第26章 二次函数 数学活动（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数数学活动，核心内容为“和定积变”规律的二次函数建模及最值求解，以及实物抛物线问题的建模方法。课堂通过“两数和为10，乘积是否固定及何时最大”的情境提问导入，衔接已学二次函数整章知识，搭建从数字规律到函数建模的学习支架。 该资料以自主探究与合作探究为特色，引导学生经历“观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结”完整过程，培养数学建模意识（数学语言）和数形结合能力（数学眼光），习题结合刹车距离、足球轨迹等生活实例及中考真题，提升推理能力（数学思维）与应用意识，助力学生深化知识理解与实践创新。

26.二次函数 数学活动 （导学案） （1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用知识解决探究性问题. （2）经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数学思维方法. （3）在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养. 重点:探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值问题；感知抛物线的几何特征，掌握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法. 难点:从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数模型；结合数形结合思想，解释二次函数最值、图象特征对应的实际意义. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律. 抛出问题：若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜想. 导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二次函数数学活动. 【学法指导】 新知自研：自研课本数学活动的内容 【学法指导】自研课本数学活动页内容 （一）和定数乘积的最值探究 活动1.和为定数，哪个数的积最大？ 自主计算，初步猜想 给定两个正整数和为10，学生分组计算：1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4……记录乘积结果，观察变化规律，猜想规律. 规律：和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等时乘积最大. 建模推理，验证猜想 设其中一个数为 x ，则另一个数为 10-x ，设两数乘积为 y ，列出函数关系式： y=x(10-x)=-x²+10x （ x>0 ， 10-x>0 ，即 0<10 ） 引导学生分析函数：二次项系数<0 ，抛物线开口向下，函数有最大值. 根据顶点公式，当 时， ，验证猜想成立. 规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值 m ，设一数为 x ，另一数为 m-x ，乘积 y=-x²+mx ，当 ，即两数相等时，乘积取得最大值. （二）抛物线图形建模探究 活动2 刹车距离与刹车时车速的关系 动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制出平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨迹特征. 解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表: 刹车时车速/(km/h) 40 48 56 64 72 80 刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8 (1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. (2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为70m，已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故发生时，汽车是否超速行驶? 解决问题活动过程：①把6组坐标 (40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8) 在平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接. 观察猜测图象特征： 图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数（抛物线）特征，排除一次、反比例函数. 结论：该变量关系近似二次函数. ②求二次函数解析式 设二次函数一般式：y=ax²+bx+c，选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8)，代入列三元一次方程组： 分步消元计算： 2式−1式：2496a+24b=18.3 ① 3式−2式：2304a+16b=17.5 ② 联立①②化简求解，近似得： a≈0.0083,b≈-0.099,c≈7.7 解析式：y=0.0083x²-0.099x+7.7 验证：代入x=56，y≈0.0083×56²-0.099×56+7.7≈28.2，与实测27.9误差极小，模型成立. ③判断车辆是否超速（刹车距离70m，限速100km/h） 已知y=70，代入解析式解方程，求出车速x，和100比较. 解方程：0.0083x²-0.099x+7.7=70 整理：0.0083x²-0.099x-62.3=0 两边同乘10000得：83x²-990x-623000=0 用求根公式 ，舍去负根（车速不能为负），计算得：x≈93.8km/h ∵ 93.8<100 结论：该车没有超速. 归纳总结：解决问题思路： 1. 建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型； 2. 待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式； 3. 函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根； 4. 实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题. 易错提醒： 1. 不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数； 2. 车速是正数，一元二次方程负根必须舍去； 3. 本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常. 【自研自探】 自研课本数学活动内容 典型例题 例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值. 【分析】长方形面积=长×宽，长+宽=18（定值），构建二次函数，开口向下，顶点处面积最大. 【详解】设长方形长为xcm，则宽为(18-x)cm，面积为ycm²，依题意得 y=x(18-x)=-x²+18x a=-1<0，函数有最大值。 顶点横坐标： 宽：18-9=9 最大面积：y=9²=81 答：长和宽都为9cm（正方形）时，面积最大为81平方厘米. 例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 5 …      (1)根据表中数据预测足球落地时，______m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答； （3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， 抛物线关于对称， 当时，， 时，； （2）由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， （3）当， ∴， ∴守门员不能成功防守． 第二环节 合作探究 1. 讨论如何解决两数的和为定值，积最大问题？ 2. 讨论如何解决抛物线型问题？ 拓展提升：1．如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． 【详解】（1）解， 设， 将代入得， ． （2）将代入， 得，，， 将代入， 得， ， 小球不能飞过这个障碍物； （3）， ， ， 解得：，． ， 若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：． 1.两数之和为20，其中一个数取值范围3 ≤x≤8，求两数乘积的最大值. 【详解】设一个数为x，两数积为y，则函数y=-x²+20x，对称轴x=10，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大，给定区间在对称轴左边，最大值在x=8处. 解答x=8，另一个数12 乘积y=8×12=96 答：乘积最大值为96. 2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由题意知，隧道的最大高度为米；米，米， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 则有， ，， 抛物线的解析式为， （2）由题意得， 当时，， ，． 当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时， 当时，此时刚好违反交通规则， 汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， 的取值范围是． 1．(2026.四川成都)已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 3．（2025·临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出的水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为米，如图所示，求水柱落地处离池中心的距离． 【详解】解：设这段抛物线的解析式为， 由题意可知，顶点坐标为， ∴，， ∴抛物线解析式， 由题意得抛物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为 当水柱落地时，，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴水柱落地处离池中心米． 4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 【解答】解：（1）∵BO＝4m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4）， 设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4， ∵AC＝16m， 结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0）， 将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4， 得0＝64a+4， 则， ∴； （2）由（1）得抛物线L1的函数表达式， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.，且抛物线L3的函数表达式为， ∴， 整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24， ∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24， ∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0， 解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12（m）. 知识技能：（1）和定积最值规律：两个正数和为定值，两数相等时乘积最大，可通过建立二次函数模型求解最值；（2）实物抛物线建模：根据抛物线顶点、对称轴特征，合理设出二次函数解析式，代入已知点求解，实现图形问题代数化；（3）熟练掌握二次函数开口、顶点、最值的综合应用. 思想方法：本节课核心用到三大数学思想：建模思想（将数字、图形问题转化为二次函数问题）、数形结合思想（图象特征与解析式、函数值相互转化）、特殊到一般思想（从具体数字计算归纳通用规律）. 易错提醒：（1）建模时忽略自变量取值范围，未结合实际情境限定变量范围；（2）抛物线解析式设式错误，未根据顶点、对称轴特征合理选择一般式、顶点式；（3）开口方向与最值正负混淆，开口向下函数有最大值、开口向上有最小值；（4）代入坐标计算时符号、运算出错. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.二次函数 数学活动 （导学案） （1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用知识解决探究性问题. （2）经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数学思维方法. （3）在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养. 重点:探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值问题；感知抛物线的几何特征，掌握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法. 难点:从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数模型；结合数形结合思想，解释二次函数最值、图象特征对应的实际意义. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律. 抛出问题：若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜想. 导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二次函数数学活动. 【学法指导】 新知自研：自研课本数学活动的内容 【学法指导】自研课本数学活动页内容 （一）和定数乘积的最值探究 活动1.和为定数，哪个数的积最大？ 自主计算，初步猜想 给定两个正整数和为10，学生分组计算：1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4……记录乘积结果，观察变化规律，猜想规律. 规律：. 建模推理，验证猜想 设其中一个数为 x ，则另一个数为 10-x ，设两数乘积为 y ，列出函数关系式： 引导学生分析函数：二次项系数<0 ，抛物线开口向下，函数有最大值. 规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值 m ，设一数为 x ，另一数为 m-x ，乘积 y=-x²+mx ，当 ，即两数相等时，乘积取得最大值. （二）抛物线图形建模探究 活动2 刹车距离与刹车时车速的关系 动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制出平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨迹特征. 解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表: 刹车时车速/(km/h) 40 48 56 64 72 80 刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8 (1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. (2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车 的刹车距离约为70m，已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故发生时，汽车是否超速行驶? 解决问题活动过程：①把6组坐标 (40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8) 在平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接. 观察猜测图象特征： ②求二次函数解析式 ③判断车辆是否超速（刹车距离70m，限速100km/h） 归纳总结：解决问题思路： 1. 建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型； 2. 待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式； 3. 函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根； 4. 实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题. 易错提醒： 1. 不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数； 2. 车速是正数，一元二次方程负根必须舍去； 3. 本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常. 【自研自探】 自研课本数学活动内容 典型例题 例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值. 例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 5 …      (1)根据表中数据预测足球落地时，______m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 第二环节 合作探究 1. 讨论如何解决两数的和为定值，积最大问题？ 2. 讨论如何解决抛物线型问题？ 拓展提升：1．如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． 1.两数之和为20，其中一个数取值范围3 ≤x≤8，求两数乘积的最大值. 2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 1．(2026.四川成都)已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 3．（2025·临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出的水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为米，如图所示，求水柱落地处离池中心的距离． 4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 知识技能：（1）和定积最值规律：两个正数和为定值，两数相等时乘积最大，可通过 求解最值；（2）实物抛物线建模：根据 、 特征， 解析式，代入 求解，实现 ；（3）熟练掌握 应用. 思想方法：本节课核心用到三大数学思想：建模思想（将数字、图形问题转化为二次函数问题）、数形结合思想（ 、 ）、特殊到一般思想（ ）. 易错提醒：（1）建模时忽略 ，未结合 ；（2）抛物线解析式 错误，未 合理选择一般式、顶点式；（3）开口方向与最值 ，开口向下函数有 、开口向上有 ；（4）代入坐标计算时 出错. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $