5.3 组合问题第一课时组合、组合数及其性质课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2026-07-22

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摘要：

该高中数学课件聚焦组合的概念、组合数公式及性质，通过“5名候选人选3人”的情境问题导入，结合“想一想”对比排列与组合的区别，再用计数原理推导组合数公式，构建从具体情境到抽象概念的学习支架。其亮点是以数学抽象、逻辑推理和数学运算为核心素养，通过情境导入、公式推导及“通性通法”总结，如区分排列组合的“交换元素看变化”方法，例题涵盖概念辨析、公式应用和实际问题。学生能提升抽象思维与运算能力，教师可获得系统的教学资源与分层训练设计。

内容正文：

第1课时　组合数及其性质 3 组合问题新课程标准解读核心素养 1.通过实例，理解组合的概念数学抽象 2.能利用计数原理推导组合数公式逻辑推理、数学运算目录基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习必备知识梳理目录目录　　在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表. 【问题】　共有多少种选择方案？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　目录数学·选择性必修第一册（BSD）知识点一　组合的定义一般地，从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）个元素，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 【想一想】 1. a ， b ， c 和 b ， c ， a 是同一个组合吗？提示：是. 2. 排列与组合的区别是什么？提示：排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序. 为一组　目录数学·选择性必修第一册（BSD）知识点二　组合数的概念、公式及性质组合数定义从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）个元素的的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋）个元素的组合数符号表示 ⁠ 组合数公式乘积式阶乘式所有组合　　　　　目录数学·选择性必修第一册（BSD）性质备注目录数学·选择性必修第一册（BSD）提示：按照分步乘法计数原理，从 n 个元素中取 m （ m ≤ n ）个元素进行排列，可分两步进行：第1步，从 n 个元素中先取 m 个元素，有种选法；第2步，把选出的 m 个元素进行全排列有种排法.所以从 n 个不同元素中取 m 个不同元素进行排列有＝ · 种方法，所以＝ . 【想一想】组合数公式与排列数公式有何联系？目录数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）从 a1， a2， a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题. （　√　）（2）“ abc ”“ acb ”与“ bac ”是三种不同的组合. （　×　）（3）组合数＝ . （　√　）（4）两个组合相同，则其对应的元素一定相同. （　√　） √ × √ √ 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （多选）下列说法正确的是（　ABD　）目录数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 计算＋＋＋＝ ⁠. 解析：原式＝（＋）＋＝＋＝＝＝＝210. 210　目录数学·选择性必修第一册（BSD）第一课时　组合、组合数及其性质典型例题·精研析 02 课堂互动关键能力提升目录目录题型一组合的有关概念【例1】　判断下列各事件是排列问题，还是组合问题：（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？解：是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的. （2）从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？解：是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. （3）从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？解：是排列问题.因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法判断一个问题是否是组合问题的方法技巧　　区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）【跟踪训练】判断下列问题是组合问题还是排列问题：（1）某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？解：因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题. （2）把5本不同的书分给5个学生，每人一本；解：由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（3）从7本不同的书中取出5本给某个学生. 解：从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）题型二组合数公式及性质的应用角度1　化简与求值【例2】　求值：（1）3 －2 ；解：3 －2 ＝3× －2× ＝148. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）＋ . 解：∵ ∴9.5≤ n ≤10.5. ∵ n ∈N＋，∴ n ＝10， ∴ ＋＝＋＝＋＝466. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）角度2　与组合数有关的证明【例3】　证明： m ＝ n . 证明： m ＝ m · ＝＝ n · ＝ n . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）角度3　与组合数有关的方程或不等式【例4】　（1）（多选）若＞，则 n 的可能取值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 目录数学·选择性必修第一册（BSD）解析：　由＞得⇒⇒又 n ∈N ＋，则 n ＝6，7，8，9. ∴ n 的可能取值为6，7，8，9. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）已知－＝，求＋ . 解：∵ －＝， ∴ －＝，即－＝， ∴1－＝，目录数学·选择性必修第一册（BSD）即 m2－23 m ＋42＝0，解得 m ＝2或 m ＝21. ∵0≤ m ≤5， m ∈N＋，∴ m ＝2， ∴ ＋＝＋＝＝84. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法 1. 组合数公式＝一般用于计算，而组合数公式＝一般用于含字母的式子的化简与证明. 2. 要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为 m ≤ n ，且 m ， n ∈N＋. 3. 计算时应注意利用组合数的两个性质：（1）＝；（2）＝＋ . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）【跟踪训练】（1）计算：＋；解：＋＝＋＝＋200 ＝4 950＋200＝5 150. （2）证明：＝ . 证明：＝ · ＝＝ . 目录数学·选择性必修第一册（BSD）题型三简单的组合问题【例5】　在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？（1）任意选5人；解：从中任取5人是组合问题，共有＝792种不同的选法. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）甲、乙、丙三人必须参加；解：甲、乙、丙三人必须参加，则只须从另外9人中选2 人，是组合问题，共有＝36种不同的选法. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（3）甲、乙、丙三人不能参加；解：甲、乙、丙三人不能参加，则只须从另外的9人中选5 人，共有＝126种不同的选法. （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 解：甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3种选法；再从另外9人中选4人，有种选法.共有 × ＝378种不同的选法. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）通性通法解简单的组合应用题的策略（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；（2）要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 提醒　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）【跟踪训练】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. （1）现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？解：从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为＝＝45. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？解：可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有种选法；第2类，选出的2名是女教师有种选法. 根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21种不同的选法. 目录数学·选择性必修第一册（BSD）（3）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有 × ＝15×6 ＝90种不同的选法. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 下列问题是组合问题的有（　　）（1）设集合 A ＝{ a ， b ， c ， d ， e }，则集合 A 的子集中含有3个元素的有多少个？（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上有多少种票价？（3）3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？（4）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ A. （1）（2）（4） B. （1）（3）（4） C. （2）（3）（4） D. （1）（2）（3）解析：　根据组合定义知（1）（2）（4）是组合问题. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一（即 13张牌）组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（　　） A. 4×13手 B. 134手解析：　本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到手不同的牌. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）下列等式正确的有（　　）解析：　A是组合数公式，B是组合数性质；由 · ＝ × ＝得C正确；D错误. 目录数学·选择性必修第一册（BSD） 4. ＋＋＋…＋＝ ⁠. 解析：原式＝＋＋＋…＋＝＝7 315. 5.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为（用数字作答）. 解析：先给甲组选4人，有种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为＝210. 7 315　 210　目录数学·选择性必修第一册（BSD）谢谢观看！ $

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