第5章 5.7 三角函数的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本高中数学讲义聚焦三角函数的应用，系统梳理从周期现象观察（如潮水涨落）到构建y=Asin(ωx+φ)+b模型的完整过程，涵盖参数物理意义、建模四步骤（审题、建模、解模、还原评价），搭建从三角函数性质到实际问题解决的学习支架。 该资料以江心屿潮水、客栈游客等生活情境引入，通过多领域例题（物理交流电、几何面积优化）培养数学建模与逻辑推理素养，散点图分析助力直观理解，课中辅助教师情境教学，课后练习题帮助学生巩固模型应用能力，实现数学眼光观察与数学语言表达的结合。

5．7　三角函数的应用 课程标准 素养解读 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题 2．能够从实际问题中发现周期变化规律 3．能够将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型 通过学习三角函数的应用培养学生逻辑推理和数学建模素养 [情境引入] 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联．上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 [问题]　(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ (2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示：(1)水深随时间呈周期性的变化． (2)若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线． [知识梳理] [知识点一]　函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)中参数的物理意义　 [知识点二]　用函数模型解决实际问题的一般步骤　 (1)审题 审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件． (2)建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题． (3)解模 运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决． (4)还原评价 应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评价． 1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 提示：三角函数模型． 2．在建模过程中，散点图的作用是什么？ 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误． [预习自测] 1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　) A．y＝sin　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：D 2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则人流量增加的时间段是(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 答案：C 3．函数y＝3sin的振幅为　________　，初相为　________　. 答案：3　 　　　三角函数在物理中的应用 [例1] 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求： (1)开始时的电压； (2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间． [思路点拨]　理解y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义是解决本题的突破口． [解]　(1)当t＝0时，E＝110(伏)， 即开始时的电压为110伏． (2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒． (3)电压的最大值为220伏． 当100πt＋＝，即t＝秒时，第一次取得最大值． 1．三角函数解决物理问题的三个关键量 (1)物体运动的初始位置，即初相． (2)完成一次运动需要的时间，即周期． (3)离开平衡位置的最大位移，即振幅． 2．处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中对于参数的物理意义的理解 (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅． (2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期． (3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率． (4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相． [变式训练] 1．已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin. (1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标． 解：(1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为. (2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为；即所求最高点为；当h＝－3时，t的最小值为，即所求最低点为. 　　　三角函数在实际生活中的应用 [例2] 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)若人住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<|φ|<π)近似描述，求该函数解析式； (2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？ [思路点拨]　根据要求，求A，ω，φ的值． [解]　(1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<|φ|<π)， 由①，得周期T＝＝12，所以ω＝. 由②，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故A＝200. 由③，得f(x)在[2,8]上递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500， 所以 解得 因为f(2)最小，f(8)最大， 所以 由于0<|φ|<π，因此φ＝－， 所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为y＝f(x)＝200sin＋300(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)由条件可知200sin＋300≥400， 化简得sin≥，所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)． 解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)． 因为x∈N*，且1≤x≤12， 所以x＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的食物． 本题的实际背景具有“周而复始”的性质，故建立三角函数模型解题． 解三角函数应用问题的基本步骤 [变式训练] 2．近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主的方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON＝，OM＝60米，设∠COM＝α. (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积S(α)，当α为何值时，S(α)取得最大值，并求出这个最大值． 解：(1)依题意，∠MON＝，扇形半径OM＝60米， 则扇形OMN的面积为××602＝600π平方米． (2)在Rt△OBC中，BC＝60sin α，OB＝60cos α， 在Rt△OAD中，AD＝BC＝60sin α， 则OA＝＝×60sin α＝20sin α， 于是AB＝OB－OA＝60cos α－20sin α， 则矩形ABCD的面积S(α)＝AB·BC ＝60sin α(60cos α－20sin α) ＝1 200(sin αcos α－sin2α) ＝1 200 ＝1 200sin－600， 所以S(α)＝1 200sin－600 . 由0＜α＜，得＜2α＋＜，则当2α＋＝，即α＝时，S(α)max＝600， 所以当α＝时，S(α)取得最大值，最大值为600平方米． 　　　三角函数模型的拟合 [例3] 下表是某地某年月平均气温(华氏)： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①＝cos；②＝cos； ③＝cos. [思路点拨]　根据图象正确选择模拟函数． [解]　(1)如图． (2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，故＝7－1＝6，所以T＝12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8. (3)因为模型①的周期为12π，所以由(2)知①错误；由模型②知当x＝0时，y取最大值，而x＝月份－1，即1月份的气温最高，这与(2)中的结论矛盾，所以应选③. 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． [变式训练] 3．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象． (1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)． 解：(1)由已知数据，描出曲线如图： 易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10， ∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10(0≤t≤24)． (2)由题意知，该船安全进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(m) ∴3sin＋10≥11.5，∴sin t≥. 即有＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z， ∴12k＋1≤t≤12k＋5，k∈Z. 在同一天内，k＝0或1，∴1≤t≤5或13≤t≤17. 故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时. 1．一个单摆小球偏离铅垂线方向的角αrad，与时间t的函数关系式是α(t)＝sin，则单摆摆动的频率是(　　) A．π　　　 B.　　　 C．2　　　　D. 答案：B 2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为(　　) A．5 A　 B. A　 C．2 A　 D．－5 A 答案：B 3．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行　________　次． 答案：25 4．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)T＝＝＝(min)． (2)f＝＝80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)． 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内. 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数关系式θ＝sin ，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A．2，　　　　　　 B.， C.，π D．2，π 答案：B 2．电流I随时间t变化的关系式是I＝5sin 10πt，t≥0，则t＝时，I＝(　　) A．5　　 B．－5　　　 C.　　 D．－ 答案：A 3．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，点P的纵坐标y与时间t(单位：秒)的函数关系式为(　　) A．y＝sin(t≥0) B．y＝sin(t≥0) C．y＝sin(t≥0) D．y＝sin(t≥0) 答案：C 4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝Acos＋a(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为(　　) A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ 答案：B 5．(多选)如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．A＝5 B．ω＝ C．A＝3 D．ω＝ 解析：BC　[∵水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m， ∴A＝3.又水轮每分钟旋转4圈，故转1圈需要15 s， ∴T＝15＝，∴ω＝，故选B、C.] 6．(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图①)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图②)．若一半径为2米的筒车水轮的圆心O距离水面1米(图③)，已知水轮按逆时针转动，每分钟匀速转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时(图③中点P0的位置)开始计时，点P距水面的高度(在水面上时为正值，在水面下时为负值)d(单位：米)与时间x(单位：秒)的关系可以用d＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜，B∈R)表示．下列结论正确的有(　　) A．d＝2sin＋1 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．点P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 解析：BC　[由题意可得解得又T＝＝15，所以ω＝＝， 当x＝0时，d＝2sin φ＋1＝0，解得sin φ＝－， 因为|φ|＜，所以φ＝－， 所以d＝2sin＋1，A错误； 令d＝3，得sin＝1，则x－＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝5＋15k，k∈Z，又x＞0，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时T＝×15＝10(秒)，C正确；当x＝2.5时，d＝2sin＋1＝2，故点P距水面的高度为2米，D错误．] 7．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(单位：m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x(单位：时)的函数关系式为　________　，x∈[0,24]． 解析：将其看成y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象， 由图象知A＝6，T＝12，∴ω＝＝. 将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴函数关系式为y＝6sin＝－6sin x. 答案：y＝－6sin x 8．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为　________　. 解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律： P＝Asin＋60，最高油价80美元， 所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价， 即sin＝－1， 此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z， 因为ω>0，所以令k＝1， 得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝. 故ω的最小值为. 答案： 9．从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声浓．声音两个重要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画．其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波．纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为y＝Asin(2πωx)，其中A＞0，ω＞0，则这个函数的频率f为　________　(写出表达式即可)．(注：频率是周期的倒数)一般说的do，re，mi，fa，so，la，si又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调ρ与频率f之间的关系为f＝440×.已知标准音la(也是纯音)的音调为ρ＝69，那么标准音la对应的函数中ω＝　________　.已知标准音do和标准音la的频率比为3∶5，那么标准音do的音调为　________　.(取lg 2＝0.30，lg 3＝0.48，结果精确到小数点后两位) 解析：由题意可知简谐运动的周期T＝＝，故频率f＝＝ω. 当ρ＝69时，f＝440×＝440，则ω＝f＝440. 因为标准音do的频率和标准音la的频率比为3∶5，所以标准音do的频率为×440＝264. 设标准音do的音调为ρ1，则440×＝264，解得＝，ρ1≈60.20. 答案：ω　440　60.20 10．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据. t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋B. (1)根据上表数据，求函数y＝Acos ωt＋B的最小正周期T、振幅A及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度等于或高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内8时至20时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动． 解：(1)由表中数据知周期T＝12，∴ω＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋B＝1.5. 由t＝3，y＝1.0，得B＝1.0.∴A＝0.5，B＝1. ∴y＝cost＋1，t∈[0,24]． (2)∵y≥1，cost＋1≥1.∴cos t≥0. ∴2kπ－≤ t≤2kπ＋(R∈Z)． ∴12k－3≤t≤12k＋3(R∈Z)．又∴8≤t≤20，∴k＝1,9≤t≤15. ∴冲浪爱好者从9 h到15 h，有6小时可进行运动． 11．近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一个风车，塔高100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米)．设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)． (1)求S(t)的解析式； (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长． 解：(1)以风车塔底为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系， 当t＝0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0,60)， 由题意得ω＝， 且 解得 所以S(t)＝40sin＋100，t∈[0，＋∞)． (2)令S(t)≥80， 则S(t)＝40sin＋100≥80， 即cost≤， 所以2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)， 解得＋5k≤t≤＋5k(k∈Z)． 当k＝0时，≤t≤，－＝， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 12.如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y. (1)按下列要求写出函数的关系式： ①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式； ②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式． (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值． 解：(1)①因为PN＝QM＝x， 所以OM＝＝，连接OP(图略)，则ON＝，所以MN＝ON－OM＝－x，所以y＝x－x2. 因为点P在扇形的弧上，且矩形PNMQ在扇形内，所以0＜x＜sin 60°＝， 所以y＝x－x2. ②因为∠POB＝θ，所以PN＝sin θ，ON＝cos θ，而OM＝＝sin θ， 所以MN＝ON－OM＝cos θ－sin θ， 所以y＝sin θ(cos θ－sin θ)． 因为点P在扇形的弧上，且矩形PNMQ在扇形内，所以0＜θ＜， 所以y＝sin θ(cos θ－sin θ)＝3sin θcos θ－sin2θ. (2)选择②：y＝3sin θcos θ－ sin2θ＝sin 2θ－· ＝sin 2θ＋cos 2θ－ ＝sin－， 因为0＜θ＜，所以＜2θ＋＜，所以当θ＝时，函数取得最大值. 13．主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示)．已知某噪声声波曲线f(x)＝Asin(A＞0，0≤φ＜π)，其振幅为2，且经过点(1，－2)． (1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式； (2)证明：g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)为定值． 解：(1)由振幅为2，A＞0，可得A＝2，f(x)＝2sin， 由噪声声波曲线经过点(1，－2)， 得－2＝2sin⇒sin＝－1， 而0≤φ＜π，＋φ∈， 则＋φ＝⇒φ＝， 则f(x)＝2sin. 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以g(x)＝－2sin. (2)证明：由(1)g(x)＝－2sin ＝－2sin ＝－2cos， 则g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2) ＝－2cos－2cos－2cos ＝－2cos＋2cos＋2cos ＝－2＋2cos＋2 ＝－cos＋sin＋2cos－cos－sin＝0， 即g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)为定值0. 学科网（北京）股份有限公司 $