第4章 4.3 4.3.1 对数的概念-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“对数的概念”核心知识点，从细胞分裂的指数问题引入，抽象出对数定义，系统梳理与指数式的互化关系，明确底数、真数的规定及性质（真数大于0、1的对数为0等），构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境引入激发兴趣，通过细胞分裂问题培养数学抽象；对底数规定的详细逻辑解释提升逻辑推理；例题与变式训练强化数学运算。课中辅助教师引导探究，课后自测和练习助力学生巩固，有效查漏补缺。

4．3　对数 4．3.1　对数的概念 课程标准 素养解读 1.通过实际问题，理解对数的概念 2．利用对数、指数关系，求对数值 通过对对数概念的理解，培养学生数学抽象，逻辑推理素养 [情境引入] 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推．回答下列问题： 1．1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？ 提示：分裂2次得到4个细胞，分裂x次得到2x个细胞． 2．分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？ 提示：设分裂x次可得到8个，即2x＝8＝23，故x＝3，所以分裂3次可得到8个，同理由2x＝16可得x＝4…… 3．若ax＝N，如何表示x呢？ 提示：x＝logaN. [知识梳理] [知识点一]　对数的概念　 1．对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做　以a为底N的对数　，记作x＝　logaN　，其中a叫做对数的　底数　，N叫做　真数　. 2．常用对数：通常将以　10　为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为　lg_N　. 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以　e　为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为　ln_N　. 1.对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？ 提示：(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则 ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则 ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 2．式子logmN中，底数m的范围是什么？ 提示：m>0且m≠1. 3．对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． [知识点二]　对数式与指数式的互化　 当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝　logaN　. 4.对数与指数的关系是什么？ 提示：指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)： (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键． [知识点三]　对数的性质　 1．　0和负数　没有对数，即logaN中　N>0　. 2．1的对数等于　0　，即　loga1＝0　. 3．底数的对数等于　1　，即　logaa＝1　(a>0，且a≠1)． 4．对数恒等式：＝　N　. 5.你能否推导出对数的性质？ 提示：因为a0＝1，所以loga1＝0； 因为a1＝a，所以logaa＝1. 6．对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？ 提示：指数的底数与对数的底数相等． [预习自测] 1．有下列说法：(　　) ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．0　　　 D．4 答案：C 2．3b＝2 026化为对数式是(　　) A．logb3＝2 026　　　　 B．log32 026＝b C．log2 026b＝3 D．log2 0263＝b 答案：B 3．已知logx＝－4，则x＝　________　. 答案：2 　　　指数式与对数式的互化 [例1] 将下面的(1)(2)(3)化为指数式，(4)(5)(6)化成对数式，并求出x值． [思路点拨]　直接利用对数的定义进行指数式与对数式的互化． [解]　(1)∵＝x，∴x＝27，∴x＝－3. (2)∵logx＝6，∴()6＝x，∴x＝27. (3)∵logx64＝－6，∴x－6＝64，∴x＝. (4)∵5x＝625，∴x＝log5625，∴x＝4. (5)∵x－2＝，∴－2＝logx，∴x＝3. (6)∵－2＝x，∴－2＝，∴x＝16. 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式： 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [变式训练] 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)3－2＝； (2)－2＝16； 解：(1)∵3－2＝，∴log3＝－2. 　　　对数的计算 [例2] 求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－；　　(2)logx8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. [思路点拨]　根据指数式与对数式的互化直接求解． 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． [变式训练] 2．求下列各式中的x值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27. 　　　对数性质的应用 [例3] 求下列各式中的x值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log2(lg x)＝1； (3)log(－1)(＋1)＝x. [思路点拨]　利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． [解]　(1)由log2(log5x)＝0，得log5x＝20＝1， 故x＝51＝5. (2)由log2(lg x)＝1，得lg x＝2，故x＝102＝100. (3) ∴(－1)x＝＋1＝＝(－1)－1. ∴x＝－1. 有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．当有多层对数时，应由外往里求解． [变式训练] 3．求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 解：(1)log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. (2)由已知lg x＝3，∴x＝103＝1 000. ∴(－1)x＝＝＝－1. ∴x＝1. 　　　利用对数的结论及恒等式求值 [例4] 求值： [思路点拨]　利用对数恒等式求值． 对于此类题目，首先要结合对数恒等式将原式化简，化成能利用对数恒等式的形式，然后再进行求值．在化简变形中灵活运用指数幂运算性质． (1)应用对数恒等式要注意格式： ①它们是同底的； ②指数中含有对数形式； ③其值为对数的真数，且大于0. (2)合理利用对数、指数的运算法则，化为相同底数． [变式训练] 1．已知2a＝3，log45＝b，则2a－2b的值为(　　) A．15　　 B.　　　 C.　　 D．－2 答案：D 2．(多选)有以下四个结论，其中正确的有(　　) A．lg(lg 10)＝0 B．lg(ln e)＝0 C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln(lg 1)＝0 答案：AB 3．lg 10 000＝　________　；lg 0.001＝　________　. 答案：4　－3 4．已知log2[log3(log5x)]＝0，则x＝　________　. 答案：125 5．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·的值． 解：因为log2(log3(log4x)＝0， 所以log3(log4x)＝1， 即log4x＝3，所以x＝43＝64，同理y＝16， 1．2－3＝化为对数式为(　　) 答案：C 答案：B 3．已知logx16＝2，则x等于(　　) A．4 B．±4 C．256 D．2 答案：A 4．的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 5．(多选)有下列说法正确的有(　　) A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 解析：ACD　[ACD正确，B不正确，只有a>0且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．] 6．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) 解析：ACD　[log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A，C，D正确．] 7．若log(a－1)(5－a)有意义，则实数a的取值范围是　________　. 解析：要使log(a－1)(5－a)有意义，则即解得1＜a＜2或2＜a＜5，故实数a的取值范围是(1,2)∪(2,5)． 答案：(1,2)∪(2,5) 9．若a＝lg 2，b＝lg 3，则10a＋2b的值为　________　，的值为　________　. 解析：∵a＝lg 2.∴10a＝2.∵b＝lg 3，∴10b＝3， ∴10a＋2b＝10a×(10b)2＝2×32＝18， ＝＝. 答案：18　 10．将下列指数式与对数式互化： 解：(1)log2＝－2. (2)lg 100＝2. (3)ln 16＝a. (4)log64＝－. (5)32＝9. (6)xz＝y. 11．求下列各式中的x： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)logx(3＋2)＝－2； (4)log5(log2x)＝0. 12．求下列各式中x的取值范围： (1)log2(x－10)； (2)log(x－1)(x＋2)； (3)log(x＋1)(x－1)2. 解：(1)由题意知x－10＞0， ∴x＞10. (2)由题意知 即 ∴x＞1，且x≠2. (3)由题意知 解得x＞－1且x≠0，且x≠1. 13．解下列关于x的方程： (1)log2(2x＋1)＝log2(3x)； (2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)． 解：(1)由log2(2x＋1)＝log2(3x)，得2x＋1＝3x，解得x＝1.检验：当x＝1时，2x＋1＞0,3x＞0.故x＝1. (2)由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得2x＋1＝x2－2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. 检验：当x＝－1时，2x＋1＜0，x2－2＜0，不满足真数大于0，舍去；当x＝3时，2x＋1＞0，x2－2＞0，故x＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $