培优专练+三年真题02 不等式性质与指对幂混合比大小-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义围绕不等式性质与指对幂混合比大小核心专题，将不等式性质、指数幂比较、对数式比较、指对互化及三者混合五个考点按知识逻辑层次系统整合，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生构建知识网络并突破比较大小等难点问题。 资料采用分层培优与真题实战结合的设计，如在指对幂混合比大小时引导学生运用中间量法和函数单调性构建解题模型，培养数学思维与模型意识。设置选择、填空、解答等多元题型及三年高考真题演练，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

培优专练+三年真题02不等式性质与指对幂混合比大小 【考点一】不等式的性质 【考点四】指数式与对数式互化比较大小 【考点二】比较指数幂大小 【考点五】指、对、幂三者混合 【考点三】比较对数式的大小 【题型一】不等式的性质 1．（2026·辽宁抚顺·一模）若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5.（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 6．（多选）（2025·陕西商洛·模拟预测）若均为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·安徽芜湖·二模）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 9．（多选）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（2026·广东·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 11．（2025·湖南长沙·三模）设是由个实数组成的行列的数表，其中每个数的绝对值均不大于1，且所有数的和为0．记为的第行各数之和，为的第列各数之和，，并记为，中的最小值． 1 1 0 -1 表1 1 1 表2 (1)设数表如表1所示，求的值； (2)设数表如表2所示，求的最大值； (3)给定正整数，对于所有的2行列数表，求的最大值． 【题型二】比较指数幂大小 1．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 3．（2025·上海虹口·一模）已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型三】比较对数式的大小 1．（2026·天津西青·三模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 6.（多选）（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】指数式与对数式互化比较大小 1．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·模拟预测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽·模拟预测）已知，，，则x，y，z的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·模拟预测）已知正数满足，则与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 7．（2025·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 8.（多选）（2025·安徽·二模）已知正实数满足等式，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型五】指、对、幂三者混合 1．（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题02不等式性质与指对幂混合比大小 【考点一】不等式的性质 【考点四】指数式与对数式互化比较大小 【考点二】比较指数幂大小 【考点五】指、对、幂三者混合 【考点三】比较对数式的大小 【题型一】不等式的性质 1．（2026·辽宁抚顺·一模）若且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，若，，则，不满足，故D错误. 2．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 4．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 5.（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 【答案】②③ 【分析】根据不等式的性质，逐一进行检验. 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 6．（多选）（2025·陕西商洛·模拟预测）若均为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质判断，可举反例说明错误的结论． 【详解】由不等式的性质知AC正确， 当时，满足，但，，BD错误， 故选：AC． 7．（多选）（2026·安徽芜湖·二模）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 8．（多选）（2026·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 9．（多选）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 10．（2026·广东·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义可得，结合三角形三边的大小关系建立不等式组，解之即可； （2）根据余弦定理可得，结合（1）和不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】（1）因为成公差为的等差数列，， 所以，即， 由三角形三边的大小关系可得，即，又， 所以，即的取值范围为. （2）由余弦定理得， ， ， 所以， 由（1）知，则，得， 所以，故， 即的取值范围为. 11．（2025·湖南长沙·三模）设是由个实数组成的行列的数表，其中每个数的绝对值均不大于1，且所有数的和为0．记为的第行各数之和，为的第列各数之和，，并记为，中的最小值． 1 1 0 -1 表1 1 1 表2 (1)设数表如表1所示，求的值； (2)设数表如表2所示，求的最大值； (3)给定正整数，对于所有的2行列数表，求的最大值． 【答案】(1)0.5；(2)1；(3) 【分析】（1）由题目数据得，根据求解即可. （2）先用反证法证明，当时，，符合题意，即可证明. （3）先构造数表为，则，由的定义知，进而得，然后证明是最大值即可． 【详解】（1）由题可知， ． （2）先用反证法证明： 若，则． 同理可知． 由题可知所有数的和为0，即， ，与题目条件矛盾，． 易知当时，，符合题意， 的最大值为1． （3）对于给定的正整数，任给数表如下： 任意改变的行次序或列次序，或把中的每个数均换成它的相反数，记所得数表为，则． 所以不妨设，且， 由的定义知， 又因为， 所以 . 所以． 例如对于下面的数表： 第1列 第2列 第（）列 第列 第（列 1 1 1 则． 综上可知，的最大值为． 【题型二】比较指数幂大小 1．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且， 所以，即. 故选：C. 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，因此，即， 所以. 故选：B. 3．（2025·上海虹口·一模）已知、为实数，则“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】因为，则，又，则， 命题“若，则”为真命题，即， 命题“若，则”为假命题，即 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 【题型三】比较对数式的大小 1．（2026·天津西青·三模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以的大小关系为. 2．（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 3．（2026·广东佛山·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数单调性得出对数式的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 则. 故选：C. 4．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 5．（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数函数的单调性得出，再利用对数的运算性质得出即可. 【详解】，，则， ， ， 则，则. 6.（多选）（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【详解】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 【题型四】指数式与对数式互化比较大小 1．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解. 【详解】由，，则，， 由，则，即， 由，则，即， 故； 由，则， 即，即； 综上可得：. 2．（2026·四川眉山·模拟预测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用是单调递增函数得到，利用是单调递增函数得到，利用放缩法和换底公式得到和，从而得到. 【详解】，， 是单调递增函数，， ，，； ，， 是单调递增函数，， ，，； ，， ，， ，， ，，故选项C正确. 3．（2026·安徽·模拟预测）已知，，，则x，y，z的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导判断单调性可比较，利用中间值可判断最小. 【详解】构造函数，由换底公式，， 所以， 再令，， 当时，，单调递增， 所以当时，，即在有， 所以在上单调递减， 又，， 由对数函数的单调性得，， 所以，所以. 4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数与对数的互化及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由可得，. 因为，所以，即. . 由可得，. 因为，所以，所以. 综上，. 故选：D. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知正数满足，则与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数式与对数式的互化与幂函数，指数函数的单调性判断即可. 【详解】设，则，即， 当时，在上为减函数，而函数在上为增函数， 则，即，故AB可能成立； 当时，则，即； 当时，在上为增函数， 则，即，故C可能成立，D不可能成立. 故选：D. 6．（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小. 【详解】设，因为，所以. 所以， ， . 因为，所以，，故； 而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即. 综上，. 7．（2025·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 8.（多选）（2025·安徽·二模）已知正实数满足等式，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先设，再根据幂函数的单调性求解判断. 【详解】由题意，设， 则，. 设幂函数. 当时，函数在上单调递增，且，所以，即； 当时，； 当时，函数在上单调递减，且，所以即. 故选：CD 【题型五】指、对、幂三者混合 1．（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 2．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 3．（2025·陕西榆林·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值判断AD，根据与的单调性判断BC. 【详解】解：对于A，取，满足，但不满足，故错误； 对于B，由于指数函数在上单调递减，所以当时，，故错误； 对于C，由于函数在单调递增，当时，，故正确； 对于D，取，满足，此时，故错误. 故选：C 4．（2025·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 5．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 4．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 5．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 7．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 8．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 1 学科网（北京）股份有限公司 $