第5章 5.5 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

5．5　三角恒等变换

5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

[情境引入]

回顾三角函数的诱导公式：

(1)cos(π－α)＝cos π－cos α能否成立？

(2)cos＝coscos α＋sin sin α成立吗？

提示：(1)不成立．因为cos(π－α)＝－cos α，cos π－cos α＝－1－cos α，若cos(π－α)＝cos π－cos α，则－1＝0矛盾，故不成立．

(2)因为cos＝sin α，cos cos α＋sin sin α＝sin α.

所以cos＝cos cos α＋sin sin α成立．

[知识梳理]

[知识点]　两角差的余弦公式　

(1)公式：cos(α－β)＝　cos_αcos_β＋sin_αsin_β　.

①简记符号：Cα－β.

②适用条件：公式中的角α，β都是　任意角　.

(2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算．

(3)应用：①化简，②求值．

1.公式的结构特征是怎样的？

提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反．

2．如何利用该公式推导诱导公式cos＝sin α？

提示：cos＝cos cos α＋sin sin α＝0＋sin α＝sin α.

3．cos (α－β)与cos  α－cos  β相等吗？

提示：一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的时候．例如：当α＝0°，β＝60°时，cos (0°－60°)＝cos  0°－cos  60°.

[预习自测]

1．化简cos  65°cos  35°＋sin  65°sin  35°的结果是(　　)

A．cos  100°　　　　　 B．sin  100°

C.  D.

答案：C

2．下列式子中，正确的个数为(　　)

(1)cos (α－β)＝cos  α－cos  β；

(2)cos ＝－sin  α；

(3)cos (α－β)＝cos  αcos  β－sin  αsin  β

A．0个　　　　　 B．1个

C．2个  D．3个

答案：A

3．cos 65°·cos 125°＋cos 25°·sin 125°＝　________　.

答案：

　　　公式的正、逆用

[例1] 求下列各式的值：

(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；

(2)cos 15°＋sin 15°.

[思路点拨]　(1)sin 195°＝sin(180°＋15°)＝－sin 15°；(2)＝cos 60°，＝sin 60°.

[解]　(1)原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.

(2)原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos 45°＝.

(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后用公式直接求值．

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．

(3)公式C(α－β)的结构特点

①同名函数相乘，即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．

②把所得的积相加．

[变式训练]

1．求cos  105°＋sin  195°的值．

解：原式＝cos  105°＋sin (90°＋105°)

＝cos  105°＋cos  105°

＝2cos  105°＝2cos  (135°－30°)

＝2(cos  135°cos  30°＋sin  135°sin  30°)

＝2＝.

　　　给值求值问题

[例2] (1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值；

(2)已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．

[思路点拨]　寻找要求角与已知角之间的关系．

[解]　(1)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，

∴sin θ＝，

又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.

∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，

∴sin φ＝－，

∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ

＝×＋×＝.

(2)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.