3，4，5，首位为0的有个，首位不为0的有个，再插人，共有个，故D正确， 故选：CD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $