专题08 二次函数的图象（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数图象核心知识点，以配方法将一般式转化为顶点式为基础，系统梳理确定开口方向、对称轴及顶点坐标的方法，衔接描点法作图技巧，延伸至平移、对称、旋转变换及系数与图象关系，构建递进式学习支架。 该资料以典例变式串联重难点，渗透配方法与数形结合思想，通过巩固训练与强化训练分层覆盖期中期末考点。培养学生抽象能力（配方转化）、几何直观（图象绘制）和推理意识（系数关系分析），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升学习成效。

专题08 二次函数的图象 1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2.会利用对称性画出二次函数的图象. 3.经历求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方法和数形结合的思想方法. 4.让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感. 重点、难点 重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴. 难点：二次函数y=ax2+bx+c的图像. 写稿说明：汇聚重难知识点，拓展期中、期末、高考常考的重难点，再探讨一些更深的知识 一、二次函数对称轴及顶点坐标公式 一般地，二次函数可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式). 对称轴是直线x=- 顶点是(-，) 二、描点法画二次函数图象 1.画函数图象的步骤：列表、描点、连线。 2.利用配方法将二次函数化为顶点式。确定开口方向，对称轴及顶点坐标。一般选取5个点：顶点，与x轴的交点，与y轴的交点（0,c），及点（0，c）关于对称轴的对称点。若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点。然后连线画图。 三、 二次函数图象的平移 四、 二次函数图象与各系数之间的关系 1. a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小。 2.b的符号的判定：对称轴在y左边，则ab＞0，在y右边，则ab＜0，概括就是“左同右异” 3.c决定了抛物线与y轴的交点的位置。 题型01二次函数的配方法 【典例】把二次函数用配方法化成的形式应为（    ） A． B． C． D． 【变式】学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式化成的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数化成的形式如下： 甲： 乙： 两位同学做法正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 题型02描点法作二次函数的图象 【典例】已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … 求m的值； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【变式】已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 题型03二次函数图象上点的坐标特征 【典例】若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【变式】下列各点中，一定不在抛物线上的是（   ） A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3） 题型04二次函数图象的平移 【典例】已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【变式】已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是___________． 题型05二次函数图象的对称变换 【典例】将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是___________；将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是__________． 【变式】直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线y=－x2-4x在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图像，若新的函数图像刚好与直线y=－x有3个交点，则满足条件的m的值为_________ 题型06二次函数的旋转变换 【典例】如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交x轴于另一点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为__________． 【变式】二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（    ） A．1或 B．1或 C．3 D． 题型07二次函数的图象与各系数之间的关系 【典例】．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且点C在之间(不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③对于任意实数m，总有；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】如图，二次函数的图象过点，对称轴直线．有以下结论：①；②；③点，，在抛物线上，当时，有，则；④若有且只有3个小于0的整数，使得方程有实数根，则，其中正确的是 ________（填序号）．    题型08二次函数的图象与一次函数图象共存问题 【典例】在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 11．已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 4．已知二次函数，用配方法化为的形式是_________． 5．已知点，是二次函数图像上的两个不同的点，则当时，其函数值等于 _____． 6．已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于_________． 7．如图所示的二次函数图象中，有以下信息：；；；；．其中正确的有 ______________（填序号）    8．将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是______． 9．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【强化训练】 1．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；⑤，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 3．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是________． 5．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 7．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 8．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 9．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 10．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数的图象 1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2.会利用对称性画出二次函数的图象. 3.经历求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方法和数形结合的思想方法. 4.让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感. 重点、难点 重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴. 难点：二次函数y=ax2+bx+c的图像. 写稿说明：汇聚重难知识点，拓展期中、期末、高考常考的重难点，再探讨一些更深的知识 一、二次函数对称轴及顶点坐标公式 一般地，二次函数可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式). 对称轴是直线x=- 顶点是(-，) 二、描点法画二次函数图象 1.画函数图象的步骤：列表、描点、连线。 2.利用配方法将二次函数化为顶点式。确定开口方向，对称轴及顶点坐标。一般选取5个点：顶点，与x轴的交点，与y轴的交点（0,c），及点（0，c）关于对称轴的对称点。若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点。然后连线画图。 三、 二次函数图象的平移 四、 二次函数图象与各系数之间的关系 1. a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小。 2.b的符号的判定：对称轴在y左边，则ab＞0，在y右边，则ab＜0，概括就是“左同右异” 3.c决定了抛物线与y轴的交点的位置。 题型01二次函数的配方法 【典例】把二次函数用配方法化成的形式应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式】学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式化成的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数化成的形式如下： 甲： 乙： 两位同学做法正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 【分析】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可． 【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确； 故答案选：C． 题型02描点法作二次函数的图象 【典例】已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … 求m的值； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】(1)； (2)； (3) 描点、连线，作图如下： 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）通过配方法求解； （2）将代入解析式求解； （3）根据（2）的表格描点、连线作图． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， ∴； （3）略 【变式】已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）解：， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：列表： x 0 1 2 3 5 y 5 2 1 2 5 根据描点法画二次函数图象如下： ； （3）解：由图象可知：当时，． 故答案是：． 题型03二次函数图象上点的坐标特征 【典例】若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 【变式】下列各点中，一定不在抛物线上的是（   ） A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3） 【答案】C 【分析】分别计算出x=1或x=2时的函数值，从而求得m的值，然后根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：当x=1时，，此时解得m=1， ∴点（1，1）可以在抛物线上，故选项A不符合题意； 当x=2时，， ∴点（2，2）在抛物线上，故选项B不符合题意； 当x=1时，，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立， ∴点（1，2）一定不在抛物线上，故选项C符合题意； 当x=1时，，此时解得m=-1， ∴点（1，3）可以在抛物线上，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式并且理解二次函数解析式中二次项系数不能为零是解题关键． 题型04二次函数图象的平移 【典例】已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【答案】(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质； （1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解； （2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为，然后由平移后的函数的对称轴为y轴得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：配方： ， 所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为； （2）由题意得：平移后的二次函数表达式为， 所以对称轴为， 因为平移后的二次函数对称轴是轴， 所以， 解得． 【变式】已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是___________． 【答案】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位， ∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， ∴新坐标系下抛物线的解析式是． 故答案为． 题型05二次函数图象的对称变换 【典例】将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是___________；将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为； ∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴函数的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为． 故答案为：，． 【变式】直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线y=－x2-4x在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图像，若新的函数图像刚好与直线y=－x有3个交点，则满足条件的m的值为_________ 【答案】6或 【分析】根据题意直线y=-x与抛物线y=－x2-4x相交，交点坐标为（-6，6），m=6时满足条件，当翻折后的抛物线与直线y=-x只有一个交点时，也满足条件，根据Δ=0，构建方程即可解决问题； 【详解】解：根据题意 ∵y=-x2-4x=-（x+4）2+8， ∴顶点为（-4，8）， ∴在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分的顶点为（-4，-8+2m）， ∵直线y=-x与抛物线y=-x2-4x相交 ∴ 解得，， ∴交点坐标为（-6，6），（0，0） ∴m=6时，新的函数图象刚好与直线y=-x有3个交点 翻折后的抛物线的解析式为y=（x+4）2-8+2m， 由题意：， 消去y得到：x2+10x+4m=0， 由题意Δ=0时，满足条件， ∴100-16m=0， ∴m=， 综上所述，m=6或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的部分的顶点坐标是解题的关键． 题型06二次函数的旋转变换 【典例】如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交x轴于另一点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据抛物线与轴的交点问题，得到图象 与x轴交点坐标为：，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为： ， 发现每经过个单位长度，纵坐标循环一次，即可得到时的纵坐标和时的纵坐标相同，从而代入求得的值. 【详解】 ∴图象与轴交点坐标为： ， ∵将绕点旋转得 ， 交轴于点， ∴抛物线 将绕点旋转得， 交轴于点； … 发现每经过个单位长度，纵坐标循环一次， 又∵， ∴时的纵坐标和时的纵坐标相同，即， 故答案为： ． 【变式】二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（    ） A．1或 B．1或 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，中心对称的性质，先求解的坐标，再求解旋转后的解析式及的坐标，再利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数且）的图象与轴交于点． ∴当时，， ∴， ∵二次函数的图象以原点为旋转中心旋转， ∴旋转后的解析式为：即， 当时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或； 故选A 题型07二次函数的图象与各系数之间的关系 【典例】．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且点C在之间(不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③对于任意实数m，总有；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象得出a，b，c的符号，掌握抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值（最小值）与待定系数a、b、c的关系是解题的关键． 根据二次函数图开口方向与轴交点位置确定符号，再根据对称轴确定，即可判断①；根据对称性求出抛物线与轴另一交点，代入解析式即可判断②；根据二次函数的最值问题以及，即可判断③；根据已得，结合不等式的性质即可判断④． 【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①正确． 又抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一交点为． ∴，故②正确． 由函数图象可知， 当时，函数取得最大值， 则对于任意的， 总有， 即（m为实数）． 又，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故③正确． ∵， ∴， 而， ∴， 故④错误． 所以正确的结论有3个． 故选：C． 【变式】如图，二次函数的图象过点，对称轴直线．有以下结论：①；②；③点，，在抛物线上，当时，有，则；④若有且只有3个小于0的整数，使得方程有实数根，则，其中正确的是 ________（填序号）．    【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的特征确定、、的范围可判断①，根据对称轴及抛物线与轴的一个交点确定抛物线与轴的另一个交点可判断②，根据对称轴、抛物线的开口方向可得当点、同在抛物线右侧时不成立可判断③，求出抛物线的顶点坐标为，可得，再根据有且只有3个小于0的整数，得到可判断④． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①正确， 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 代入抛物线得：，故②正确， 当时有，且抛物线开口向上，对称轴为直线， 若点和点同在对称轴的右侧，则定有，故③错误， ， ， ， ， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 有且只有3个小于0的整数， 、、， ， ，故④正确， 故选：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 题型08二次函数的图象与一次函数图象共存问题 【典例】在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 11．已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象．根据两个函数解析式求得其交点的大致位置，结合函数图象解答． 【详解】解：∵两函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1， ∴，， ∴二次函数的解析式为和一次函数的解析式为， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，排除选项B、C和D， 一次函数的图象经过一、二、三象限，选项A符合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，排除选项A、B和C， 一次函数的图象经过一、二、四象限，选项D不符合题意； 综上，选项A符合题意； 故选：A． 【巩固训练】 1．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练通过配方法，将一般式化成顶点式是解答本题的关键． 由平移的性质可知：抛物线经过平移后，的值不变．将化成顶点式，再通过各选项比较，得到各自平移方法，最后分析出无法通过平移抛物线得到． 【详解】解：． ，抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意； ． ， 抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意； ． ，，抛物线向下平移得到抛物线，故不符合题意； ．，由平移的性质，的值变为，无法通过平移得到，故符合题意． 故选． 2．抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，通过了解经过平移、旋转或轴对称后过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小，所以不变，选出答案即可． 【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小，所以不变， 而D选项中，不可能是经过平移、旋转或轴对称得到， 故选：D． 3．如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线段扫过的面积，则，然后根据平移规律即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键． 4．已知二次函数，用配方法化为的形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式化为顶点式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，注意加了多少就要减去多少． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．已知点，是二次函数图像上的两个不同的点，则当时，其函数值等于 _____． 【答案】2 【分析】根据、横坐标不同纵坐标相同，可得关于对称轴的等式，当时，正好等于，即对称轴的一半，则，将代入二次函数可得函数值为2，即当时函数值也为2． 【详解】解： 当和时， 的值相等， 二次函数对称轴， 当时，即， 则， 当时，二次函数的值为2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据两点纵坐标相等得二次函数的对称轴，用对称轴表示的值代入二次函数是解题的关键． 6．已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值等于_________． 【答案】1 【分析】根据二次函数的对称性用m、n表示出二次函数图象的对称轴，可得x=-=，则m+n=-，然后代入解析式求解即可． 【详解】解：∵当x=m和x=n时，y的值相等， ∴x=-=， ∴m+n=- 当x=m+n=-时，则y=a（-）2+b(-)+1=1， ∴当x=m+n时，其函数值y为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 7．如图所示的二次函数图象中，有以下信息：；；；；．其中正确的有 ______________（填序号）    【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线交y轴于负半轴，则，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出； ∵对称轴在y轴右侧，对称轴为， 又∵， ∴； 故，故②错误； ③结合图象得出时，对应y的值在x轴上方，故，即，故③正确； ④由抛物线与x轴有两个交点可以推出，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为，则，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故答案为：③④⑤． 8．将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，将一般式转化为顶点式，根据题意，得到新的抛物线的顶点与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，求出新的解析式即可． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴将抛物线绕其顶点旋转后，新的抛物线的解析式为：； 故答案为： 9．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (4)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】通过配方，将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （4）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 10．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 【强化训练】 1．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；⑤，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及二次函数的对称性．开口向上，则；反之，．对称轴在轴左侧，则同号；反之，则异号；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则；据此即可进行判断． 【详解】解：∵二次函数对称轴是直线，且过点， ∴二次函数还过点， 补全二次函数的图象，如图所示： ∵图象开口向上，则， ∵对称轴是直线， ∴ 即：，故②正确； ∵图象与轴交点在轴下方， ∴， ∴，故①正确； ∵， 由图象可知，当时，随的增大而减小． ∴，故③错误； 由图象可知：当时，， 故④正确； ∵当时，， 又∵ ∴，故⑤正确； 故选：D 2．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 3．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 4．如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是________． 【答案】第二象限 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，由直线应经过一、三、四象限，故直线不经过第二象限． 故答案为：第二象限． 5．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 6．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 7．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 8．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】 【分析】矩形中的整数点个数问题可以分解为横、纵坐标中的整数个数问题，通过设参数，分类讨论求整数的个数，判断是否满足题意即可． 【详解】解：设，， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12， ， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则， 由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则， 由第一种情况可知，， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时存在纵向边界上的点的纵坐标为整数的个数为6． 9．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 10．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $