第5章 5.2 5.2.2 同角的三角函数的基本关系-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，覆盖三角函数定义、同角关系及综合应用，梯度衔接紧密，助力知识从单一到综合的巩固提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|同角三角函数基本关系直接应用|单选（1-3题）考查sin/cos互化、简单化简，培养运算能力| |综合层|公式综合化简、方程与三角函数结合、三角形内角问题|选择填空（4-10题）涉及多知识点融合，如三角形形状判断、方程根与sin/cos关系，发展推理意识| |拓展层|综合证明与创新情境应用|解答题（11-13题）及新定义“DM函数”题，需综合运用公式推导与模型构建，提升模型观念|

1．若sin 3＝t，则cos 3＝(　　) A.　　　　　 B．－ C. D．－ 答案：B 2．化简 sin2α＋cos4α＋sin2 αcos2 α的结果是(　　) A.　　 B.　　 C．1　　　D. 答案：C 3．已知α是第四象限的角，化简＋的结果是(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：D 4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 5．(多选)下列计算或化简结果正确的是(　　) A.＝2 B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2 C．若tan x＝，则＝1 D．若α为第一象限角，则＋＝2 解析：ABD　[A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.综上，A、B、D正确．故选A、B、D.] 6．已知2sin θ＋tan θ＝0，则角θ的值可能是(　　) A．－210° B．－180° C．210° D．－240° 解析：ABC　[∵2sin θ＋tan θ＝2sin θ＋×＝sin θ＝0，∴sin θ＝0或cos θ＝－，∴θ＝－210°，－180°，210°都满足题意，而θ＝－240°不满足．] 7．化简：＝　________　. 解析：原式＝＝＝＝cos 80°. 答案：cos 80° 8．已知α∈， 且＝4， 则＝　________　. 解析：∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2， 1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2， ∴＝|sin α＋cos α|， ＝|sin α－cos α|. 又∵α∈， ∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴＝4， ∴sin α＝2cos α， ∴＝＝. 答案： 9．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，则实数k＝　____________　，θ＝　____________　. 解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k，① sin θcos θ＝k＋1.② 又∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴k2－2k－3＝0. 解得k＝3或k＝－1. ∵|sin θcos θ|＝|k＋1|≤1，∴k＝－1. 代入①②，得 解得或 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π或. 答案：－1　π或 10．化简：(1)； (2)； (3)cos2θsin θ. 解：(1)原式＝ ＝＝ ＝＝1. (2)原式＝＝＝cos θ. (3)原式＝cos2θsin θ ＝·cos2θsinθ＝·sin θ＝cos θ. 11．已知f(α)＝＋，其中α是第三象限角． (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝4，求sin α，cos α. 解：(1)∵α是第三象限角， ∴sin α＜0,1－cos α＞0,1＋cos α＞0， ∴f(α)＝＋＝＋＝＋＝－， 即f(α)＝－. (2)∵f(α)＝－＝4，∴sin α＝－， 则cos α＝－＝－. 12．若函数f(x)同时满足：①对于定义域内任意实数x，都有f(1＋x)＋f(1－x)＝0；②对于定义域内任意实数x1，x2，当x1≠x2时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则称函数f(x)为“DM函数”．若“DM函数”满足f(2－sin α)＋f(cos α)＞0，则锐角α的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，可知函数y＝f(x)是增函数． 由f(1＋x)＋f(1－x)＝0，得f(1＋x)＝－f(1－x)． 由题设得f(2－sin α)＞－f(cos α)． 又∵－f(cos α)＝－f(1－(1－cos α)) ＝f(1＋(1－cos α))， ∴f(2－sin α)＞f(2－cos α)． ∵函数y＝f(x)是增函数， ∴2－sin α＞2－cos α，即sin α＜cos α. 又∵α为锐角，则cos α＞0， ∴0＜tan α＜1，则α的取值范围是.] 13．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 解：(1)∵sin A＋cos A＝，① 两边平方，得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形． (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝.② 由①②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $