第4章 4.4 4.4.2 第1课时 对数函数的图象与性质-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦对数函数，分层设计从概念辨析到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图像识别、基本性质|单选考查对数函数图像与点的坐标关系，夯实概念理解| |中档|单调性、奇偶性综合|多选结合函数性质判断参数范围，提升推理能力| |提升|最值、不等式证明|解答题含定义域值域分析与不等式恒成立，深化综合应用|

1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是(　　) A．0.5　　　　　　　 B．2 C．e D．π 答案：A 2．已知，则实数a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 答案：C 3．已知点(m，n)在函数y＝lg x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是(　　) A．(m2,2n) B．(10m,10n) C．(m＋10，n＋1) D. 答案：A 4．已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为4，则a的值为(　　) A. B．2 C. D．2或 答案：D 5．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：BCD　[作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限．] 6．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足，则a的取值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：BC　[∵＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)，又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2，∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.故选B、C.] 7．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,3]，则区间[a，b]长度的最大值为　________　. 解析：由题知函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,3]，要使定义域区间的长度最长，则－3≤log2x≤3，解得≤x≤8，故区间[a，b]长度的最大值为8－＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝1＋loga(x－2)(a＞0，a≠1)的图象经过定点A(m，n)，若正数x，y满足＋＝1，则＋2x＋y的最小值是　________　. 解析：函数f(x)＝1＋loga(x－2)(a＞0，a≠1)，令x－2＝1，可得x＝3，代入函数解析式可得f(3)＝1，∴定点A的坐标为(3,1)，代入＋＝1，可得＋＝1，∴＝x－3，且x＞0，y＞0， 则＋2x＋y＝3x＋y－3＝(3x＋y)－3＝＋＋7≥2＋7＝6＋7＝13，当且仅当＝，即x＝y＝4时，取等号，∴＋2x＋y的最小值为13. 答案：13 9．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为，则a的值为　________　，x的值为　________　. 解析：由logax＋2logxa＋logxy＝－3，得logax＋＋＝－3(x>0，y>0，x≠1)， 整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2. 设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－2＋. ∴当t＝－时，logay的最大值为，y的最大值为， ∴＝， ∴a＝4，此时 答案：4　 10．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解：(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<， 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 11．已知函数f(x)＝lg|x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的草图； (3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)． ∴函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得到函数f(x)的图象，如图所示． (3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2| ＝lg＝lg. ∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x1， ∴|x1|>|x2|>0. ∴>1.∴lg>0.∴f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 即－2≤t≤－1. 可知y＝2－在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取最大值为10； 当t＝－1时，y取最小值为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 13．若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围． 解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图象，如图所示． 要使x2＜logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0＜m＜1. ∵x＝时，y＝x2＝， 又0＜m＜1， ∴≤m＜1，即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $