第5章 5.1 5.1.2 弧度制-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学弧度制核心知识点，系统梳理从角度制到弧度制的过渡，涵盖弧度定义、角度与弧度互化及扇形弧长面积公式。通过情境引入、提示问题、例题变式等学习支架，帮助学生构建知识体系。 资料以纸扇设计情境引入，激发学生用数学眼光观察现实，通过提示问题引导数学思维，结合扇形窗子面积、玉佩图形分析等实例，培养直观想象与应用意识。课中助力互动教学，课后练习题分层设计，帮助学生查漏补缺。

5．1.2　弧度制 课程标准 素养解读 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 2．体会引入弧度制的必要性 3．理解弧度制下弧长与面积公式 通过学习弧度制的有关概念及表示，重点培养学生的数学抽象、直观想象素养 [情境引入] 炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度． [知识梳理] [知识点一]　度量角的单位制　 1．角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定周角的　　等于1度，记作1°. 2．弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于　半径长　的弧所对的　圆心角　叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度． 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制． (2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个　正数　；负角的弧度数是一个　负数　；零角的弧度数是　0　. (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　. 1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．所以1弧度的角的大小与圆的半径无关． [知识点二]　角度与弧度的换算　 1．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝　2π　 rad 2π rad＝　360°　 180°＝　π　rad π rad＝　180°　 1°＝　　 rad ≈　0.017_45　 rad 1 rad＝　°　 ≈　57.30°　 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧 度 0 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧 度 π 2π 2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意π rad＝180°，用这个公式进行互化即可． 3．－30°转化为弧度是多少弧度？转化为角度是多少度？ 提示：－　120°. [知识点三]　扇形的弧长及面积公式　 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(n°)，则 　　　度量单位 类别　　　 n为角度制 (0°<n°<360°) α为弧度制 (0<α<2π) 扇形的弧长 l＝　　 l＝　αR　 扇形的面积 S＝　　 S＝　lR　＝　αR2　 4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公式中有四个量α、R、l、S，根据公式已知几个量可以求其他量呢？ 提示：知二求二． 5．你认为式子|α|＝中，比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的． [预习自测] 1．下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有1弧度的圆心角所对的孤长都相等 D．用孤度表示的角都是正角 答案：A 2．下列各式正确的是(　　) A．π＝180　　　　　　　 B．π＝3.14 C．90°＝ rad D．1 rad＝π 答案：C 3．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为　________　，扇形的面积为　________　. 答案：　 　　　角度制与弧度制的换算 [例1] (1)把202°30′化成弧度； (2)把－π化成角度； (3)已知α＝15°，β＝，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小． [思路点拨]　第(1)(2)小题可直接利用1°＝ rad，1 rad＝°进行转化，第(3)小题可先统一单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为弧度，再根据实数大小进行比较． [解]　(1)202°30′＝202.5°＝×＝π. (2)－π＝－°＝－75°. (3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝， θ＝105°＝105×＝. 显然<<1<.故α<β<γ<θ＝φ. 方法二(化为角度)： β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝×°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ. 1．角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系． (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同． (3)牢记180°＝π rad，充分利用其进行角度制与弧度制互化． (4)角度的单位“∘”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略． (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住“π＝180°”这一关系，由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数，同时还要牢记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系． 3．将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用“1°＝ rad”化为弧度即可． [变式训练] 1．(多选)下列角度制与孤度制的互化，正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D.化成角度是15° 解析：ABD　[对于A,67°30′＝67.5×＝，选项A正确；对于B，－＝－×°＝－600°，选项B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，选项C错误；对于D，＝×°＝15°，选项D正确．] 　　　用弧度制表示任意角 [例2] 用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合． [思路点拨]　先表示出终边在x轴、y轴上的角的集合，再求它们的并集． [解]　角的终边在x轴上的角的集合为，角的终边在y轴上的角的集合为， ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 {α|α＝kπ，k∈Z}∪ ＝∪ ＝. 1．弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧度制，求象限角、区域角也然．难点是区间合并时，要作到准确无误．如本题中，前一集合是以的偶数倍表示，后一集合是以的奇数倍表示，两者合并，即用的整数倍表示． 2．用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)还要注意角度制与弧度制不能混用． [变式训练] 2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，－180°]内找出与它们终边相同的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋. 故α1＝－，α2＝，α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝＝×180°＝108°， β2＝－＝－×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)， θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 令－720°≤θ1≤－180°，－720°≤θ2≤－180°， 即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z)， －720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z)， 得k1＝－2或k1＝－1，k2＝－1. 故在[－720°，－180°]内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°. 　　　扇形的弧长公式及面积公式 [例3] 已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积． [思路点拨]　利用弧长公式和面积公式直接求解． [解]　(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝， 所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝. (2)由(1)得扇形的面积S＝××＝. 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． [变式训练] 3．已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l. (1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 解：(1)因为α＝100°＝100×＝， 所以扇形的面积S＝lr＝αr2＝××4＝. (2)由题意可知l＋2r＝20，即l＝20－20r， 所以扇形的面积S＝lr＝(20－2r)·r ＝－(r－5)2＋25， 易知当r＝5时，扇形的面积最大，最大值为25， 此时l＝20－2×5＝10，α＝＝＝2. 1．已知α＝－3 rad.则α是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 2．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径(图②)AO＝80 cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为(　　) 图①　　　　　　　图② A．108 000 cm2 B．108 000π cm2 C．600π cm2 D．600 cm2 答案：C 3．角是第　________　象限角． 答案：一 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为　________　；弦AB的长为　______　. 答案：2　2sin 1 5．已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 1．把50°化为弧度为(　　) A．50　　 B.　　　 C.　　　 D. 答案：B 2．现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为(　　) A．－ B. C. D. 答案：D 3．已知半径为3的圆弧所对的圆心角为，则该圆弧所在的扇形面积为(　　) A.π B. C. D. 答案：D 4．已知集合M＝，N＝，则有(　　) A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝∅ 答案：C 5．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．45°＋2kπ(k∈Z) B.＋k·360°(k∈Z) C．－315°＋k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) 解析：CD　[对于A，B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．对于C，＝4π－，则角与－的终边相同，且－化角度制为－315°，则角－315°与的终边相同，故－315°＋k·360°(k∈Z)是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对于D，由＝2π＋，得与的终边相同，则与终边相同的角可以写成＋2kπ(k∈Z)的形式，故D正确．] 6．(多选)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图①所示，其平面图形可以看成扇形的一部分(如图②)，已知AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，则(　　) A．∠ABC＝ B．弧AD的长为 C．该平面图形的周长为6＋ D．该平面图形的面积为－ 解析：ACD　[如图，分别延长AB与DC交于点O， 易得△AOD∽△BOC，得＝＝＝，又AB＝CD＝2，故AO＝DO＝4，所以△AOD为等边三角形，∠BOC＝∠OBC＝∠BAD＝，所以∠ABC＝，得l＝AO·∠BOC＝，该平面图形的周长为6＋，面积为－×2×＝－.] 7．已知α＝30°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为　________　. 解析：(化为弧度)：α＝30°＝30×＝，θ＝105° ＝105×＝. 显然＜＜1＜＜，故α＜β＜γ＜θ＜φ. 答案：α＜β＜γ＜θ＜φ 8．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为　________　. 解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)． 答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z} 9．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为　________　；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为　________　. 解析：设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2r，∴|θ|＝＝2；又圆内接正方形的边长为r，圆弧长为4r，∴|θ|＝＝4. 答案：2　4 10．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式： (1)；(2)－315°. 解：(1)因为0≤＜2π，所以＝4π＋. (2)－315°＝－315×＝－＝－2π＋. 因为0≤＜2π，所以－315°＝－2π＋. 11．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小； (2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝. (2)α＝，所以l＝αr＝， S扇形＝lr＝××10＝. 又因为S△AOB＝×10×10×＝25， 所以S＝S扇形－S△AOB＝－25 ＝50. 12．已知α＝1 690°， (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋π＜4π. 解得－＜k＜(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1. ∴θ的值是－π，－π，π，π. 13．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数． (2)一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 解：(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ，则l＋2r＝20，∴l＝20－2r. 又∵lr＝9，即(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0， 即(r－1)(r－9)＝0，∴r1＝1，r2＝9. 当r＝1时，l＝18，则θ＝＝18＞2π(舍去)，当r＝9时，l＝2，则θ＝＝，即扇形圆心角的弧度数为. (2)设扇形的半径为r cm，则弧长为l＝(20－2r)cm. 由0＜l＜2πr，得0＜20－2r＜2πr，∴＜r＜10. 于是扇形的面积为S＝(20－2r)r ＝－(r－5)2＋25. 当r＝5时，l＝10，α＝2，S取到最大值，此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $