第5章 5.1 5.1.2 弧度制-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 高中数学弧度制同步练，分层设计清晰，从基础概念到综合应用，强化运算能力与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|角度弧度互化、终边相同角概念|单选直接考查定义，填空巩固基础表达| |进阶层|扇形公式应用、集合关系|结合二十四节气情境，提升知识迁移能力| |综合层|图形面积周长计算、最值问题|玉佩几何模型与扇形综合，培养空间观念与推理能力|

1．把50°化为弧度为(　　) A．50　　 B.　　　 C.　　　 D. 答案：B 2．现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为(　　) A．－ B. C. D. 答案：D 3．已知半径为3的圆弧所对的圆心角为，则该圆弧所在的扇形面积为(　　) A.π B. C. D. 答案：D 4．已知集合M＝，N＝，则有(　　) A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝∅ 答案：C 5．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．45°＋2kπ(k∈Z) B.＋k·360°(k∈Z) C．－315°＋k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) 解析：CD　[对于A，B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．对于C，＝4π－，则角与－的终边相同，且－化角度制为－315°，则角－315°与的终边相同，故－315°＋k·360°(k∈Z)是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对于D，由＝2π＋，得与的终边相同，则与终边相同的角可以写成＋2kπ(k∈Z)的形式，故D正确．] 6．(多选)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图①所示，其平面图形可以看成扇形的一部分(如图②)，已知AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，则(　　) A．∠ABC＝ B．弧AD的长为 C．该平面图形的周长为6＋ D．该平面图形的面积为－ 解析：ACD　[如图，分别延长AB与DC交于点O， 易得△AOD∽△BOC，得＝＝＝，又AB＝CD＝2，故AO＝DO＝4，所以△AOD为等边三角形，∠BOC＝∠OBC＝∠BAD＝，所以∠ABC＝，得l＝AO·∠BOC＝，该平面图形的周长为6＋，面积为－×2×＝－.] 7．已知α＝30°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为　________　. 解析：(化为弧度)：α＝30°＝30×＝，θ＝105° ＝105×＝. 显然＜＜1＜＜，故α＜β＜γ＜θ＜φ. 答案：α＜β＜γ＜θ＜φ 8．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为　________　. 解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)． 答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z} 9．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为　________　；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为　________　. 解析：设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2r，∴|θ|＝＝2；又圆内接正方形的边长为r，圆弧长为4r，∴|θ|＝＝4. 答案：2　4 10．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式： (1)；(2)－315°. 解：(1)因为0≤＜2π，所以＝4π＋. (2)－315°＝－315×＝－＝－2π＋. 因为0≤＜2π，所以－315°＝－2π＋. 11．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小； (2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝. (2)α＝，所以l＝αr＝， S扇形＝lr＝××10＝. 又因为S△AOB＝×10×10×＝25， 所以S＝S扇形－S△AOB＝－25 ＝50. 12．已知α＝1 690°， (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋π＜4π. 解得－＜k＜(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1. ∴θ的值是－π，－π，π，π. 13．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数． (2)一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 解：(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ，则l＋2r＝20，∴l＝20－2r. 又∵lr＝9，即(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0， 即(r－1)(r－9)＝0，∴r1＝1，r2＝9. 当r＝1时，l＝18，则θ＝＝18＞2π(舍去)，当r＝9时，l＝2，则θ＝＝，即扇形圆心角的弧度数为. (2)设扇形的半径为r cm，则弧长为l＝(20－2r)cm. 由0＜l＜2πr，得0＜20－2r＜2πr，∴＜r＜10. 于是扇形的面积为S＝(20－2r)r ＝－(r－5)2＋25. 当r＝5时，l＝10，α＝2，S取到最大值，此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $