第26章 二次函数 单元复习 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学二次函数单元复习讲义以“知识点-题型-应用”为主线构建体系，通过表格对比三种解析式形式的适用场景，用规律口诀总结图象平移对称变换，系统梳理概念、性质、与方程不等式关系等核心内容，突出顶点式应用、区间最值等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层精练设计，基础题型聚焦概念识别与参数判断，培优题型强化二次函数与不等式综合应用，压轴题型通过动点存在性问题培养推理意识和创新意识。如销售利润最值题引导建立函数模型，新定义“不动点函数”题提升抽象能力，配套易错点提醒和解题技巧，助力分层提升，为教师精准教学提供支持。

第26章 二次函数 知识点1：二次函数的概念与解析式形式 1.定义：形如（a,b,c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.三种常见解析式形式 形式 表达式 适用场景 一般式 已知任意三个点的坐标 顶点式 已知顶点坐标、对称轴或最值 交点式 已知抛物线与轴的两个交点坐标 知识点2：二次函数的图象与性质 1.图象特征：二次函数的图象是抛物线，为轴对称图形，对称轴为直线。 2.性质对比 项目 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 直线 增减性 对称轴左侧随增大而减小；对称轴右侧随增大而增大 对称轴左侧随增大而增大；对称轴右侧随增大而减小 最值 当时， 当时， 知识点3：二次函数图象的几何变换 1.平移规律（顶点式下）：左加右减自变量，上加下减常数项 向左平移个单位： 向右平移个单位： 向上平移个单位： 向下平移个单位： 2.对称变换 关于轴对称：，开口方向相反，顶点关于轴对称 关于轴对称：，开口方向不变，顶点关于轴对称 关于顶点对称：，开口方向相反，顶点坐标不变 知识点4：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.与一元二次方程的关系：抛物线与轴交点的横坐标，对应一元二次方程的实数根。 判别式 一元二次方程根的情况 抛物线与x轴的交点个数 有两个不相等的实数根 有两个交点 有两个相等的实数根 有一个交点（顶点） 没有实数根 没有交点 2.与一元二次不等式的关系（时） 的解集：或（，两根之外） 的解集：（两根之间） 知识点5：二次函数的实际应用 1.常见类型：销售利润最值、几何面积最值、抛物线型实际问题（喷泉、跳水、拱桥等）。 2.解题步骤：分析题意建立函数模型，确定自变量的实际取值范围，利用二次函数性质求最值，验证结果符合实际意义。 【基础必考题型】 【题型1】二次函数的概念识别与参数判断 1.核心知识点: 二次函数的定义（最高次为2，二次项系数不为0） 二次函数一般式的各项系数识别 2.解题方法技巧: 判断二次函数先化简解析式，确保最高次项次数为2且二次项系数不为0 含参数的二次函数问题，先根据定义列不等式确定参数的取值范围 【例题1】.（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【题型2】二次函数图象与系数符号判断 1.核心知识点: 抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点的性质 “左同右异”判断的符号 2.解题方法技巧: 看开口方向，看与轴交点，结合对称轴用“左同右异”判断 特殊值代入法：对应，对应，可快速判断符号 【例题2】.（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【变式题2-2】.（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-3】.（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【题型3】二次函数的平移与对称变换 1.核心知识点: 二次函数图象的平移规律 二次函数的对称变换性质 2.解题方法技巧: 平移问题先将解析式化为顶点式，再按“左加右减，上加下减”计算 对称变换可通过顶点坐标对称、开口方向反向，快速推导新解析式 【例题3】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（    ） A．向右平移1个单位，向上平移2个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移1个单位，向下平移2个单位 【变式题3-1】.（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【变式题3-2】.（25-26九年级上·上海宝山·期末）将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，． (1)求平移后的抛物线的表达式； (2)说明由抛物线如何平移得到新抛物线． 【变式题3-3】.（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线与轴交于与． (1)求该抛物线的解析式． (2)该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 【题型4】二次函数与一元二次方程的应用 1.核心知识点: 抛物线与轴交点和方程根的对应关系 判别式与交点个数的关系 2.解题方法技巧: 求抛物线与轴交点，直接令解一元二次方程 判断交点个数直接计算的符号，无需解方程 【例题4】.（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【变式题4-1】.（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【题型5】二次函数的增减性与函数值大小比较 1.核心知识点: 二次函数的对称轴与增减性 点到对称轴的距离与函数值的关系 2.解题方法技巧: 开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大；开口向下则相反 比较函数值先算各点到对称轴的距离，结合开口方向快速判断 【例题5】.（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【变式题5-2】.（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【变式题5-3】.（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【题型6】待定系数法求二次函数解析式 1.核心知识点: 二次函数的三种解析式形式 代入法解方程组 2.解题方法技巧: 根据已知条件选最优形式：已知顶点选顶点式，已知交点选交点式，任意三点选一般式 计算完成后代入点坐标验证，确保解析式准确无误 【例题6】.（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题6-1】.（25-26九年级上·吉林延边·期末）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是__________． 【变式题6-2】.（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【培优高频题型】 【题型7】二次函数与不等式的综合应用 1.核心知识点: 二次函数与一元二次不等式的图象对应关系 函数图象上下位置与不等式的关系 2.解题方法技巧: 解不等式可转化为判断抛物线在直线上方/下方对应的取值范围 数形结合，借助图象快速确定解集，避免复杂的代数计算 【例题7】.（2026·北京·三模）已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【变式题7-1】.（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式题7-3】.（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【题型8】二次函数的区间最值问题 1.核心知识点: 二次函数的顶点最值性质 限定区间内的最值判断 2.解题方法技巧: 先确定对称轴位置，再判断对称轴是否落在给定区间内 对称轴在区间内时，顶点处取一个最值，离对称轴远的端点取另一个最值；对称轴在区间外时，最值在两端点处取得 【例题8】.（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【变式题8-2】.（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【题型9】二次函数实际应用·销售利润最值 1.核心知识点: 总利润=单件利润×销售量的数量关系 二次函数的最值求解 2.解题方法技巧: 先设涨价/降价幅度为自变量，分别表示出单件利润和销售量 列出利润的二次函数表达式，结合自变量取值范围求最大值 【例题9】.（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【变式题9-1】.（25-26八年级下·河南开封·期末）某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【变式题9-2】.（2026·黑龙江大庆·二模）党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： (1)设商品售价 元，则一天可以卖出 件 (2)当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 【变式题9-3】.（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【题型10】二次函数实际应用·抛物线型问题 1.核心知识点: 平面直角坐标系的建立方法 待定系数法求抛物线解析式 2.解题方法技巧: 优先以最高点或发射点为原点建立坐标系，简化计算 求高度或水平距离时，代入已知坐标解方程，注意结果需符合实际意义 【例题10】.（2026·河南平顶山·三模）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【变式题10-2】.（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 【压轴素养题型】 【题型11】二次函数图象综合探究（线段与面积最值） 1.核心知识点: 二次函数与一次函数的综合 铅垂法求三角形面积 2.解题方法技巧: 三角形面积用铅垂法： 线段最值、面积最值均转化为二次函数最值问题，结合取值范围求解 【例题11】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【变式题11-1】.（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【题型12】二次函数中的动点与存在性问题 1.核心知识点: 特殊图形（等腰、直角、平行四边形）的判定 动点坐标的代数式表示 2.解题方法技巧: 用含参数的代数式表示动点坐标，根据图形性质列方程求解 存在性问题先假设结论成立，分情况讨论后验证解是否符合题意 【例题12】.（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题12-1】.（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【变式题12-2】.（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． (1)求拋物线的解析式． (2)点P是拋物线对称轴上的动点，是否存在点P使的周长最小，若存在，求点P坐标，若不存在，说明理由． (3)D为直线上方抛物线上一动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点E，记，，求的最大值； ③是否存在点D，使得？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式题12-3】.（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型13】二次函数新定义素养题型 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 二次函数图象与性质的综合应用 2.解题方法技巧: 先精读新定义，圈画判定标准和限制条件，明确核心规则 将新定义问题拆解为熟悉的交点、最值、参数范围问题，分步求解 【例题13】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【变式题13-1】.（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【变式题13-2】.（2026·云南西双版纳·一模）知识推广：如图，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标是，（）． 当时，即，就是二次函数的图象在轴下方的部分，这一部分的的取值范围是． 当时，即，就是二次函数的图象在轴上方的部分，这一部分的的取值范围是或． 已知二次函数的图象的顶点在另一个二次函数的图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)定义：点满足以下两个条件：①，均为整数；②对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．求函数与的环抱整点的个数． 【变式题13-3】.（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 易错点 1.平移规律混淆：误将“左加右减”作用在常数项上，或对一般式直接平移时计算错误，忽略平移对象是自变量。 2.顶点式符号错误：顶点式中，顶点横坐标为而非，容易符号搞反；顶点坐标公式记忆错误。 3.区间最值漏讨论：求限定区间内的最值时，默认顶点是最值点，忽略对称轴是否在区间内，导致结果错误。 4.实际问题忽略范围：求实际问题最值时，忽略自变量的实际取值范围，顶点不在取值范围内时仍取顶点最值。 5.系数符号判断失误：判断的符号时“左同右异”记反，或特殊值代入时符号计算错误。 重点 1.二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。 2.待定系数法求三种形式的二次函数解析式，以及图象的平移、对称变换。 3.二次函数与一元二次方程、不等式的关系，利用数形结合解决相关问题。 4.二次函数的实际应用，尤其是利润、面积、抛物线型的最值问题。 难点 1.含参数的二次函数性质讨论，需结合对称轴位置进行多情况分类讨论。 2.二次函数动点与存在性问题，对几何性质与代数计算的综合能力要求较高。 3.二次函数综合探究题，涉及线段、面积、最值等多个知识点的融合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 3．已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 5．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 三、解答题 7．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 8．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 9．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 10．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 知识点1：二次函数的概念与解析式形式 1.定义：形如（a,b,c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.三种常见解析式形式 形式 表达式 适用场景 一般式 已知任意三个点的坐标 顶点式 已知顶点坐标、对称轴或最值 交点式 已知抛物线与轴的两个交点坐标 知识点2：二次函数的图象与性质 1.图象特征：二次函数的图象是抛物线，为轴对称图形，对称轴为直线。 2.性质对比 项目 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线 直线 增减性 对称轴左侧随增大而减小；对称轴右侧随增大而增大 对称轴左侧随增大而增大；对称轴右侧随增大而减小 最值 当时， 当时， 知识点3：二次函数图象的几何变换 1.平移规律（顶点式下）：左加右减自变量，上加下减常数项 向左平移个单位： 向右平移个单位： 向上平移个单位： 向下平移个单位： 2.对称变换 关于轴对称：，开口方向相反，顶点关于轴对称 关于轴对称：，开口方向不变，顶点关于轴对称 关于顶点对称：，开口方向相反，顶点坐标不变 知识点4：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.与一元二次方程的关系：抛物线与轴交点的横坐标，对应一元二次方程的实数根。 判别式 一元二次方程根的情况 抛物线与x轴的交点个数 有两个不相等的实数根 有两个交点 有两个相等的实数根 有一个交点（顶点） 没有实数根 没有交点 2.与一元二次不等式的关系（时） 的解集：或（，两根之外） 的解集：（两根之间） 知识点5：二次函数的实际应用 1.常见类型：销售利润最值、几何面积最值、抛物线型实际问题（喷泉、跳水、拱桥等）。 2.解题步骤：分析题意建立函数模型，确定自变量的实际取值范围，利用二次函数性质求最值，验证结果符合实际意义。 【基础必考题型】 【题型1】二次函数的概念识别与参数判断 1.核心知识点: 二次函数的定义（最高次为2，二次项系数不为0） 二次函数一般式的各项系数识别 2.解题方法技巧: 判断二次函数先化简解析式，确保最高次项次数为2且二次项系数不为0 含参数的二次函数问题，先根据定义列不等式确定参数的取值范围 【例题1】.（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 【变式题1-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 【题型2】二次函数图象与系数符号判断 1.核心知识点: 抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点的性质 “左同右异”判断的符号 2.解题方法技巧: 看开口方向，看与轴交点，结合对称轴用“左同右异”判断 特殊值代入法：对应，对应，可快速判断符号 【例题2】.（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 【变式题2-1】.（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 【变式题2-2】.（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 【题型3】二次函数的平移与对称变换 1.核心知识点: 二次函数图象的平移规律 二次函数的对称变换性质 2.解题方法技巧: 平移问题先将解析式化为顶点式，再按“左加右减，上加下减”计算 对称变换可通过顶点坐标对称、开口方向反向，快速推导新解析式 【例题3】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（    ） A．向右平移1个单位，向上平移2个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移1个单位，向下平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，解题关键是掌握左加右减，上加下减的平移规律，通过对比原抛物线与目标抛物线的解析式变化确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线平移遵循左加右减，上加下减的原则， ∴将抛物线向右平移1个单位，所得抛物线解析式为， 再将向上平移2个单位，所得抛物线解析式为， 故选：A． 【变式题3-1】.（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 【变式题3-2】.（25-26九年级上·上海宝山·期末）将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，． (1)求平移后的抛物线的表达式； (2)说明由抛物线如何平移得到新抛物线． 【答案】(1) (2)向右平移4个单位，向上平移6个单位 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象的平移，利用抛物线平移后二次项系数不变设出表达式及准确掌握平移方法是解题的关键． （1）根据抛物线平移后二次项系数不变的性质，设平移后的表达式为，代入点，，通过待定系数法求出未知系数，即可得到平移后的抛物线解析式； （2）将平移后的抛物线解析式化为顶点式，对比原抛物线与新抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的变化确定平移的方向与距离即可． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线的表达式为，把点，代入解析式得 ， 解得， ∴平移后的抛物线的表达式； （2）解：∵抛物线顶点为 平移后的抛物线的表达式，顶点为， ∴平移方式为：向右平移4个单位，向上平移6个单位． 【变式题3-3】.（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线与轴交于与． (1)求该抛物线的解析式． (2)该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为112，最小值为16 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，再分别表示出点A、点B到对称轴的距离，结合的条件去掉距离的绝对值符号，再根据“点A到对称轴的距离是点B到对称轴的距离的2倍”列方程求解； （3）根据“经过点”确定的取值范围；再结合抛物线开口向下的性质，分情况讨论：当在对称轴左侧或当包含对称轴时，分析最高点是顶点还是区间端点、最低点是哪个端点，得到M的表达式，最后在t的取值范围内求M的最值． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：①由（1）知，抛物线， 则抛物线对称轴为， 如图，过点B作垂直于对称轴于点C，作垂直于对称轴于点D， ，，且， 、， 点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍， ， ， 解得：； ②经过点 即， 分情况讨论： （）当在对称轴左侧时，此时，即， 随的增大而增大， 在点处取得最大值，在点处取得最小值， 当时，， 当时，， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， （）当包含对称轴时，，即， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为 令， 解得：， 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而减小， 当时，， 当时，； 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而增大， 当时，， 当时，，即当无限接近于时，的最小值无限接近于16， 综上所述，的最大值为112，最小值为16． 【点睛】利用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 【题型4】二次函数与一元二次方程的应用 1.核心知识点: 抛物线与轴交点和方程根的对应关系 判别式与交点个数的关系 2.解题方法技巧: 求抛物线与轴交点，直接令解一元二次方程 判断交点个数直接计算的符号，无需解方程 【例题4】.（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 【变式题4-1】.（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【变式题4-3】.（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称轴，交点坐标 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 【题型5】二次函数的增减性与函数值大小比较 1.核心知识点: 二次函数的对称轴与增减性 点到对称轴的距离与函数值的关系 2.解题方法技巧: 开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大；开口向下则相反 比较函数值先算各点到对称轴的距离，结合开口方向快速判断 【例题5】.（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 【变式题5-1】.（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【变式题5-2】.（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将表示为关于的二次函数，确定的取值范围，再根据二次函数的顶点位置的最值情况即可． 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 【变式题5-3】.（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 【题型6】待定系数法求二次函数解析式 1.核心知识点: 二次函数的三种解析式形式 代入法解方程组 2.解题方法技巧: 根据已知条件选最优形式：已知顶点选顶点式，已知交点选交点式，任意三点选一般式 计算完成后代入点坐标验证，确保解析式准确无误 【例题6】.（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·吉林延边·期末）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是__________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象开口向下知，由经过点知，取，即可． 【详解】解：设二次函数的表达式为， ∵图象开口向下， ∴， ∵图象经过点， ∴当时，， 故，表达式为（其中），取，，得， 故答案为：(答案不唯一)． 【变式题6-2】.（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为． （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 【培优高频题型】 【题型7】二次函数与不等式的综合应用 1.核心知识点: 二次函数与一元二次不等式的图象对应关系 函数图象上下位置与不等式的关系 2.解题方法技巧: 解不等式可转化为判断抛物线在直线上方/下方对应的取值范围 数形结合，借助图象快速确定解集，避免复杂的代数计算 【例题7】.（2026·北京·三模）已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）将函数表达式化为顶点式，即可求解； （2）①由函数的图象与x轴有公共点，可得，即可求解； ②由函数的图象与x轴有两个公共点，可得 或 ，再分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 【变式题7-1】.（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 【详解】解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 【变式题7-3】.（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 的取值范围是且． 【分析】（）先将点横坐标代入抛物线解析式，化简求出用表示的式子；再把含的点坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出与的关系式； （），先分别把横坐标代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出的取值范围，最后综合得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． 【题型8】二次函数的区间最值问题 1.核心知识点: 二次函数的顶点最值性质 限定区间内的最值判断 2.解题方法技巧: 先确定对称轴位置，再判断对称轴是否落在给定区间内 对称轴在区间内时，顶点处取一个最值，离对称轴远的端点取另一个最值；对称轴在区间外时，最值在两端点处取得 【例题8】.（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①②最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线解析式为，再根据解析式确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可； ②不妨设，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）不妨设，，分点P在上方和在下方，分别表示出线段的长，根据二次函数的性质，建立不等式求解即可． 【详解】（1）①解：时，抛物线变形为， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； ②解：根据题意，得点为直线上的动点， 轴交抛物线于点Q． ，， ，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ， ∴当，的长度最大，且最大值为，此时． （2）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． ， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． 当点P在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，线段的长随着的增大而增大， ， 解得； 当点P不在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴直线的右侧，线段的长随着的增大而增大， ， 综上所述，m的取值范围是或； 【变式题8-2】.（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 【题型9】二次函数实际应用·销售利润最值 1.核心知识点: 总利润=单件利润×销售量的数量关系 二次函数的最值求解 2.解题方法技巧: 先设涨价/降价幅度为自变量，分别表示出单件利润和销售量 列出利润的二次函数表达式，结合自变量取值范围求最大值 【例题9】.（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·河南开封·期末）某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 (3)当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设每天的利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴月平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元 根据题意得， 解得， ∵为了尽快清理库存 ∴要尽可能大 ∴售价应降低元； （3）解：设每天的利润为w 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w取得最大值490 ∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元． 【变式题9-2】.（2026·黑龙江大庆·二模）党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： (1)设商品售价 元，则一天可以卖出 件 (2)当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据“单价每降低元，每天可多售出件”可知数量是原来的数量加上新增的数量，直接套用“新增数量降低的价格”即可； （2）根据“单件利润售价进价”，“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的顶点式求出当售价为多少时，日利润最大； （3）利用“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，因为为正整数，且当时取得最大值，所以二次函数的对称轴在和之间，将对称轴代入求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，降低了元， 卖出件； （2）解：设这批商品的日利润为元， 由题意得； ∴当时，取得最大值元， 即当售价为元时，这批商品的日利润最大为元； （3）解：由题意知， ∵二次函数开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 又∵在售价为元时可获得最大日利润， ∴， 解得． 【变式题9-3】.（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【题型10】二次函数实际应用·抛物线型问题 1.核心知识点: 平面直角坐标系的建立方法 待定系数法求抛物线解析式 2.解题方法技巧: 优先以最高点或发射点为原点建立坐标系，简化计算 求高度或水平距离时，代入已知坐标解方程，注意结果需符合实际意义 【例题10】.（2026·河南平顶山·三模）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 【变式题10-2】.（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【答案】(1) (2) (3)解：至少需要部署4个基站，理由如下： ， ∵，函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，p随x增大而增大， 当时p取得最大值： ， 单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站； (4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位： 弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位， 此时调整后的总带宽需求为： ， 当时y取得最大值， 代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间； 令原始， 即， 解得， 对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖， ∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少． 【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间； （2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量； （4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少． 【详解】（1）解：将代入总设备数关系式： 整理得： 解得， ∵， ∴； （2）解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位， ∴， 代入， ； （3）解：略； （4）解：略． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 【答案】(1)； (2)①这组数据的总误差为；②当时，这组数据的总误差取得最小值； (3)最优拟合模型利润更高． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先提取5组散点坐标：，，，，根据题意列式计算即可求解； ②利用二次函数的性质求解即可； （3）分小明模型和最优拟合模型两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将和代入，得： ，解得， ∴这条直线的解析式为； （2）解：①先提取5组散点坐标：，，，， ∵， ∴ ； ②∵， ∴开口向上， ∴最小值在时，取得最小值； （3）解：小明模型：，时， 预测备货量（杯）， 实际需求173杯， 备货170杯全部售出，利润（元）， 最优拟合模型：，， 代入， 得 ， 备货取整数176杯，实际需求173杯， 未售出（杯）， 则（元）， ， ∴最优拟合模型利润更高． 【压轴素养题型】 【题型11】二次函数图象综合探究（线段与面积最值） 1.核心知识点: 二次函数与一次函数的综合 铅垂法求三角形面积 2.解题方法技巧: 三角形面积用铅垂法： 线段最值、面积最值均转化为二次函数最值问题，结合取值范围求解 【例题11】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 【变式题11-1】.（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【题型12】二次函数中的动点与存在性问题 1.核心知识点: 特殊图形（等腰、直角、平行四边形）的判定 动点坐标的代数式表示 2.解题方法技巧: 用含参数的代数式表示动点坐标，根据图形性质列方程求解 存在性问题先假设结论成立，分情况讨论后验证解是否符合题意 【例题12】.（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的横坐标为或3 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，正确做出辅助线，分类讨论思想的运用． （1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可； （2）点E在y轴的右侧，作轴，交于点G，推导出，得到，继而求出，的解析式为，设，则，推导出，进而推导出，解得，即可解答； （3）分类讨论：①当时，②当时， 逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得 解得 ∴抛物线表达式为． （2）解：存在，，理由如下： 如图，由题意，点E在y轴的右侧，作轴， 交于点G， 轴， ， ， 直线与轴交于点D， ， ， ， 令得，， 解得， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入上述解析式得：， 解得：， 的解析式为， 设，则，其中， ， 解得． ∴， 点E的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当时，过点O作于点N，延长至H，使， 连接交抛物线于点P，过点H作轴于点T， ，， 是的垂直平分线， ， ， 点P为所求点， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 即， 解得（不符合题意），， 点P的横坐标为， ②当时， 如图 则轴，则点P、C关于抛物线对称轴对称， ∵对称轴为直线，， 点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为或3． 【变式题12-1】.（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 【变式题12-2】.（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． (1)求拋物线的解析式． (2)点P是拋物线对称轴上的动点，是否存在点P使的周长最小，若存在，求点P坐标，若不存在，说明理由． (3)D为直线上方抛物线上一动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点E，记，，求的最大值； ③是否存在点D，使得？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)①4；②；③存在， 【分析】（1）根据直线求出点A、B的坐标，再利用待定系数法进行求解即可； （2）根据题意得到对称轴为，则的周长为，设点，由于点和点关于对称轴为对称，得到， 当、、三点共线时，值最小，即的周长最小，据此求解即可； （3）①过点作轴交直线于点，设点，则点，根据两点间的距离公式得到的长，根据面积为，进行计算求解即可； ②设点，过点C作直线交y轴于点，过点D作直线交y轴于点，过点M作，交直线于点，由于和同底，则，进而得到直线的解析式为，即点，同理可得点，进而得到，，据此解答即可； ③过点C作直线交于点，过点H作直线交y轴于点，证得，根据相似三角形的性质得到，在中，，进而得到，进而得到点，直线的表达式为，将与抛物线解析式联立，解得，从而得到点D坐标． 【详解】（1）解：将代入得：， 则点， 将代入得：， 则点， 将点，抛物线得： 解得： 因此，拋物线的解析式为； （2）解：存在点P使的周长最小，理由如下： 由（1）知，拋物线的解析式为， 则对称轴为，点， 则的周长为， 设点， 由于点和点关于对称轴为对称， 则， 因此，当、、三点共线时，值最小，即的周长最小， 将代入得： ， 则点坐标为； （3）①解：过点作轴交直线于点，如图： 设点，则点， 则， 因此面积为， 即， 当时，面积有最大值，最大值为4； ②解：设点， 过点C作直线交y轴于点，过点D作直线交y轴于点，过点M作，交直线于点，如图： 由于和同底， 则 即 设直线的解析式为，经过点 则， 解得， 直线的解析式为， 点， 同理可得：点 ，， ， 当时，的最大值为； ③解：存在，理由如下： 过点C作直线交于点，过点H作直线交y轴于点， 、、 在中，， 则， ， 设、则， 由勾股定理得， ，， 同理可得： 即点 设直线的表达式为， 将点代入得： 解得 则直线的表达式为， 将与抛物线解析式联立得： 解得或（舍去） 当时，， 即点． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，平行线的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 【变式题12-3】.（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【题型13】二次函数新定义素养题型 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 二次函数图象与性质的综合应用 2.解题方法技巧: 先精读新定义，圈画判定标准和限制条件，明确核心规则 将新定义问题拆解为熟悉的交点、最值、参数范围问题，分步求解 【例题13】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴，即该函数是“增函数”， ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值． 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 【变式题13-1】.（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 【变式题13-2】.（2026·云南西双版纳·一模）知识推广：如图，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标是，（）． 当时，即，就是二次函数的图象在轴下方的部分，这一部分的的取值范围是． 当时，即，就是二次函数的图象在轴上方的部分，这一部分的的取值范围是或． 已知二次函数的图象的顶点在另一个二次函数的图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)定义：点满足以下两个条件：①，均为整数；②对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．求函数与的环抱整点的个数． 【答案】(1) (2)函数与的环抱整点的个数为6个 【分析】（1）因为要利用的顶点在图象上这一条件，所以先通过配方法或顶点坐标公式求出的顶点坐标。因为顶点坐标满足​的解析式，所以将顶点坐标代入，得到关于的方程，求解得出的值，进而确定的解析式． （2）因为需要找到满足​的整数、，所以先分析的表达式，求出时的取值范围，确定整数的可能取值；因为对于每个整数，要计算对应的和，所以将分别代入和的解析式，得到和的值，再找出满足​的整数的个数，最后统计所有符合条件的环抱整点总数． 【详解】（1）解：∵二次函数 的图象的顶点坐标为， ∴将点代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵，， ∴当时，，， ∵， ∴，即， 令， 解得， ∵，即的图象开口向上， ∴时，， ∵，均为整数， ∴可取或0； ①当时， ， ， ∴，则可取，，， ∴函数与的环抱整点为，，； ②当时，，， ∴，则可取，，0， ∴函数与的环抱整点为，，； 综上所述，函数与的环抱整点的个数为6个． 【变式题13-3】.（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 易错点 1.平移规律混淆：误将“左加右减”作用在常数项上，或对一般式直接平移时计算错误，忽略平移对象是自变量。 2.顶点式符号错误：顶点式中，顶点横坐标为而非，容易符号搞反；顶点坐标公式记忆错误。 3.区间最值漏讨论：求限定区间内的最值时，默认顶点是最值点，忽略对称轴是否在区间内，导致结果错误。 4.实际问题忽略范围：求实际问题最值时，忽略自变量的实际取值范围，顶点不在取值范围内时仍取顶点最值。 5.系数符号判断失误：判断的符号时“左同右异”记反，或特殊值代入时符号计算错误。 重点 1.二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。 2.待定系数法求三种形式的二次函数解析式，以及图象的平移、对称变换。 3.二次函数与一元二次方程、不等式的关系，利用数形结合解决相关问题。 4.二次函数的实际应用，尤其是利润、面积、抛物线型的最值问题。 难点 1.含参数的二次函数性质讨论，需结合对称轴位置进行多情况分类讨论。 2.二次函数动点与存在性问题，对几何性质与代数计算的综合能力要求较高。 3.二次函数综合探究题，涉及线段、面积、最值等多个知识点的融合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 3．已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 二、填空题 4．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 5．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 三、解答题 7．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 8．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 9．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 【答案】(1)， (2) (3)或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为 【分析】（1）高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，因为抛物线过原点，所以当时，，代入求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据抛物线的解析式确定和的值； （2）根据点的纵坐标为，可得，解方程求出的值，即可得到的长度； （3）因为高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，根据抛物线的对称性可知，解方程即可求出的值，把的值代入二次函数的解析式即可求出此时高尔夫球的高度． 【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 10．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $