第5章 5.5 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本高中数学讲义聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式，以两角和公式为基础，通过令α=β引导学生推导公式，构建从公式推导到给角求值、给值求值、化简证明的完整学习支架。 资料以情境引入激发探究，通过问题链引导学生自主推导公式，培养数学逻辑推理素养。例题与变式训练注重公式灵活应用，提升数学运算能力，课中助力教师引导学生深化理解，课后练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课程标准 素养解读 1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程 2．能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明 通过学习倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数学逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，你能得出什么结论？ 提示：sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α. cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α，即cos 2α＝cos2α－sin2α. tan(α＋α)＝＝，即tan 2α＝. [知识梳理] [知识点]　二倍角的正弦、余弦、正切公式　 函数 公式 α＝β 简记符号 正弦 sin 2α＝　2sin_αcos_α　 Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝　cos2α－sin2α　 ＝　2cos2α－1　 ＝　1－2sin2α　 C(α＋β) C2α 正切 tan 2α＝　　 T(α＋β) T2α 1.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗？ 提示：sin 2α，cos 2α中α为任意角，tan 2α中，2α≠kπ＋即a≠＋，k∈Z. 2．sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式中，2α是α的倍角，角α一定为具体角吗？如何理解倍角的含义呢？ 提示：角α不一定是具体角，也可为角的关系式，二倍角只是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍，2α＋是α＋的二倍． 3．你能用2α的余弦表示出sin 2 α、cos 2 α吗？ 提示：由cos 2α＝1－2sin 2α，得sin 2 α＝； 由cos 2α＝2cos 2 α－1，得cos 2 α＝. 4．2sin cos ，cos2－sin2，的结果分别是什么？对二倍角中的“二倍”你如何理解？ 提示：三式的结果分别是sin α，cos ，tan .二倍角中的“二倍”是相对的，只要公式中两个角是二倍的关系即可，并不限定为α，2α. [预习自测] 1．sin 105°cos 105°的值为(　　) A.　　 B．－　　　 C.　　 D．－ 答案：B 2．sin2－sin2＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 　　　给角求值 [例1] 求下列各式的值． (1)cos cos ； (2)－cos 2； (3)tan －. [思路点拨]　先分析式子结构特征，再变形运用公式求值． [解]　(1)原式＝ ＝＝＝＝. (2)原式＝－＝－cos ＝－. (3)原式＝＝ ＝－2· ＝＝－2. 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． [变式训练] 1．(1)sin cos＝　________　； (2)＝　________　. (3)已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝，则cos(2θ－15°)＝　________　. 解析：(1)原式＝＝＝. (2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－. (3)∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝，∴sin(θ＋15°)＝. ∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝， cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×－1＝－. ∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－×＋×＝. 答案：(1)　(2)－　(3) 　　　给值求值 [例2] 若cos ＝－，<x<，且x≠π.求的值． [思路点拨]　化简所求式，使其出现角，整体代入求解． [解]　 ＝ ＝ ＝sin 2x ＝sin 2xtan ＝cos tan ＝tan ， ∵<x<， ∴－<－x<－π. 又∵cos ＝－， ∴sin ＝，tan ＝－. ∴原式＝×＝－. 解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找己知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (3)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cos(－2x)＝cos[2(－x)] ＝2cos2(－π)－1＝1－2sin2(－x)； ②cos 2x＝sin(－2x)＝sin[2(－x)] ＝2sin(－x)cos(－x)． [变式训练] 2．(1)若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan 2β的值为　________　. (2)已知sin＝，0<x<，则的值为　________　. 解析：(1)由sin α＝，且α是第二象限角， 可得cos α＝－，所以tan α＝－， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝＝＝7， 所以tan 2β＝＝－. (2)∵0<x<，∴0<－x<. 又∵sin＝， ∴cos＝. ∵cos 2x＝sin ＝2sincos ＝2coscos ＝2coscos， ∴＝2cos＝. 答案：(1)－　(2) 　　　化简与证明 [例3] 化简：(1)－； (2). [思路点拨]　统一角，化倍角为单角.4α＝2×2α. [解]　(1)原式＝ ＝＝tan 2θ. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝. 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件． [变式训练] 3．求证：＝tan 2α. 证明：法一：左边＝ ＝ ＝＝tan 2α＝右边． 法二：左边＝ ＝ ＝＝tan 2α＝右边. 1．若θ∈，cos 2θ＝－，则sin θ＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案：B 2．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案：D 3.的值为　________　. 答案： 4.－＝　________　. 答案：－4 5．已知tan α＝2. (1)求tan的值； (2)求的值． 解：(1)tan ＝＝＝＝－3. (2) ＝ ＝ ＝ ＝＝1 1．若sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝(　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. 答案：A 2．若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 答案：D 3.＝7，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：C 4．已知sin α＋cos α＝，0≤α≤π，则sin的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：C 5．(多选)已知sin θ＝，则sin 2θ可能是(　　) A．－ B．－ C．－ D. 解析：AD　[∵sin θ＝，∴cos θ＝±，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝±.] 6．(多选)计算下列各式的值，其结果为2的有(　　) A．tan 15°＋tan 60° B.－ C．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°) D．4sin 18°sin 54° 解析：AC　[对于选项A：tan 15°＋tan 60°＝tan(45°－30°)＋＝＋＝2－＋＝2，故A正确；对于选项B：－＝＝＝＝4，故B错误；对于选项C：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＝2，故C正确；对于选项D：4sin 18°sin 54°＝4sin(90°－72°)sin(90°－36°)＝4cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝1，故D错误．] 7．若sin x＝－，则cos 2x＝　________　. 解析：因为sin x＝－， 所以cos 2x＝1－2sin2 x＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是　________　. 解析：f(x)＝＋sin 2x ＝sin＋， 当0≤x≤m时，≤2x＋≤2m＋. ∵f(x)在区间[0，m]上单调递增， ∴2m＋≤，得m≤.即m的最大值为. 答案： 9．函数f(x)＝sin－3cos x的最大值为　________　. 解析：∵f(x)＝sin－3cos x ＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1 ＝－22＋， ∴当cos x＝－时，f(x)max＝. 答案： 10．已知＜α＜π，sin α＝，求sin 2α，tan 4α. 解：∵＜α＜π且sin α＝， ∴cos α＝－＝－， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， 又cos 2α＝1－2sin2α＝，∴tan 2α＝＝－， ∴tan 4α＝＝＝－. 11．化简： (180°＜α＜360)°. 解：原式＝ ， ∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，故cos＜0， ∴原式＝ ＝cos2－sin2＝cos α. 12．设f(α)＝sinxα＋cosxα，x∈{n|n＝2k，k∈N*}，利用三角变换，计算当x＝4时，f(α)的取值范围是　________　，根据f(α)在x＝2,4,6时的取值情况，猜想当x＝2k(k∈N*)时，f(α)的取值范围是　________　. 解析：当x＝2时，f(α)＝sin2α＋cos2α＝1. 当x＝4时，f(α)＝sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－sin22α＝＋cos 4α， 因为－1≤cos 4α≤1，所以≤＋cos 4α≤1，所以当x＝4时，f(α)∈. 当x＝6时，f(α)＝sin6α＋cos6α ＝(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α) ＝(sin2α＋cos2α)[(sin2α＋cos2α)2－3sin2αcos2α] ＝1－3sin2αcos2α＝1－sin22α ＝＋cos 4α， 因为－1≤cos 4α≤1， 所以≤＋cos 4α≤1， 所以当x＝6时，f(α)∈. 由以上规律可以猜想：当x＝2k(k∈N*)时，f(α)的取值范围是(k∈N*)． 答案：　(k∈N*) 13．已知函数f(x)＝sin2x＋3cos2x＋sin 2x－2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求f(x)的值域； (3)已知θ为锐角，且f(θ)＝，求f(2θ)的值． 解：(1)f(x)＝＋3·＋sin 2x－2＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)当x∈时，2x＋∈， 所以sin∈， 所以f(x)的值域为[1,2]． (3)设α＝2θ＋∈，则f(θ)＝⇔sin＝⇔sin α＝， 由于＜，故α∈， 所以cos α＝－，所以sin 2α＝－，cos 2α＝， 故f(2θ)＝2sin＝2sin ＝2 ＝2×＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $