3.1 空间直角坐标系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕空间直角坐标系，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一概念到几何体综合应用的知识巩固，培养数学抽象与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|坐标概念、对称点坐标、距离公式|单选（1-5）直接考查对称点坐标（如点P关于xOy面及y轴对称），夯实空间直角坐标系基本概念| |技能应用|距离计算、对称性质应用|填空（6-9）结合距离公式求参数（如|AB|=√2求a值），提升运算能力与推理意识| |综合拓展|几何体中坐标表示、最值问题、实际应用|解答题（10-16）以正方体、长方体为载体（如求M、N两点距离），融入最值与几何模型，发展空间观念与创新意识|

1 空间直角坐标系 1.若点P（－4，－2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c与e的和为（　　） A.7　　 　B.－7　　　C.－1　　　D.1 2.在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（　　） A.（0，，0） B.（0，，） C.（1，0，） D.（1，，0） 3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（　　） A.（1，0，0） B.（1，0，1） C.（1，1，1） D.（1，1，0） 4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.（多选）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述正确的是（　　） A.点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z） B.点P关于y轴对称的点P2（－x，y，－z） C.点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z） D.点P关于yOz平面对称的点P4（x，－y，z） 6.（多选）在空间直角坐标系中，设A（1，2，a），B（2，3，4），若｜AB｜＝，则实数a的值可能是（　　） A.－5 B.－3 C.3 D.5 7.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为（3，2，1），M点的坐标为（4，3，1），则B点的坐标为　　　　. 8.已知A（1－t，1－t，t），B（2，t，t），则｜AB｜的最小值为　　　　. 9.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为N　　　　；｜MN｜＝　　　　. 10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，｜AB｜＝｜AD｜＝3，｜AA1｜＝2，点M在A1C1上，｜MC1｜＝2｜A1M｜，N为D1C的中点，求M，N两点间的距离. 11.已知正方体的两个顶点A（－1，2，－1），B（3，－2，3），并且A，B不同时在它的任何一个面上，则正方体的体积是（　　） A.16 B.192 C.64 D.48 12.（多选）已知点A（－2，3，4），在z轴上求一点B，使｜AB｜＝7，则点B的坐标为（　　） A.（0，0，10） B.（0，10，0） C.（0，0，－2） D.（0，0，2） 13.（多选）空间直角坐标系中，若某一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是（　　） A.该点到原点的距离是 B.该点到原点的距离是3 C.这样的点有4个 D.这样的点有8个 14.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　　　　. 15.如图，在空间直角坐标系中，｜BC｜＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标. 16.对于任意实数x，y，z，求＋的最小值. 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 1.D　点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是（－4，－2，－3），关于y轴的对称点坐标是（4，－2，－3），从而知c＋e＝1. 2.B　由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0. 3.C　点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为（1，1，1），故选C. 4.C　∵A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4）， ∴｜AB｜＝ ＝， ｜AC｜＝ ＝， ｜BC｜＝ ＝，∴｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，∴△ABC一定为直角三角形. 5.ABC　由点P（x，y，z），对于A，点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），故A正确；对于B，点P关于y轴对称的点P2（－x，y，－z），故B正确；对于C，点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z），故C正确；对于D，点P关于yOz平面对称的点P4（－x，y，z），故D错误.故选A、B、C. 6.CD　由空间中两点间距离公式，可得｜AB｜＝＝，解得a＝3或a＝5.故选C、D. 7.（5，4，1）　解析：设B点的坐标为（x，y，z），则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为（5，4，1）. 8.　解析：由两点间的距离公式可得｜AB｜ ＝ ＝ ＝≥. 9.（－1，－2，－1）　2 解析：因为D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1），所以点M关于y轴的对称点的坐标为N（－1，－2，－1）.｜MN｜＝＝2. 10.解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C（3，3，0），D（0，3，0），A1（0，0，2）. ∵｜DD1｜＝｜CC1｜＝｜AA1｜＝2， ∴C1（3，3，2），D1（0，3，2）. ∵N为CD1的中点， ∴N. 又｜A1M｜＝｜A1C1｜，∴M（1，1，2）. 由两点间距离公式，得 ｜MN｜＝ ＝. 11.C　｜AB｜＝＝4.又因为A（－1，2，－1），B（3，－2，3）不同时在正方体的任一个面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4，所以正方体的体积为64. 12.AC　设点B的坐标为（0，0，c），由空间两点间距离公式可得｜AB｜＝＝7，解得c＝－2或10，所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，－2）. 13.AD　不妨设该点为（1，1，1），显然该点到原点的距离是，A正确，B错误，由对称性可知，这样的点有8个. 14.　解析：由题意知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）.由重心坐标公式得点G的坐标为. 15.解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，｜BC｜＝2， 得｜BD｜＝1，｜CD｜＝， ∴｜DE｜＝｜CD｜sin 30°＝， ｜OE｜＝｜OB｜－｜BE｜＝｜OB｜－｜BD｜cos 60°＝1－＝， ∴点D的坐标为. 16.解：设P（x，y，z），M（－1，2，1），则＋＝｜PO｜＋｜PM｜（O为坐标原点），由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则｜PO｜＋｜PM｜≥｜OM｜＝＝，则所求的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $