第5章 5.2 5.2.1 第1课时 三角函数的概念-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“三角函数的概念”核心知识点，从初中锐角三角函数出发，借助单位圆交点坐标推广至任意角，系统梳理正弦、余弦、正切的单位圆定义及终边上点的坐标定义，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境引入激发思考，如通过锐角终边与单位圆交点坐标设问，引导学生抽象出任意角三角函数定义，培养数学抽象素养。结合单位圆直观图示与例题分类讨论（如参数a正负对终边位置的影响），提升直观想象能力。课中助力教师引导学生构建概念，课后通过预习自测和分层练习，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5．2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 第1课时　三角函数的概念 课程标准 素养解读 借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观想象和数学抽象素养 [情境引入] 1．如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：sin α＝y，cos ＝x，tan α＝(x≠0) 2．继续探究：如果角α的终边落在y轴上，这时其终边与单位圆的交点坐标是什么？sin α，cos α，tan α的值是否还存在？ 提示：终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0，－1)，这时tan α的值不存在，因为分母不能为零，但sin α，cos α的值仍然存在． [知识梳理] [知识点一]　利用单位圆定义任意角的三角函数　 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，如图所示． ①把点P的纵坐标y叫做α的　正弦函数　(sine function)，记作sin α，即y＝　sin_α　； ②把点P的横坐标x叫做α的　余弦函数　(cosin efunction)，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的　正切　，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．称为正切函数(tangent function)． 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为　三角函数　(trigonometric function)，通常将它们记为： 正弦函数y＝　sin_x　，x∈R； 余弦函数y＝　cos x　，x∈R； 正切函数y＝　tan x　，x≠＋kπ(k∈Z))． 1.什么是单位圆？ 提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆． [知识点二]　利用角α终边上一点的坐标定义三角函数　 如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝　　，cos α＝　　，tan α＝　　. 其中r＝. 2.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别是什么？ 提示：α终边在x轴非负半轴时，sin α＝0， cos α＝1，tan α＝0； α终边在y轴非负半轴时，sin α＝1，cos α＝0， tan α不存在； α终边在x轴非正半轴时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0； α终边在y轴非正半轴时，sin α＝－1，cos α＝0，tan α不存在． 3．对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [预习自测] 1．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－1,3)，则sin α＋2cos α＝(　　) A．－　　　　　 B．－ C. D. 答案：C 2．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案：B 3．sin 510°＝　________　. 答案： 　　　利用单位圆求三角函数值 [例1] 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　 B．－　　　 C.　　　 D. [思路点拨]　依三角函数的定义求解． [解析]　∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和， 故由定义知sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×＝－. [答案]　B 单位圆法求三角函数的定义时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)． (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y； cos α＝x；tan α＝(x≠0)． [变式训练] 1．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[∵点P在单位圆上，则|OP|＝1. 即＝1，解得a＝±. ∵a<0，∴a＝－. ∴P点的坐标为. ∴sin α＝－，cos α＝. ∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.] 　　　坐标法求三角函数值 [例2] 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． [思路点拨]　根据点P的坐标，求出点P到原点O的距离|OP|，再根据定义求出sin α，cos α的值，计算时要注意讨论a的正负． [解]　因为点P的坐标为(－3a,4a)(a≠0)，原点为O， 所以r＝|OP|＝＝5|a|. ⅰ.当a>0时，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ⅱ.当a<0时，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 2．(多选)已知角α的终边上一点P的坐标为(－1，)，则(　　) A．α为第四象限角 B．sin α＝ C．cos α＝－ D．tan α＝ 解析：BC　[由题意得α为第二象限角，sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝－.] 　　　三角函数概念的综合应用 [例3] 已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨]　注意讨论角的终边所在象限． [解]　法一：(单位圆)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得 ①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x1＝， sin α＝y1＝，tan α＝＝2. ②当角α的终边在第三象限时， cos α＝x2＝－，sin α＝y2＝－， tan α＝＝2. 法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0) 则r＝＝|t|. ①若t>0时，则r＝t，从而sin α＝＝， cos α＝＝，tan α＝＝2. ②若t<0，则r＝－t， 从而sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝2. 已知角α的终边在直线(或射线)上的问题时，常用的解题方法有以下两种： 解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值． 解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)， 第二步，计算r：r＝|OP|＝， 第三步，求值：由sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)求值． [变式训练] 3．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝　________　. 解析：因为y＝3x，sin α<0，所以点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m. 所以OP＝＝|m|＝－m＝. 所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2. 答案：2 1．已知角α的终边经过点(m，－5)，cos α＝，则tan α＝(　　) A．±　 B．±　 C．－　 D．－ 答案：C 2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(1，x)，且sin α＝，则x＝(　　) A．± B. C. D. 答案：B 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝　________　. 答案：－8 4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是　________　. 答案：－2<a≤3 5．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α·cos α的值． 解：根据三角函数的定义，tan α＝＝－，所以a＝－12，所以P(5，－12)，r＝13，所以sin α＝－，cos α＝，从而sin α·cos α＝－. 1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(　　) A.　　 B.　　 C．－　　 D．－ 答案：D 2．已知点P(m,1)是角α终边上的一点，且sin α＝，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．－2或2 D．－2或2 答案：D 3．在直角坐标系xOy中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x轴正半轴的交点P0为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每5 s转一圈，则2 s后P0P的长为(　　) A．2sin B．2 cos C．4sin D．4cos 答案：C 4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 答案：B 5．(多选)若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α＝(　　) A．－ B．± C. D．± 解析：AC　[在α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.] 6．(多选)有下列说法，其中错误的是(　　) A．终边相同的角的同名三角函数值相等 B．同名三角函数值相等的角也相等 C．终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等 D．不相等的角，同名三角函数值也不相等 解析：BCD　[对于A，由诱导公式一可知正确；对于B，sin 30°＝sin 150°＝，但30°≠150°，所以B错误；对于C，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝，所以C错误；对于D，由C中的例子可知D错误．] 7．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是　________　. 解析：由题意，得tan 420°＝－，即tan 60°＝－，解得a＝－4. 答案：－4 8．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝　________　. 解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12. ∴r＝＝13. ∴sin α＝－，cos α＝. ∴sin α＋cos α＝－. 答案：－ 9．角α的终边经过点P(x,4)，且cos α＝，则x＝　________　，sin α＝　________　. 解析：由题意，得＝，解得x＝0或x＝±3.当x＝0时，sin α＝1；当x＝±3时，sin α＝. 答案：0或±3　或1 10．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边经过点P(4，－3)，求sin α，cos α，tan α. 解：由x＝4，y＝－3，得 r＝|OP|＝＝5. 故sin α＝＝－，cos α＝，tan α＝＝－. 11．已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值． 解：在直线y＝2x上任取一点P(x,2x)(x≠0)， 则r＝＝|x|. ①若x＞0，则r＝x，从而sin α＝＝， cos α＝＝，∴cos α＋sin α＝. ②若x＜0，则r＝－x，从而sin α＝＝－，cos α＝＝－，∴cos α＋sin α＝－. 12．已知角α的终边上一点P(m，－)(m≠0)，且cos α＝. (1)求m的值； (2)求sin α和tan α. 解：(1)由题设知r＝|OP|＝＝(O为坐标原点)，因此cos α＝＝， ∴2＝，解得m＝±. (2)当m＝时，sin α＝－，tan α＝－. 当m＝－时，sin α＝－，tan α＝. 13．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 解：设点M的坐标为(x1，y1)． 由题意，可知sin α＝－，即y1＝－. 因为点M在圆x2＋y2＝1上， 所以x＋y＝1， 即x＋2＝1， 解得x1＝或－. 所以cos α＝，tan α＝－1， 或cos α＝－，tan α＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $