1.5 全称量词与存在量词【重点•题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理全称量词（如“所有”“任意”，符号“∀”）、存在量词（如“存在”“有些”，符号“∃”）的概念，全称命题与特称命题的符号表示，以及含有一个量词的命题的否定规则，构建从概念到命题再到否定的逻辑学习支架。 资料通过分层设计的重难点题型（如全称与特称命题判断、真假辨析、否定改写及综合应用），结合实例引导学生运用符号语言精准表达命题，培养逻辑推理能力与数学表达素养。课中助力教师高效授课，课后便于学生针对性练习，查漏补缺，强化知识应用。

专题1.1 集合的概念 【知识点一、全称量词与存在量词】 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 【知识点二、含有一个量词的命题的否定】 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) 重难点题型1 全称命题与特称命题的判断 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 3．（2025高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 4．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 5．（多选题）下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 6．（多选题）下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 7．（多选题）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．能被5整除的整数都是偶数 B．有的偶数是质数 C．梯形的对角线相等 D．某些平行四边形不是菱形 8．（多选题）下列命题为存在量词命题的是（    ） A．某些二次函数的图象与轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 重难点题型2 全称命题与特称命题真假的判断 1．（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 2．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选题）下列命题为真命题的有（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选题）下列命题是全称量词命题且为假命题的是（    ） A． B． C．矩形的对角线互相平分且相等 D．所有的素数都是奇数 7．（25-26高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 重难点题型3 含有一个量词命题的否定 1．（25-26高一上·四川广安·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·陕西榆林·期末）的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南昆明·期中）“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高一下·广东茂名·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高一上·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高一上·北京西城·期中）已知命题，则为（　　） A． B． C． D． 重难点题型4 全称命题与存在命题的应用 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 3．（25-26高二上·云南怒江·期中）若“，”是真命题，则的取值范围是__________. 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是________． 5．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 7．（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 9．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 重难点题型5 综合应用 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）（多选题）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（    ） A．若集合是集，集合是非空数集，则是集 B．若是集，则 C．若集合是集，集合，则为集 D．且，使得是集 3．（2024·浙江温州·一模）已知集合. (1)集合，且中的任意三个不同的元素，，都有. （i）当时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合； （ii）对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值. (2)已知集合，，且同时满足以下条件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素个数. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 2．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）命题“，．”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是全称量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 9．（25-26高一上·江西南昌·期末）下列命题为真命题的有（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·云南·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．是无理数，是无理数 B．， C．任意一个菱形的对角线互相垂直 D．， 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题有（　　） A．所有的质数都是奇数 B．正方形的四条边相等 C．，有 D．至少有一个实数，使 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 13．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 14．（2026·北京房山·二模）设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 四、解答题 15．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合. (1)若命题是假命题，求的取值范围； (2)若命题是真命题，求的取值范围. 17．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（2025高一·全国·专题练习）在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念 【知识点一、全称量词与存在量词】 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 【知识点二、含有一个量词的命题的否定】 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) 重难点题型1 全称命题与特称命题的判断 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 3．（2025高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据题中命题的含义及结构形式逐项判断即可. 【详解】选项A，C，D都是含有存在量词的存在量词命题，选项B是含有全称量词的全称量词命题. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 5．（多选题）下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题. 故选：BC. 6．（多选题）下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据存在量词及全称量词的定义判断各个选项即可. 【详解】任意一个自然数都是整数中有全称量词是全称命题，A错误； 有的菱形是正方形有存在量词有的，B正确； 梯形有两边平行是全称命题，C错误； ,有存在量词，是存在量词命题，D正确. 故选：BD. 7．（多选题）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．能被5整除的整数都是偶数 B．有的偶数是质数 C．梯形的对角线相等 D．某些平行四边形不是菱形 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】直接根据存在量词和全称量词的定义得到答案. 【详解】AC是全称量词命题，BD是存在量词命题． 故选：BD. 8．（多选题）下列命题为存在量词命题的是（    ） A．某些二次函数的图象与轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据全称量词和存在量词的定义，依次判断即可 【详解】由题意，选项A，D中研究的是部分二次函数和实数的性质； 选项B，C中研究的是全部正方体和不平行的两条直线的性质 根据全称量词和存在量词的定义，可知AD为存在量词命题 故选：AD 重难点题型2 全称命题与特称命题真假的判断 1．（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可. 【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误； 对于B，若取，则，满足，故B正确； 对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，由必能得到，而由不一定得到，如， 故是的充分不必要条件，即D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据反例可判断AB的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C的正误，就的奇偶性讨论后可判断D的正误. 【详解】对于A，可以被5整除的整数，但末尾数字是，故A错误； 对于B，为偶数且为素数，故B错误； 对于C，因为必有一个偶数，故必为偶数，故C错误； 对于D，若，则，故不是4的倍数， 若，则，因为4的倍数， 故不是4的倍数， 故任意一个整数n，都不是4的倍数，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选题）下列命题为真命题的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】运用全称和特称量词的命题的知识逐项分析并判断即可得. 【详解】对A：由，所以为非负整数，即自然数.故对，故A正确； 对B：例如取，则，故，故B正确； 对C：当时，，当时，， 故，故C正确； 对D：由， 故不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 6．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选题）下列命题是全称量词命题且为假命题的是（    ） A． B． C．矩形的对角线互相平分且相等 D．所有的素数都是奇数 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据全称量词命题的定义和全称量词命题真假的判断方法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，当时，，故A选项是全称量词命题且为假命题； 对于B，当时，成立，故B选项是存在量词命题且真命题； 对于C，所有矩形的对角线互相平分且相等，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，所有的素数都是奇数， 2为素数且为偶数，故D选项是全称量词命题且为假命题. 故选：AD. 7．（25-26高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD； 【详解】对于A，必有算术平方根为，命题是真命题，A正确； 对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误； 对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数， 所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误； 对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确； 故选：AD. 重难点题型3 含有一个量词命题的否定 1．（25-26高一上·四川广安·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定规则即可. 【详解】全称量词的否定是存在量词，所以，的否定为： ，. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西榆林·期末）的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定规则即可判断. 【详解】由存在量词命题的否定为， 所以的否定为. 故选：C 3．（25-26高一上·云南昆明·期中）“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题，推理得到即可. 【详解】原命题，这是一个全称命题， 根据全称命题的否定规则，可得：， 故选：A 4．（24-25高一下·广东茂名·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 5．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 6．（24-25高一上·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定即可得结论. 【详解】“”的否定是：， 故选：B. 7．（25-26高一上·北京西城·期中）已知命题，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行解答即可. 【详解】因为特称命题的否定是将变为，然后对结论进行否定， 即为. 故选：C. 重难点题型4 全称命题与存在命题的应用 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】将问题转化为“” ，然后根据的取值范围可求结果. 【详解】因为“”为真命题，所以， 因为，所以，即，所以， 故答案为：. 3．（25-26高二上·云南怒江·期中）若“，”是真命题，则的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意可知在上有解，根据二次函数性质求解即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以在上有解， 由，得，所以， 所以， 则的取值范围是. 故答案为： 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为对于任意恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题，使得为假命题， 可得命题，使得为真命题， 即对于任意恒成立，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）根据题意在上无解，结合对应二次函数的性质的列不等式求参数范围； （2）由充分不必要关系得是的真子集，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由命题是真命题，则为假命题， 所以在上无解， 当时，则无解，满足题意， 当时，只需， 综上，； （2）由是的必要不充分条件，且为真命题时或， 所以是的真子集， 所以，得. 8．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据或且非的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【详解】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 9．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）问题转化为，求解. （2）先根据命题和均为真命题，分别求实数的取值范围，再求它们的交集即可. 【详解】（1）命题为真命题，， ，，则， 实数的取值范围是． （2）为真命题，由（1）得. ，为真命题， ，得. 由命题和均为真命题，得. 实数的取值范围是． 重难点题型5 综合应用 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）（多选题）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（    ） A．若集合是集，集合是非空数集，则是集 B．若是集，则 C．若集合是集，集合，则为集 D．且，使得是集 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】并集的概念及运算、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、集合新定义 【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断. 【详解】选项，若取，则，显然不符合集的定义，A错误； B选项，由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），B错误； C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于2，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，C正确； D选项，设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，，D正确. 故选：AB. 3．（2024·浙江温州·一模）已知集合. (1)集合，且中的任意三个不同的元素，，都有. （i）当时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合； （ii）对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值. (2)已知集合，，且同时满足以下条件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素个数. 【答案】(1)（i）或或或或或；（ii） (2) 【难度】0.15 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据全称命题的真假求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）（i）由，所以，再列出满足题意的集合B即可； （ii）记集合，设满足条件的集合，其中，，，，，，，，且，，则集合中的元素个数等于，证明即可得答案； （2）先用反证法证明，再证明，则可得. 【详解】（1）（i）由，所以，可得： 四元素的集合可以是：或或或或或； （ii）对于任意给定的，集合中的元素个数的最大值为， 其证明过程如下： 记集合， 设满足条件的集合， 其中，，，，，，，，且，， 则集合中的元素个数等于， 根据条件对任意的，，都有（否则，就有，不合题意） 又因为，，其中，， 即，，，，，，，是中的不同的元素， 所以，即集合中的元素个数， 取满足条件，且元素个数等于，所以集合中的元素的最大值等于. （2）以为例：（多取不符条件①，少取不符条件②！） 这时， 因为；，取即可， ；，则， ；， 若取，； ，则， 证明如下： 先证明：，假设，则，，使得，与条件矛盾，所以假设不真，即； 再证明：，假设，则中的元素个数大于，所以，，， ，根据条件“，，使得”，所以3两个不同的集合， ，使得，，又因为，，，，所以，与矛盾，所以假设不真，； 综上所述：. 【点睛】本题第二问的关键是充分理解①、②两条性质，然后利用反证法，分和两种情况进行讨论，以上不等式同时满足时，可直接得到结论. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可. 【详解】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 2．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）命题“，．”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定的概念直接可得. 【详解】命题“，．”的否定是，， 故选：D. 5．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】因为命题， 所以是. 故选：C 6．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是全称量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据全称命题的定义逐一判断即可. 【详解】根据全称命题和存在命题的定义可以判断选项AC是全称命题， BD是存在命题， 故选：AC 9．（25-26高一上·江西南昌·期末）下列命题为真命题的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】对于A，根据指数函数的值域进行判断；对于B，通过举例子说明；对于C，利用恒成立进行判断；对于D，根据对数的性质进行判断. 【详解】对于A，因为恒成立，所以A错误； 对于B，当时，，所以B正确； 对于C，恒成立，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高一上·云南·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．是无理数，是无理数 B．， C．任意一个菱形的对角线互相垂直 D．， 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】应用特殊值法判断A、D，由方程的判别式及根与系数关系判断B，根据菱形的性质判断C. 【详解】A：是无理数，但是有理数，假命题； B：对于方程，其中，两根之积，故必有一个负根，真命题； C：由菱形的性质知，任意一个菱形的对角线互相垂直，真命题； D：当时，显然成立，真命题. 故选：BCD 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题有（　　） A．所有的质数都是奇数 B．正方形的四条边相等 C．，有 D．至少有一个实数，使 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据各项命题的描述确定命题的类型，结合数的定义、正方形性质、奇数次根式、幂的运算等判断真假，即可得. 【详解】A，2是质数，但不是奇数，为假命题，不符； B，所有正方形的四条边相等，既是全称命题也是真命题； C，根据奇数次根式、幂的运算知有，既是全称命题也是真命题； D，至少有一个实数，使，是特称命题，不符. 故选：BC 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据或且非的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 13．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2026·北京房山·二模）设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 【答案】②③ 【难度】0.42 【知识点】判断元素与集合的关系、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】1.当时，恒成立，与条件矛盾， 解得或，所以不在中； 2. 当，即时 有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 3. 当，即时，有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 综上所述 是开口向上的二次函数，在上不可能恒为负，所以， 对于①，且 ，①错误； 对于②，且 ，②正确； 对于③，若，则且，③正确； 对于④，若且，则或，④错误． 四、解答题 15．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）由可得，解出集合后分及讨论即可得； （2）由题意可得，则可先计算出的取值范围再取其补集即可得. 【详解】（1）由可得，即， 由可得， 则当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上所述：实数的取值范围为或； （2）由是真命题，则； 当时，若，则由（1）中得； 当时，有或， 解得或； 故时，或； 则当时，有. 16．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合. (1)若命题是假命题，求的取值范围； (2)若命题是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）由题意得命题的否定为真命题，分集合是否为空集进行讨论，根据集合关系求解即可； （2）由题意得，根据集合关系求解即可. 【详解】（1）因为命题是假命题，所以， 所以，解得，则， 若，则只需，即， 综上，m的取值范围为. （2）因为是真命题，所以， 所以，即解得， 此时， 所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为. 17．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【分析】（1）由题意得关于的方程有实数根，进而求解即可； （2）先求出，，结合题设可得或}，进而根据包含关系求解即可. 【详解】（1）为真命题，为假命题， 即关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围是. （2）由（1）可知，若为真命题，则， ，或， 是的充分不必要条件，或}， ，，则实数的取值范围. 18．（2025高一·全国·专题练习）在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】选条件①，;选条件②, 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由都是真命题，先分别求的范围，最后求交集即可. 【详解】由命题p为真，可得不等式对于恒成立. 因为，所以，所以. 选条件①. 若命题q为真，则关于的方程有解， 所以，解得. 又都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 选条件②. 对于命题q， 当，即时，，命题q为真命题； 当时，由得或，所以或. 综上，或. 又p，q都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $