第5章 5.5 5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦简单的三角恒等变换核心知识点，以二倍角公式为基础推导半角公式（正弦、余弦、正切）及降幂公式，构建“公式推导-符号确定-适用范围-应用方法”的学习支架，衔接三角变换求值、化简与证明的技能训练。 通过“电脑输入法半角全角”情境引入激发兴趣，以问题驱动探究任意角半角关系，培养数学眼光；公式推导过程强化逻辑推理，例题解析注重角范围分析，提升数学思维；分层练习与规范解答助力数学语言表达，课中辅助教师引导知识构建，课后帮助学生查漏补缺。

5．5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 课程标准 素养解读 1.了解学生推导半角公式、积化和差、和差化积的过程 2．能利用公式进行三角恒等变换、求值 通过三角恒等变换公式的学习，提升数学抽象和数学逻辑推理素养 [情境引入] 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符． [问题]　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 提示：是α的半角，α是2α的半角． [知识梳理] [知识点]　半角公式　 (1)公式 降幂公式 sin2＝　　 cos2＝　　 tan2＝　　 (2)本质： ①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的． ②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan. (3)应用：①求值；②化简；③证明． 1.半角公式中的符号是如何确定的？ 提示：(1)当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号． (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正、负号． 2．半角公式对α∈R都成立吗？为什么？ 提示：公式C，S对α∈R都成立，但公式T要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)． 3．sin θ＋sin φ＝2sincos除了课本上的证明方法，还有什么其他的证明方法吗？ 提示：右边＝2sincos ＝2sin·cos ＝2· ＝2 ＝sin θ·cos2＋sin2sin φ＋cos2sin φ＋sin2sin θ ＝sin θ＋sin φ＝左边． 故等式成立． [预习自测] 1．若cos 2θ＝－，则＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 答案：C 2．sin α＝，cos α＝，则tan＝(　　) A．2－ B．2＋ C.－2 D．±(－2) 答案：C 3．已知sin α＝－，且π<α<π，则sin ＝　________　. 答案： 　　　应用半角公式求值 [例1] 已知sin α＝－，π<α<，求sin， cos，tan的值． [思路点拨]　直接利用半角公式求解． [解]　∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin＝＝， cos＝－＝－， tan ＝＝－2. 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． [变式训练] 1．已知sin θ＝，<θ<3π，那么tan＋cos的值为(　　) A.－3　　　　　 B．3－ C．－3－ D．3＋ 解析：B　[因为<θ<3π， 所以cos θ＝－＝－，<<. 所以sin <0，cos <0. 所以sin＝－＝－， cos＝－＝－. 所以tan＝＝3. 所以tan＋cos＝3－.] 　　　三角函数式的化简 [例2] 化简： (180°<α<360°)． [思路点拨]　化倍角为单角，统一角，α＝2×. [解]　原式＝ ＝ ＝ 又因为180°<α<360°， 所以90°<<180°，所以cos<0， 所以原式＝＝cos α. 1．化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等． 2．化简的要求 (1)能求出值的应求出值； (2)尽量使三角函数种数最少； (3)尽量使项数最少； (4)尽量使分母不含三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数． 3．化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等． [变式训练] 2．化简：＋ ，(π<α<)． 解：原式＝ ＋， 因为π<α<，所以<<. 所以cos<0，sin>0. 所以原式＝＋ ＝－＋＝－cos. 　　　三角恒等式的证明 [例3] 证明：tan －tan ＝. [思路点拨]　在要证明的题目中，既有，θ和2θ，还有，有切还有弦，可从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角θ，2θ配凑成，的形式，注意到：θ＝－，2θ＝＋. [证明]　右边＝＝ ＝ ＝－＝tan －tan ＝左边．所以等式成立． (1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为筒、左右归一． (2)三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式． ①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同． ②条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法． [变式训练] 3．求证：tan ＋tan ＝2tan 2α. 证明：方法一：左边＝tan · ＝tan 2α· ＝2tan 2α＝右边．故原等式成立． 方法二：左边＝＋ ＝＋＝ ＝＝2tan 2α＝右边．故原等式成立. 1．已知α∈，cos α＝，则tan ＝(　　) A．3　　　　　　　　 B．－3 C. D．－ 答案：D 2．(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝　________　. 答案：－ 4．已知sin＝，则cos2＝　________　. 答案： 5．已知tan θ＝，求的值． 解： ＝ ＝＝＝＝＝， 即＝. 1．计算：sin 105°cos 75°＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 答案：B 2．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝(　　) A. B.或不存在 C．2 D．2或不存在 答案：B 3．若α∈，＝tan ，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 4．已知x0是函数f(x)＝sin x＋2cos x的最大值点，则sin x0＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 5．(多选)已知cos α＝1＋sin α，则tan ＝(　　) A．0 B．不存在 C．－1 D．1 解析：AC　[cos α＝1＋sin α，即1－2sin2－1＝2cossin，即sin(sin＋cos)＝0，当sin＝0时，tan＝0，当sin≠0时，tan ＝－1.] 6．(多选)下列命题是真命题的有(　　) A．∃x∈R，sin2＋cos2＝ B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y C．∀x∈[0，π]，＝sin x D．sin x＝cos y⇒x＋y＝ 解析：BC　[因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．故选B、C.] 7．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°的值为　________　. 解析：原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°＝2cos 60°cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°＝cos 60°＝. 答案： 8．已知sin＝，则cos2 ＝　________　. 解析：因为cos＝sin ＝sin＝. 所以cos2＝＝＝. 答案： 9．已知cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，则sin的值为　__________　；cos的值为　________　. 解析：∵<α<π，∴<<.∵0<β<， ∴－<－β<0，－<－<0. ∴<α－<π，－<－β<. 又∵cos ＝－<0，sin＝>0， ∴<α－<π，0<－β<. ∴sin＝＝， cos＝＝. ∴cos＝cos ＝cos·cos＋ sinsin ＝×＋×＝. 答案：　 10．已知sin α＝－，且π＜α＜，求sin，cos ，tan的值． 解：∵sin α＝－，π＜α＜，∴cos α＝－. 又＜＜， ∴sin＝＝＝， cos＝－＝－＝－， tan ＝＝－2. 11．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求证： (1)sin αcos β＝5cos αsin β； (2)tan α＝5tan β. 证明：(1)sin(α＋β)＝， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝，① ∵sin(α－β)＝， ∴sin αcos β－cos αsin β＝，② ①＋②得sin αcos β＝， ①－②得cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝5cos αsin β. (2)由(1)得sin αcos β＝5cos αsin β， 两边同除以cos αcos β得． tan α＝5 tan β. 12．化简： (1)cos－tan·(1＋cos α)； (2). 解：(1)原式＝－sin α－·(1＋cos α) ＝－2sin α； (2)原式＝＝ ＝＝tan 2α. 13．已知0＜α＜＜β＜π，tan(2 023π＋α)＝， cos(β－α)＝. (1)求tan 的值； (2)求角β的值． 解：(1)∵tan(2 023π＋α)＝tan α＝＝， ∴2tan2＋3tan －2＝0， 解得tan ＝或－2. ∵0＜α＜，∴0＜＜， ∴tan ＝. (2)0＜α＜，tan α＝， 由 得cos α＝，sin α＝. ∵0＜α＜＜β＜π，cos(β－α)＝， ∴β－α∈(0，π)，∴sin(β－α)＝＝. ∴cos β＝cos(β－α＋α)＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－. ∵＜β＜π，∴β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $