第2章有理数及运算单元试卷2026-2027学年北师大版第一学期数学七年级

**基本信息** 2026-2027学年北师大版七年级第一学期第2章有理数及运算单元卷，以真实情境与创新题型融合，覆盖有理数运算、数轴等核心知识，适配单元复习，提升抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反意义的量（第3题）、科学记数法（第8题）|结合《疯狂动物城》票房情境，考查数感与应用意识| |填空题|5/15|新定义运算（第13题）、八进制换算（第14题）|ICME大会八进制数情境，体现文化传承与抽象能力| |解答题|7/55|有理数混合运算（第16题）、除方新概念（第20题）|设计“除方”探究题，培养推理意识与创新思维|

2026-2027学年北师大版第一学期七年级第2章有理数及运算单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 1、 选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D的运算结果均正确，不符合题意； ，选项C运算错误，符合题意． 2．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定M、N的取值范围，采用特殊值法代入各选项计算并比较大小即可解答． 【详解】由数轴可知：， 不妨设，则， ∵， ∴的结果最大． 3．下面各选项中的两个量不具有相反意义的是（     ） A．妈妈每月收入4000元，支出2500元 B．生产了5000个产品，其中有20个不合格 C．超市运进饮料100箱，卖出80箱 【答案】B 【分析】根据具有相反意义的量的定义可得答案． 【详解】解：收入和支出具有相反意义；运进和卖出具有相反意义；产品中有不合格产品不具有相反意义． 4．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：手掌遮挡住的点表示的数在与之间， ∵， ∴手掌遮挡住的点表示的数可能是． 5．某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标签得到合格温度的范围，判断各选项温度是否落在范围内即可． 【详解】解：据表可知，该药品的合格贮藏温度满足， 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，满足范围，符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求． 6．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 7．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 8．近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 9．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 10．如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据前两组运算规律，对于输入，输出由及它们的和组成，组合成六位数字． 【详解】解：∵对于：，组成； 对于：，组成； ∴对于：，组成； ∴密码为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算：_______ 【答案】 【详解】解：． 12．若，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 14．国际数学教育大会（）是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是_______． 【答案】 【分析】根据题干的运算规则进行计算即可． 【详解】解：． 15．观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则，则_______． 【答案】11 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ⋯； 第n个图形中有个三角形． 当时，， 解得（负值舍去） 故答案为：11． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．计算题（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)35 (3)2 (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 17．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【答案】(1)如图所示： (2) 【详解】（1）解：略 （2）解：由数轴知． 18．把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{          ……} 整数集合：{          ……} 非负数集合：{          ……} 【答案】 负分数集合：{④⑨}；整数集合：{①③⑤⑥⑦}；非负数集合：{①②③⑤⑧} 【分析】先将各数化简，再根据负分数、整数、非负数的定义进行分类即可． 【详解】解：先化简各数：，，，其余各数已经是最简形式． ∵负分数是小于0的分数， ∴负分数集合：； ∵整数包含正整数，零，负整数， ∴整数集合：； ∵非负数包含零和正数， ∴非负数集合：． 19．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 20．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 21．． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3)解：原式 ． 【详解】（1）解：小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法的交换律、结合律． （2）解：第三步两个负数相加计算错误． （3）略 22．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版第一学期七年级第2章有理数及运算单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 1、 选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 2．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 3．下面各选项中的两个量不具有相反意义的是（     ） A．妈妈每月收入4000元，支出2500元 B．生产了5000个产品，其中有20个不合格 C．超市运进饮料100箱，卖出80箱 4．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 5．某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 6．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 7．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 9．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 10．如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算：_______ 12．若，则________． 13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 14．国际数学教育大会（）是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是_______． 15．观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则，则_______． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（8分）计算题（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4) 17.（6分）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 18.（6分）把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{          ……} 整数集合：{          ……} 非负数集合：{          ……} 19.（6分）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 20.（8分）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 21．（9分）． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程 22．（10分） 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $