3.4培优课　利用空间向量解决立体几何中的综合问题课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦利用空间向量解决立体几何综合问题，通过翻折、最值、探索性三大典型题型导入，衔接平面图形与立体图形的转化，以“通性通法”总结翻折不变关系、函数思想等解题支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以例题精研析为核心，结合数学思维与数学语言，如翻折问题中通过分析关键点位置和不变关系（推理能力），用空间向量坐标运算（符号表达）求解二面角，培养学生空间观念与创新意识。跟踪训练巩固方法，教师可直接用于课堂，提升教学效率，学生能系统掌握综合问题解法。

培优课　利用空间向量解决立体几何中的综合问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 翻折问题 【例1】　图①是由矩形 ADEB ，Rt△ ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平 面图形，其中 AB ＝1， BE ＝ BF ＝2，∠ FBC ＝60°.将其沿 AB ， BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG ，如图②. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）证明：图②中的 A ， C ， G ， D 四点共面，且平面 ABC ⊥平面 BCGE ； 解：证明：由已知得 AD ∥ BE ， CG ∥ BE ，所以 AD ∥ CG ， 所以 AD ， CG 确定一个平面，从而 A ， C ， G ， D 四点共面. 由已知得 AB ⊥ BE ， AB ⊥ BC ，且 BE ∩ BC ＝ B ， 所以 AB ⊥平面 BCGE . 又因为 AB ⊂平面 ABC ，所以平面 ABC ⊥平面 BCGE . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求图②中的二面角 B - CG - A 的大小. 解：作 EH ⊥ BC ，垂足为 H . 因为 EH ⊂平面 BCGE ，平面 BCGE ⊥平面 ABC ， 所以 EH ⊥平面 ABC . 由已知，菱形 BCGE 的边长为2，∠ EBC ＝60°，可求得 BH ＝ 1， EH ＝ . 以 H 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系 H - xyz ，则 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） A （－1，1，0）， C （1，0，0）， G （2，0， ）， ＝（1，0， ）， ＝（2，－1，0）. 设平面 ACGD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即 所以可取 n ＝（3，6，－ ）. 又平面 BCGE 的法向量可取 m ＝（0，1，0）， 所以 cos ＜ n ， m ＞＝ ＝ . 因此二面角 B - CG - A 的大小为30°. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 确定翻折前 后变与不变 的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后 图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折 痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而 位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生 变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于 变化的关系则要在立体图形中解决 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 确定翻折后 关键点的位 置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点，因为 这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、 线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关 系与数量关系的变化，只有分析清楚关键点的准确位 置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位 置，进而进行有关的证明与计算 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　如图①，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ BAD ＝90°， AB ＝2 ， BC ＝4， AD ＝6， E 是 AD 上的点， AE ＝ AD ， P 为 BE 的中 点，将△ ABE 沿 BE 折起到△ A1 BE 的位置，使得 A1 C ＝4，如图②. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）求证：平面 A1 CP ⊥平面 A1 BE ； 解：证明：如图①，连接 AP ， PC . ∵在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ BAD ＝ 90°， AB ＝2 ， BC ＝4， AD ＝6， E 是 AD 上 的点， AE ＝ AD ， P 为 BE 的中点. ∴ BE ＝4，∠ ABE ＝30°，∠ EBC ＝60°， BP ＝2， ∴ PC ＝2 ，∴ BP2＋ PC2＝ BC2，∴ BP ⊥ PC . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∵ A1 P ＝ AP ＝2， A1 C ＝4， ∴ A1 P2＋ PC2＝ A1 C2，∴ PC ⊥ A1 P . ∵ BP ∩ A1 P ＝ P ， BP ， A1 P ⊂平面 A1 BE ， ∴ PC ⊥平面 A1 BE . ∵ PC ⊂平面 A1 CP ，∴平面 A1 CP ⊥平面 A1 BE . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求二面角 B - A1 P - D 的余弦值. 解：如图②，以 P 为坐标原点， PB 所在直线为 x 轴， PC 所在直线为 y 轴，过 P 作平面 BCDE 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 A1（－1，0， ）， P （0，0，0）， D （－4，2 ，0）， ∴ ＝（－1，0， ）， ＝（－4，2 ，0）， 设平面 A1 PD 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ）， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 则 即 取 x ＝ ，得 m ＝（ ，2，1）， 易知平面 A1 PB 的一个法向量为 n ＝（0，1，0）， 则 cos ＜ m ， n ＞＝ ＝ . 由图可知二面角 B - A1 P - D 是钝角， ∴二面角 B - A1 P - D 的余弦值为－ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 最值（范围）问题 【例2】　在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AA1＝2， AB ＝ AD ＝1， P 为线段 AD1上的动点，则 PB1与平面 BCC1 B1所成角的余弦值的最小值 为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在的直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （1，1，0）， C （0，1，0）， B1（1，1，2），因为 DC ⊥平面 BCC1 B1，所以平面 BCC1 B1的一个法向量为 ＝（0，1，0），设 P 的横坐标为 m ，则 P （ m ，0，2－2 m ），所以 ＝（1－ m ，1，2 m ）（0≤ m ≤1），设 PB1与平面 BCC1 B1所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，令 t ＝5 m2－2 m ＋2 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （0≤ m ≤1），对称轴为 m ＝ ，所以 t ＝5 m2－2 m ＋2的最小值为 tmin＝5×（ ）2－2× ＋2＝ ，所以 sin θ的最大值为 ＝ ，因为 sin 2θ ＋ cos 2θ＝1，所以 cos θ的最小值为 ＝ ，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围 等问题，常用的思路是： （1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的 量有相应最大、最小值，即可求解； （2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标 函数，从而利用代数方法求目标函数的最值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ BAC ＝ ， AB ＝ AC ＝ AA1＝1，已知 G 与 E 分别为 A1 B1和 CC1的中点， D 与 F 分别为线 段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点），若 GD ⊥ EF ，则线段 DF 长度的取值范围为 ⁠. ［ ，1）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 E （1，0， ）， G （0， ，1），设 D （ m ， 0，0）， F （0， n ，0），0＜ m ＜1，0＜ n ＜ 1，故 ＝（－1， n ，－ ）， ＝（ m ， － ，－1），因为 GD ⊥ EF ，故可得 · ＝－ m － n ＋ ＝0，则 n ＝－2 m ＋1，由 n ∈（0，1）可得 m ∈（0， ），又 ＝（－ m ， n ，0），故｜ ｜＝ ＝ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ＝ ，故当 m＝ 时， ｜ ｜取得最小值 ；又当 m ＝0时，｜ ｜＝1，但无法取到 m ＝0，则｜ ｜无法取到1；综上，线段 DF 长度的取值 范围为［ ，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 证明、探索性问题 【例3】　如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， AB ⊥ AD ， AB ＝1， AD ＝2， AC ＝ CD ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）求证： PD ⊥平面 PAB ； 解：证明：因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， AB ⊂平面 ABCD ， AB ⊥ AD ， 所以 AB ⊥平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD . 又因为 PA ⊥ PD ， PA ∩ AB ＝ A ， AB ， PA ⊂平面 PAB ，所以 PD ⊥平面 PAB . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； 解：（2）取 AD 的中点 O ，连接 PO ， CO . 因为 PA ＝ PD ，所以 PO ⊥ AD . 又因为 PO ⊂平面 PAD ，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， 所以 PO ⊥平面 ABCD . 因为 CO ⊂平面 ABCD ，所以 PO ⊥ CO . 因为 AC ＝ CD ，所以 CO ⊥ AD . 建立如图所示的空间直角坐标系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由题意得 A （0，1，0）， B （1，1，0）， C（2，0，0）， D （0，－1，0）， P （0，0，1）. 则 ＝（0，－1，－1）， ＝（2，0，－1）. 设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即 令 z ＝2，则 x ＝1， y ＝－2，所以 n ＝（1，－2，2）. 又 ＝（1，1，－1）， 所以 cos ＜ n ， ＞＝ ＝－ . 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 BM ∥平面 PCD ？若存在，求 的值.若不存在，请说明理由. 解：设 M 是棱 PA 上一点，则存在 λ∈[0，1]使得 ＝λ . 因此点 M （0，1－λ，λ）， ＝（－1，－ λ，λ）. 因为 BM ⊄平面 PCD ， 所以当且仅当 · n ＝0时， BM ∥平面 PCD ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 即（－1，－λ，λ）·（1，－2，2）＝0，解得λ＝ . 所以在棱 PA 上存在点 M ，使得 BM ∥平面 PCD ，此时 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　立体几何中的探索性问题，多以解答题的形式出现，试题有一定 的难度，这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存 在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设， 然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若出现合理 的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AC ⊥ BC ， AC ＝ BC ＝ AA1＝2， 点 P 为棱 B1 C1的中点，点 Q 为线段 A1 B 上一动点. （1）求证：当点 Q 为线段 A1 B 的中点时， PQ ⊥平面 A1 BC ； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：证明：连接 AB1， AC1，∵点 Q 为线段 A1 B 的中点，∴ A 、 Q 、 B1三点共线. ∵点 P ， Q 分别为 B1 C1和 AB1的中点，∴ PQ ∥ AC1. 在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AC ⊥ BC ， ∴ BC ⊥平面 ACC1 A1，∴ BC ⊥ AC1， 又 AC ＝ AA1，∴四边形 ACC1 A1为正方形， ∴ AC1⊥ A1 C ， ∵ A1 C ， BC ⊂平面 A1 BC ，∴ AC1⊥平面 A1 BC ，而 PQ ∥ AC1，∴ PQ ⊥平面 A1 BC . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）设 ＝λ ，试问：是否存在实数λ，使得平面 A1 PQ 与平面 B1 PQ 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，求出这个实数λ； 若不存在，请说明理由. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：以 C 为原点，分别以 CA 、 CB 、 CC1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 设 Q （ x ， y ， z ），∵ ＝λ ，∴（ x ， y －2， z ）＝λ（2，－2，2）， ∴∴ Q （2λ，2－2λ，2λ）. ∵点 Q 在线段 A1 B 上运动，∴平面 A1 PQ 的法 向量即为平面 A1 PB 的法向量， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设平面 A1 PB 的法向量为 n1＝（ x ， y ， z ）， 由 得令 y ＝2得 n1＝（1，2，1）， 设平面 B1 PQ 的法向量为 n2＝（x'，y'，z'）， 由 得 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 令z'＝1得 n2＝（ ，0，1）＝ （1－λ，0， λ），取 n2＝（1－λ，0，λ）， 由题意得｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ＝ ＝ ， ∴9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝ 或λ＝ . ∴当λ＝ 或λ＝ 时，平面 A1 PQ 与平面 B1 PQ 所成锐二面角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $