30.3 正多边形与圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的关系及性质，通过回顾圆的位置关系和正多边形定义，结合生活图案观察提问，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以数学眼光观察现实图案抽象特征，通过类比圆与正多边形元素培养数学思维，用动手操作画正六边形和证明题发展推理能力。如辨析矩形是否为正多边形，小结系统梳理知识，助力学生提升几何直观和应用意识，方便教师教学实施。

30.3 正多边形与圆 人教版 九年级 数学（上） 第30章 直线与圆的位置关系 新课导入 前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？ 谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？ 正多边形和圆有什么关系呢？ 2 探究新知 问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点? 都是各边相等，各内角相等的多边形 问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗? 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？ 思考 图形 名称 边的关系 角的关系 …… …… …… …… 四条边相等 三个角相等(60°) 三条边相等 四个角相等( 90°) 六条边相等 五个角相等(108°) 五条边相等 六个角相等(120°) 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形 正多边形及有关概念 6 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形. 正多边形的概念： 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 矩形 不符合各边相等 菱形 不符合各角相等 正方形 是正多边形 练一练 8 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 你还能找出哪些正多边形呢？ 注意 3条 4条 5条 6条 正多边形都是 图形，一个正n边形共有___条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 . 边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心. 轴对称 n 中心 中心对称图形 有没有对称轴？ 想一想 你知道正多边形与圆的关系吗？ 把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？ 弧相等 弦相等 圆周角相等 （多边形的边相等） （多边形的角相等） 多边形是正多边形 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？ 将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形. ∴ AB=BC=CD=DE=EA, ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 我们以圆内接正五边形为例证明. 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴BCE=CDA=3AB ⌒ ⌒ ⌒ O A B C D E O A B C D E 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。 解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形. 思考 1.下列说法正确的是（ ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形 C 练一练 2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 C 3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形 AEBCD是正五边形. 证明：∵AB = AC， ∴∠ABC= ∠ACB. 又 ∵ ∠BAC= 36°， ∴∠ABC= ∠ACB= (180°-∠BAC )= 72°. 又 ∵ BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°. ∴ ∴五边形AEBCD是正五边形. 证明一个多边形是正多边形的方法： 证明多边形的各角都相等，各边都相等. 证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等. O 圆心 半径 圆心角 弦心距 弦 O 中心 半径 边心距 中心角 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条边所对的圆心角 弦心距 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距 正n边形的一个内角的度数是________________； 中心角是___________； 正多边形的中心角与外角的 大小关系是________； 正多边形的中心角与内角的 大小关系是________. 相等 互补 想一想 有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 因此，亭子地基的周长l =4×6=24(m). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. O 与正多边形有关的计算 利用勾股定理，可得边心距 亭子地基的面积 在Rt△OPC中，OC=4，PC===2(m) O r==(m) S=lr= 添加辅助线的方法： 连半径，得中心角； 作边心距，构造直角三角形 圆内接正多边形的辅助线 边心距r 半径R 中心角一半 边长一半 方法归纳 1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ） A.3 B.6 C.8 D.12 D 练一练 2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________. 30°或150° 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周. 正多边形的画法 操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。 动手操作 （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点； O 60° 60° F 60° E 60° D 60° C 60° A B 解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示． 30 （2）用量角器画∠AOB＝＝60°，再用圆规依次截取，得到圆的 6 个等分点； A B O C D E F 方法 2 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O； （3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示． 还有其他方法吗？ 31 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作． A B O C D E F 　　方法 3 先作一个⊙O ，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示． 32 你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？ · A B C D O · A B C D E O O A B C · 90° 72° 120° 知识归纳 1．把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的正多边形就是这个圆的______________，这个圆叫作这个正多边形的________． 2．正多边形的_______________叫作正多边形的中心． 内接正多边形 外接圆 外接圆的圆心 3．______________叫作正多边形的半径． 4．正多边形每一边所对的_________叫作正多边形的中心角． 5．______到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距． 外接圆的半径 圆心角 中心 例 1 例题与练习 如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形． 问：五边形ABCDE是正五边形吗？ 如果是，请证明你的结论． 解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下： 在⊙O中，∵===， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3 ∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是正五边形． 例 2 已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积． 解：∵∠AOB＝360÷6＝60°，又OA＝OB， ∴△OBA是等边三角形． ∴AB＝OA＝R. 过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝R. 在Rt△OAM中，OM＝＝R. ∴S正六边形＝6S△OBA＝6×AB·OM＝3R·R＝R2. 1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. (1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆; (2)用量角器画一个等于=72的圆心角,得到此角所对的弧; (3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点; (4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形; (5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如上图所示: . O 2. 用等分圆周的方法画出下列图案: 3．正三角形的边心距、半径和高的比为 (　　) A．1∶2∶　　　　 B．1∶∶3 C．1∶∶ D．1∶2∶3 D 4．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝____，边长AB＝____ cm，正六边形的面积S＝_____cm2. 60° 2 6 课堂小结 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 正多边形的 画法 随堂检测 1.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为2，则⊙O的半径是（ ） A.1 B.2 C. D.2 C 2.如图，有一个边长为2 cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________ . cm 作业布置 完成对应课时练习． $