第3章 3.2 3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 本同步练习聚焦函数奇偶性，通过基础巩固、能力提升、综合创新三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|奇偶性定义及基本判断|单选考查定义域对称性、奇偶函数性质（如第1-4题）| |能力提升|奇偶性与函数性质综合|多选、填空结合分段函数、绝对值函数（如第5-10题）| |综合创新|奇偶性证明及实际应用|解答题结合5G通信情境，证明题强化逻辑推理（如第11-13题）|

1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，则a＋b的值是(　　) A．0　　　 B.　　　 C．1　　　 D．－1 答案：B 2．下列说法正确的是(　　) A．偶函数的图象一定与y轴相交 B．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0 C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点 D．图象过原点的奇函数必是单调函数 答案：B 3．已知a，b，c，d∈R，函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，x∈[a，c]是奇函数，则f(1)的值(　　) A．随a，b，c，d的取值而变化 B．只与a的取值有关 C．与a和c的取值都有关 D．为0 答案：D 4．函数f(x)＝(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：B 5．(多选)已知函数f(x)＝|3－x|，构造函数g(x)＝f(x)－f(－x)，则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A．g(x)－g(－x)是偶函数 B．g(x)＋g(－x)是偶函数 C．g(x)|g(x)|是奇函数 D．g(x)g(|x|)是奇函数 解析：BCD　[因为f(x)＝|3－x|，所以g(x)＝|3－x|－|3＋x|，显然g(x)的定义域为R，且g(－x)＝|3＋x|－|3－x|＝－g(x)，故g(x)是奇函数． 对于A，因为g(1)＝f(1)－f(－1)＝－2，g(－1)＝f(－1)－f(1)＝2，所以g(1)－g(－1)＝－4≠4＝g(－1)－g(1)，所以g(x)－g(－x)不是偶函数，A错误；对于B，因为g(－x)＋g(x)＝g(x)＋g(－x)，所以g(x)＋g(－x)是偶函数，B正确；对于C，因为g(－x)|g(－x)|＝－g(x)·|－g(x)|＝－g(x)|g(x)|，所以g(x)|g(x)|是奇函数，C正确；对于D，因为g(－x)g(|－x|)＝－g(x)g(|x|)，所以g(x)g(|x|)是奇函数，D正确．] 6．(多选)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的是(　　) A．这个函数有两个单调递增区间 B．这个函数有三个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 解析：BC　[根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示， 由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选B、C.] 7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x，则f(1)－g(1)＝　________　. 解析：因为f(x)＋g(x)＝x2－x， 所以f(－1)＋g(－1)＝(－1)2－(－1)＝2. 因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，因此由f(－1)＋g(－1)＝2.可得f(1)－g(1)＝2. 答案：2 8．已知定义在R上的函数f(x)＝kx＋1(k为常数)．若f(2 026)＝－2 024，则f(－2 026)＝　________　. 解析：设g(x)＝kx，则g(－x)＝k(－x)＝－kx＝－g(x)，且定义域为R， ∴g(x)是奇函数，∴f(－x)＝－g(x)＋1，与f(x)＝g(x)＋1相加得f(x)＋f(－x)＝2， ∴f(－2 026)＝2－f(2 026)＝2－(－2 024)＝2 026. 答案：2 026 9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x，其中的奇函数为　__________　，偶函数为　________　.(填序号) 解析：∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴①为偶函数； ∵f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数． 答案：②④　①③ 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 11．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式． 解：当x＜0，－x＞0， ∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴所求函数的解析式为f(x)＝ 12．某5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如(c1　c2)＝(a1　a2)×，其中c1＝a1b11＋a2b21，c2＝a1b12＋a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x)，对任意a，b∈R，有(y1　y2)＝(f(a)　f(b))×且满足f(ab)＝y1＋y2，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(－1)＝1 C．f(x)是偶函数 D．f(x)是奇函数 解析：AD　[根据定义可得y1＝f(a)×(－1)＋f(b)×(a－1)，y2＝f(a)×(b＋1)＋f(b)×1，f(ab)＝y1＋y2＝－f(a)＋(a－1)·f(b)＋(b＋1)×f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)．令a＝b＝0，则f(0)＝0，A正确；令a＝b＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0，令a＝b＝－1，则f(1)＝－f(－1)－f(－1)，得f(－1)＝0，B错误；令a＝x，b＝－1，则f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，即f(－x)＝－f(x)，又定义域为R，所以f(x)是奇函数，故C错误，D正确．] 13．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数； (2)已知函数f(x)，x∈R.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数． 证明：(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)， ∴f(0)＝0. 又令a＝－x，b＝x， 则f(0)＝f(－x)＋f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，① 令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)．② 由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 $