第3章 3.2 3.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数的最大值与最小值核心知识点，系统梳理定义、几何意义及图象法、单调性法、二次函数分类讨论、实际应用等求法，前承函数单调性，后为复杂函数最值学习奠基，构建完整知识支架。 该资料通过图象观察情境引入培养数学眼光，单调性证明与分类讨论发展数学思维，实际问题建模提升数学语言表达。课中例题与变式助教师高效教学，课后练习供学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　函数的最大值、最小值 课程标准 素养解读 1.理解函数的最大(最小)值及几何意义 2．利用单调性求最值、比较大小、解不等式 在运用函数单调性充要条件过程中，提升数学运算和逻辑推理素养 [情境引入] 观察下列两个函数的图象，回答有关问题： (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ 提示：图①中函数y＝－x2的图象上有一个最高点；图②中函数y＝－x的图象上没有最高点． (2)通过观察图①你能发现什么？ 提示：对任意x∈R，都有f(x)≤f(0)． [知识梳理] [知识点一]　函数的最大值与最小值　 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)　≤　M f(x)　≥　M ∃x0∈I，使得　f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的　纵坐标　 f(x)图象上最低点的　纵坐标　 　如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？ 提示：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值． [知识点二]　对函数最大(小)值的理解　 (1)注意对“存在”一词的理解．M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0. (2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说每一个值都满足不等式． (3)两条缺一不可，若只有(1)，M不一定是最大(小)值．如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是其最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了，故不能只有(1)．同样，只有(2)时，M也不一定是最大(小)值，最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(f(x)≥M)，故不能只有(2)． [预习自测] 1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0　　　　　 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 答案：C 2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是(　　) A．－ B．－1 C. D．3 答案：C 3．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝　________　. 答案：4 　　　图象法求函数的最值 [例1] 求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． [思路点拨]　去掉绝对值，转化为分段函数，再作出函数图象，由图象求最值． [解]　y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. (1)利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用． (2)分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值． [变式训练] 1．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值． 解：f(x)的图象如图所示， f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1. 　　　利用函数单调性求最值 [例2] (1)若0＜t≤，则f(t)＝－t的最小值是(　　) A．－2　　 B.　　 C．2　　 D．0 (2)利用单调性定义证明函数f(x)＝x＋在[1,2]上的单调性并求其最值． [思路点拨]　(1)函数f(t)＝－t的图象不易作出．可判断其在所给区间上的单调性来求最小值． (2)可考虑利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值． [解析]　(1)B　[任取t1，t2∈，且t1＜t2，则f(t1)－f(t2)＝－ ＝－(t1－t2) ＝－(t1－t2)＝(t2－t1)， 因为t1，t2∈，且t1＜t2， 故t2－t1＞0，＞0， 故f(t1)－f(t2)＞0，即f(t1)＞f(t2)，故f(t)＝－t在上为减函数，当t＝时，f(t)有最小值，故选B.] (2)任取x1，x2∈[1,2]且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)， ∵1≤x1＜x2≤2，∴x1－x2＜0,1＜x1x2＜4， ∴x1x2－4＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝x＋在[1,2]上是减函数． 从而函数的最大值是f(1)＝1＋4＝5，最小值是f(2)＝2＋2＝4. (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)利用单调性求最值的三个常用结论 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． ②如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． ③如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝，x∈[1,2]． (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值与最小值． 解：(1)函数f(x)＝在区间[1,2]上是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈[1,2]且x1 ＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 因为x1，x2∈[1,2]且x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)＝是[1,2]上的减函数． (2)由(1)知f(x)＝是[1,2]上的减函数， 所以f(x)min＝f(2)＝， f(x)max＝f(1)＝. 　　　二次函数的最值 [例3] 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [思路点拨]　解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值． [解]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. ①当a<0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1. ④当a>2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间上的单调性． (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系．若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合．本题是轴动区间定．对于定轴动区间最值问题，同样要就轴与区间的关系进行讨论． (3)二次函数在闭区间上的最值，如二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论： 对称轴x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值 h＜m f(n) f(m) h＞n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜ f(n) f(h) h＝ f(m)或f(n) f(h) ＜h≤n f(m) f(h) [变式训练] 3．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围； (3)若x∈[t，t＋2]，试求y＝f(x)的最小值． 解：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)， ∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1. 又f(x)的最小值为1. ∴设f(x)＝k(x－1)2＋1(k≠0)． 又f(0)＝3，∴k＝2. ∴f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， 则2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜. 故实数a的取值范围是. (3)由(1)知，y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝1. 若t≥1，则y＝f(x)在[t，t＋2]上单调递增， ymin＝2t2－4t＋3； 若t＋2≤1，即t≤－1，则y＝f(x)在[t，t＋2]上单调递减，ymin＝f(t＋2)＝2t2＋4t＋3； 若t＜1＜t＋2，即－1＜t＜1，则ymin＝f(1)＝1. 综上，当t≥1时，ymin＝2t2－4t＋3； 当－1＜t＜1时，ymin＝1； 当t≤－1时，ymin＝2t2＋4t＋3. 　　　实际应用中的最值问题 [例4] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) [思路点拨] (1)f(x)＝ (2)分段分别求最值． [解]　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时， f(x)＝－(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000. 当x>400时， f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 解实际应用问题的5个步骤 (1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系． (2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数． (3)列：根据已知条件列出正确的数量关系． (4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式， (5)答：回归实际，明确答案，得出结论． [变式训练] 4．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大值为9 000元. 1．已知函数f(x)的定义域为R，有以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 答案：C 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，－2] D．[1,2] 答案：D 3．函数f(x)＝的单调递减区间为　______　. 答案：(－1,3) 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为　________　 m. 答案：20 5．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：任取2≤x1<x2≤5， 则f(x2)－f(x1)＝－＝. 因为2≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0. 所以f(x2)－f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1)． 所以f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f(x)max＝f(2)＝＝2， f(x)min＝f(5)＝＝. 1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2)　　　　　　 B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 答案：C 2．若一次函数y＝kx＋5在[－1,2]上的最小值和最大值分别为－1和8，则k的值是(　　) A．6　　　 B．3　　　 C．－3　　　 D．－4 答案：C 3．函数f(x)＝x＋，x∈[1,2](　　) A．有最大值5，无最小值 B．有最小值4，无最大值 C．有最大值5，最小值4 D．无最大值和最小值 答案：C 4．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，x∈N*.若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为(　　) A．18件 B．36件 C．22件 D．9件 答案：A 5．(多选)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1]上单调递减，则函数g(x)＝在区间(0,1]上一定(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．单调递增 D．单调递减 解析：BD　[二次函数f(x)＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1]上单调递减，所以a≥1.g(x)＝x＋－2a，该函数在(0，)上单调递减，而a≥1，所以当x∈(0,1]时，函数g(x)单调递减，且有最小值，为g(1)＝1－a.] 6．(多选)已知函数f(x)＝(m∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．当m＝0时，函数最大值为1 B．当m＝1时，函数最大值为0 C．若f(x)存在最大值，则m≥ D．∀m∈R，f(x)在(－1，＋∞)上不可能单调递减 解析：BC　[A选项，当m＝0时，y＝－2x＋1在(0，＋∞)上单调递减，故y＝－2x＋1＜1； y＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递增，在[－1,0]上单调递减， 故y＝－(x＋1)2≤－(－1＋1)2＝0，所以当m＝0时，函数最大值不存在，故A错误；B选项，当m＝1时，y＝－2x＋1在(1，＋∞)上单调递减，故y＝－2x＋1＜－1； y＝－(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递增，在[－1,1]上单调递减， 故y＝－(x＋1)2≤－(－1＋1)2＝0，所以当m＝1时，函数最大值为0，故B正确；C选项，因为y＝－2x＋1在(m，＋∞)上单调递减，所以y＝－2x＋1＜1－2m； 若m≤－1，则y＝－(x＋1)2在(－∞，m]上单调递增，则y＝－(x＋1)2≤－(m＋1)2. 因为m≤－1，所以1－2m＞0≥－(m＋1)2，此时f(x)无最大值； 若m＞－1，则y＝－(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，m]上单调递减， 则y＝－(x＋1)2≤0，要使f(x)存在最大值，则1－2m≤0，解得m≥，故C正确；D选项，注意到当m＝－1，x＞m＝－1时，f(x)＝－2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，故D错误．] 7．函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是　________　. 解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，所以f(x)max＝f(2)＝， f(x)min＝f(1)＝1. 答案：，1 8．已知函数f(x)＝－x2－4x＋2在[m,0]上的值域为[2,6]，则m的取值范围是　________　. 解析：二次函数f(x)＝－x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝－2，f(x)在[m,0]上的值域为[2,6]，f(0)＝f(－4)＝2，f(－2)＝6，由图可知m∈[－4，－2]． 答案：[－4，－2] 9．已知二次函数f(x)＝－x2＋x，如果存在实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m,3n]，那么m＝　________　，n＝　________　. 解析：根据题意，得二次函数f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋图象的对称轴为直线x＝1，最大值为. ①当m<n≤1时，f(x)在[m，n]上单调递增， 则 解得m＝－4，n＝0，此时m＋n＝－4； ②当m<1<n时，f(x)的最大值为f(1)＝＝3n，解得n＝，与m<1<n矛盾，不符合题意； ③当1≤m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减， 若f(x)的值域为[3m,3n]，则必有3n≤，解得n≤，不符合题意．故m＝－4，n＝0. 答案：－4　0 10．已知函数f(x)＝，x∈[2,5]． (1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：(1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数． 证明如下：任意取x1，x2∈[2,5]且x1＜x2， 则f(x1)＝，f(x2)＝. f(x2)－f(x1)＝－ ＝. ∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数． (2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是单调递减的，故任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)， ∴f(x)max＝f(2)＝＝2. f(x)min＝f(5)＝＝. 11．在①∀x∈[－2,2]；②∃x∈[1,3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题． 已知函数f(x)＝x2＋ax＋4. (1)当a＝－2时，求f(x)在[－2,2]上的取值范围； (2)若　________　，f(x)≥0，求实数a的取值范围． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，则f(x)在[－2,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f(1)＝3，f(x)在[－2,2]上的最大值为max{f(－2)，f(2)}＝max{12,4}＝12， ∴f(x)在[－2,2]上的取值范围为[3,12]． (2)选择条件①： 当－≤－2，即a≥4时，f(x)在[－2,2]上单调递增， ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，又a≥4，∴a＝4； 当－2＜－＜2，即－4＜a＜4时， f(x)在上单调递减， 在上单调递增， ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f＝4－≥0， 解得－4≤a≤4，又－4＜a＜4，∴－4＜a＜4. 当－≥2，即a≤－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4，又≤－4，∴a＝－4. 综上所述，实数a的取值范围是[－4,4]． 选择条件②： ∵∃x∈[1,3]，f(x)≥0， ∴当x∈[1,3]时，f(x)max≥0， 即max{f(1)，f(3)}≥0， ∴f(1)≥0或f(3)≥0，解得a≥－5或a≥－. ∴a≥－5，即实数a的取值范围是[－5，＋∞)． 12．对于定义域为I的函数，如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足下列两个条件： ①f(x)在区间[m，n]上是单调的； ②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y＝f(x)的一个“黄金区间”．如果[m，n]是函数f(x)＝(a≠0)的一个“黄金区间”，则n－m的最大值为(　　) A. B．1 C. D．2 解析：C　[由题意，f(x)＝＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，而函数f(x)在“黄金区间”[m，n]上单调，所以[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，且f(x)在[m，n]上单调递增，故即m，n为方程－＝x的两个同号实数根， 即方程a2x2－(a2＋a)x＋1＝0有两个同号的实数根，因为mn＝＞0，所以只需要Δ＝(a2＋a)2－4a2＞0⇔a＜－3或a＞1， 又所以n－m＝＝＝，则当a＝3时，n－m有最大值.] 13．已知函数f(x)＝，且满足f(0)＝0，f(1)＝. (1)判断f(x)在[－2,2]上的单调性，并用定义证明； (2)设g(x)＝kx2＋2kx＋1(k≠0)，若对任意的x1∈[－2,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝满足f(0)＝0，f(1)＝， 可得解得 则f(x)＝. f(x)在[－2,2]上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[－2,2]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 由－2≤x1＜x2≤2，可得x1x2＜4， 又x1－x2＜0，x＋4＞0，x＋4＞0， 则＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在[－2,2]上单调递增． (2)对任意的x1∈[－2,2]，由f(x)在[－2,2]上单调递增， 可得f(－2)≤f(x1)≤f(2)，即－≤f(x1)≤， 则f(x)在[－2,2]上的值域A＝. 函数y＝kx2＋2kx＋1(k≠0)图象的对称轴为直线x＝－1， 当k＞0时，g(x)＝kx2＋2kx＋1在[－1,2]上单调递增， 值域B＝[－k＋1,8k＋1]， 由题意可得A⊆B，则 解得k≥； 当k＜0时，g(x)＝kx2＋2kx＋1在[－1,2]上单调递减， 值域B＝[8k＋1，－k＋1]， 由题意可得A⊆B，则 解得k≤－. 综上，实数k的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $