30.3 正多边形与圆(2) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的关系，核心讲解正多边形的画法。课堂导入从工业生产中螺帽、齿轮的规整图形入手，通过回顾正多边形中心角知识，引导学生思考如何等分圆周，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合现实情境与动手操作，通过刘徽割圆术求正十二边形面积、玉璧阴影面积计算等实例，培养学生数学眼光（抽象现实问题）和数学思维（推理证明）。小结明确尺规等分圆周的方法，帮助学生提升空间观念与创新意识，为教师提供探究式教学素材，提高课堂效率。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 (2) 人教版九年级上册 工业生产里的螺帽孔洞要均匀排布、齿轮齿牙要完全咬合，设计师是怎么精准画出这种规整的正多边形的？ 我们随手画的六边形容易边长参差不齐，怎么才能画出标准的正六边形、正八边形呢？ 关键是要等分圆周. 课堂导入 问题1：我们在前面学习了正多边形和圆的关系，正多边形的中心角是多少度？ . 问题2：既然正多边形的顶点都在外接圆上，且把圆分成相等的弧，那么我们能不能通过‘分圆’来‘画多边形’呢？ 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 课堂导入 思考：如何画一个边长为 1.5 cm 的正六边形呢？ (1) 以 1.5 cm 为半径作一个 ； (2) 用量角器画一个 60°的圆心角，它对着一段弧； (3) 在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的 6 个等分点； (4) 顺次连接各分点，即可得到正六边形（如图）. 60° · O 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 此方法可将圆任意n等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差 如图所示，在半径为 R 的圆中，先用量角器画一个等于  的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的 n 等分点，顺次连接各等分点从而作出半径为 R 的正 n 边形. 说明： 此方法可将圆任意 n 等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 由于正六边形的边长等于半径，在半径为 R 的圆上，从某一点开始，依次以 R 为半径画弧，就可以把圆六等分. 顺次连接各分点就得到半径为的正六边形（如图）. 思考：还有其他的方法画出正六边形吗？ 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图. · O R 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 相同的方法可以作出正三角形. 作正六边形各边的垂直平分线即可得到正十二边形. · O R 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 思考：你能够画出圆内接正四边形、正八边形、正十六边形吗？ · O 如右图所示，在中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把四等分，从而作出正四边形； 再用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，就可以作出正八边形； 同理可以作出正十六边形等边数逐次倍增的正多边形. 说明：此方法是一种比较准确的等分圆的方法，但有局限性，不能将圆任意等分. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元. 某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若  的半径为 2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. 3 B. 12 C.  D.  例1 解析：如图 ，取正十二边形相邻两顶点 ，连接 .过点  作  于点 . ∵ 圆内接正十二边形的中心角为 ∴ ， ∴ OB⋅AC2×1=1， ∴ 这个圆内接正十二边形的面积为 12×1=12. B A B C 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 跟踪训练 解析：如图，连接  相交于点 . ∵ 正方形的内切圆的半径是2， ∴ ，， 在  中， ∴ ， ∴ 图中阴影部分的面积是ππ8π-4π=4π. D 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 1.画一个半径为 2 cm 的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 解：如图所示. 随堂练习 2. 用等分圆周的方法画出下列图案： 解：(1)作图，把圆六等分，分别以点A，B，C为圆心，以 CD长为半径画弧即可. 随堂练习 2. 用等分圆周的方法画出下列图案： 解：(2)作图，把圆六等分，顺次连接各等分点形成正六边形，分别以每边的中点为圆心，以边长为直径向圆外画半圆即可. 随堂练习 2. 用等分圆周的方法画出下列图案： 解：(3)作图，把圆五等分，得正五边形，分别以正五边形的五个顶点为圆心，以边长为半径画弧即可. 随堂练习 3.下列正多边形中，通过直尺和圆规不能作出的是( ) A.正三角形 B.正四边形 C.正六边形 D.正七边形 D B层 提升练 A层 基础练 4. 如图，是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MPN上的一点，则 ∠MPN 的度数为 _____°． 72 解：∵是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N， ∴∠OMB=∠ONC=90°. ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠B=∠C= =108°， ∴∠MON=(5-2)×180°90°90°108°108°=144°， ∴∠MPN=∠MON=72°． 随堂练习 5.如图，已知☉O和☉O上的一点A. (1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边 形AEFCGH；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的作图中，求证：DE是☉O内接正十二边形的一边. 解：(1)如图所示.  (2)连接OE，DE. ∵∠AOD＝90°，∠AOE＝60°， ∴∠DOE＝90°－60°＝30°， ∴DE为☉O的内接正十二边形的一边. B层 提升练 A层 基础练 6.[新课标—探究题]某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形. 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形. 丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边形， 我想边数是7时，它可能也是正多边形. 图1 B层 提升练 A层 基础练 (1)请你证明乙同学构造的六边形ADBECF各内角相等； 图1 解：(1)由题图知∠AFC对，∠DAF对， ∵， ∴，∴∠AFC＝∠DAF. 同理可得， 其余各内角都等于∠AFC， ∴六边形ADBECF各内角相等. B层 提升练 A层 基础练 (2)请你证明：各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图2)是正七边形；(不必写已知，求证) 图2 图1 (2)∵∠A对，∠B对， 又∵∠A＝∠B，∴， ∴，∴BC＝AG， 同理可得，BA＝CD＝EF＝AG＝BC＝DE＝FG， ∴各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形. B层 提升练 A层 基础练 (3)根据以上探索过程，提出你的猜想.(不必证明) (3)猜想： 当边数是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形. B层 提升练 A层 基础练 正多边形的画法 尺规作图，等分圆周 课堂小结 $