第5章 三角数 章末归纳提升-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第五章三角函数 章末归纳提升 对应学生用书P237 [网络构建] 正角（逆时针方向旋转）、负角（顺时针方向旋转）和零角 角的概念的推广 象限角与轴线角 终边相同的角（与a角终边相同的角的集合为(3B=a十k·360°，k∈Z) 定义 概念 弧度数 角度化为弧度 依据 180°-元rad 角度与弧度的互化 弧度化为角度 弧度制 弧长公式 特殊角的弧度数 扇形面积公式 任意角的三角函数的定义 单位圆的对称性 任意角的三角函数 三角函数的定义域 图象 三角函数值在各象限的符号 定义域 同角三角函数 平方关系：sin2a+cos2a=1 值域 的基本关系式 商数关系：s加g-ana 单调性 cos a 诱导公式一一六 奇偶性 正、余弦函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 正切函数的图象与性质 周期性 两角和与差的 sin(a土3)=sin a cos3±cos a sin3 三角 正弦、 cos(a士3)=cos a cos3千sin a sin3 余弦和正切公式 tan(a士3)= tana士tan3 1干tan atan3 数 公式的逆用 sin 2a =2sin acos a 和变形使用 二倍角公式 cos 2a=cos2a-sin2a 2cos2a-1 =1-2sin2a tan 2a 2tan a 1-tan2a 升幂公式 +cos a-2cos1-cos a=2sin a 简单的三角恒等变换 降幂公式 (1-c0s 2), 1-cos 2a 1+cos 2a 辅助角公式 asin x+bcos r /a2+b2sin(x+e),其中cos b ,sin √a2+b2 Va?+62 相关概念：A是振幅，周期T=2:,频率∫一一，9为初相m十9是相位 用五点法画函数y=Asin(ar十g)的图象 图象 图象变换：振幅交换、周期变换、平移变换 函数y-Asin(ar+p) 由部分图象求函数解析式 的图象和性质 定义域为R,值域为[一A,A] (其中A>0,w>0) 奇偶性：9=kπ时为奇函数g=x十受时为偶函数，其中及∈☑ 性质 单调性：有单调递增和单调递减区间 对称性：对称中心为（红2,0），对称轴为工一 -,其中k∈7 三角函数模型的简单应用（在生活、建筑、物理、航海等方面的实际应用） ·343· 数学·必修第一册 [归纳提升] 题型一】 三角函数的基本概念 题型三角函数的定义域、值域问题 任意角的三角函数的概念是本章的基础，主要包括 在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以 两个方面： 及三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运 1.任意角和弧度制.理解任意角的概念及弧度的意 算核心素养 义，能正确进行弧度与角度的换算. 2.任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切函 [例2] (1)函数y= cos x- 2 的定义域为 数的定义，能够判断三角函数值在各象限的符号. ,值域为 3.任意角的三角函数的定义是本章的核心概念，它是 利用角的终边与单位圆的交点P(x,y)的坐标定 (2)已知f(x)=Ein(2x-无r∈R.求函数 义，也可以用终边上非原点的任一点坐标来定义. fx)在区间[答，]上的景小值和最大值， 该定义的几何意义是三角函数线. [例1]已知角3的终边过点P(m,2m)(m≠0)，求 [解析]1)受使函数yc0sx-号有意义， sin B,cos B,tan B. [解]由题意得r=√m+(2m)产=√5ml. 则cosx一 >≥0，即c0s≥ ①当m>0时，r=√5m, 解得2kπ-否<x≤2k元十号k∈乙. 'sin B=2m215 5m5 故函数的定义战为[2m-受，2x十]k∈乙 cos B=- 1≤cosx≤1， 5m5 tan月=20=2. cos x-- m ②当m<0时，r=-√5m, 2m .'sin B=- 2√5 √5m 5 卵数的维玩为0.号] cos B=-m [答案] √5m 5 [2kx-晋2x+]k∈z[0,号] tan B-2m-2. (2)[解] m 因为当2k-<2x-<2次十( ◇[变式训练] ∈Z), 1.若sinA= 青，且A是三角形的一个内角，求 即一吾≤<x+晋（∈Z时， 脚的做 函数f)=Esim2x-)单调递增： 解：因为snA=号>0，所以A为钱角或统角， 当2kx+变<2x-≤2kx+经(k∈Z, 当A为锐角时c0sA=√-simA=子， 即kx十晋≤≤x十(k∈Z时，函教单羽道减， 5x+8 所以原式= =6 所以fx)=巨m2x-)在区问答上为 15x-7 增品数，在区同[管，】上为减画数。 当A为绕角时，0sA=一nA=一子， 又1（餐）-0f(）-E.)=-1 所以原式= 3 4 故画数f)在区同]上的最大位为厄，最 小值为一1. ·344· 第五章三角函数 ⊙[变式训练] 2.(1)函数f(x)=2cos2x-sinx十2的最大值 [解](1)由图象知A= 为 (2)已知函数y=asin（2x+)+b在x∈ 】-1.=2×货-}州 [0,]上的值域为[-5,1]，求a,b的值。 解析：(1)f(x)=2cos2x-sin2x十2 -(eosx-sin)+号2cosx-1D+号 y=号sin2z+p）-1. -eos2x+7os2z+号 当=时，2X十9=受4=吾 -2os2r+号 .3 所求画数解析式为y=合sn(2x+晋)-1， fr)的录大位为受+号= (2)起y=inx向左平移晋个单位，得到y 答案：4 s(十看》然后级坐标保特不变，横生标锦起为 (2②)因为xe[0,引 原未的受，得到y=n2x+晋》，荐搬坐标保持不 所以2x+晋∈[管小， 变，坐标变为原来的2得到y=sinf2x+晋） snf2x+)【合 策后起数y=号·sim(2z十晋)的象向下平移 a+b=1, 所以当a>0时， g+b=-5, 解得=4， 1b=-3, 1个单位，得到y=·in2x十晋》一1的图. 当a<0时， +b=1 ⊙[变式训练] 2 解得∫=一4， 3.已知函数f(x)=Asin(w.x+p)(A>0,w>0,0<9 (a+b=-5, 1b=-1. 所以a,b的取值分别是4，-3或-4，-1. <)的象上的-个最低点为M臣，-2小周期 题型 三角函数的图象及变换 为元 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是 (1)求f(x)的解析式； 三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要 (2)将y=f(.x)的图象上的所有点的横坐标伸长到 体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及 原来的2倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象沿 通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质. x轴向右平移个单位长度，得到函数)=g()的 具体要求： 1.用“五点法”作y=Asin(wx十g)的图象时，确定五 图象，写出函数y=g(x)的解析式. 个关建点的方法是分别令r十g=0,受x,经，2x 解：1)由题可知T=2红=， 2.对于y-Asin(wx十p)的图象变换，应注意先“平 所以ω=2. 移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 又f(x)nim=-2,所以A=2. 3.已知函数图象来求函数y=Asin(wx十p)(A>0,w 由f(x)的最低点为M, >0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法. 得in(传+)-1. [例3]如图是函数y= Asin(ax+)+k(A>0,00) 因为0<g<受所以<+g<1 的一段图象. (1)求此函数解析式； 所以5十=要所以9=吾 3 (2)分析一下该函数是如何通过y=sinx变换得来 的？ 所以f)=2sin(2x+君)）】 ·345· 数学·必修第一册 (2y=2sin(2x+） 横坐标伸长到原来 ◇[变式训练] 的2倍（纵坐标不变） 4.(多选)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,下列命 y=2sin(×2x+ 6 题正确的是 沿x轴向右 A.f(x)的最小正周期为2π 平移个单位长度 B)在区间(0，答)上为嘴函数 y=2sim(x-君)+] =2sin C.直线x=誓是函数fx)图象的一条对称轴 所以g(x)=2sinx. 题型四 三角函数的性质 D面致)的阳象可白函数f)号n2z的 1.三角函数作为中学阶段学习的基本初等函数之一， 其性质是高考的必考内容之一，在考查时，往往和 图象向右平移零个单位长度得到 后面的三角函数知识相联系，着重考查三角函数的 解析：BC 定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有 [f(x)=是sim2x-1+c9s2红= 2 关性质。 2.掌握好y=-sinx,y=cosx,y=tanx的性质是根 号in2x-无)合，起然A箭∈(0,5)时，2r 本，对于y=Asin(wx十p)或y=Acos(wx十g)的性 票∈（子0小，函数）为罐画数，故B正确： 质通常经过整体代换之=wx十9，转化为正，余弦函 数的性质问题 令2x至-登十，k∈乙，得x=+经kE乙。 4-2 [例4]函数f(x)=3sin2x )的图象为C 显然x=3匹是函数f(x)图象的一条对称轴，故C ①图象C关于直线x 1 2π对称； 正确；f(x)= 号、n2x的图象向右平移答个单位得 ②函数f(x)在区间 π5π 、12'12 内是塔函数； 到y= ®由y=3sin2x的图象向右平移等个单位长度可 竖n(一晋)】=号in(2x-)的园 象，故D错.] 以得到图象C 以上三个论断中，正确论断的个数是 题型五 三角函数式的求值 A.0 B.1 C.2 D.3 三角函数求值，主要有三种类型，即： 1.“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面 [解析] 看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有 =-3， 着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能 “直线x= 2r为对称轴，①对； 11 需要诱导公式.解题时，要利用观察得到的关系，结 合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角， 并且消除非特殊角的三角函数而得到. 由于数y=3血x在（一受）内单羽道增。 2.“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求 另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于 故画数f在（是，）内苹调送城，@时。 结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个 国fx)=3sin2x-看)，而由y=3sin2x的图象向 过程中要注意角的范围。 3.“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往 右平移子个单位长度得到画数)y=3n2(x-晋)的 求出的值是特殊角的三角函数值，再求出角之前还 图象，得不到图象C,③错. 需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的 [答案]C 范围 ·346· 第五章三角函数 [例5](1)求sin220°+cos250°+sin20°cos50° (3).'3sin B=sin (2a+B), 的值. ..3sin [(a+B)-a]=sin [(a+B)+a]. (2)已知o+)号。e[臣号小求 .'.3sin (a+B)cos a-3cos (a+B)sin a =sin (a+B)cos a+cos (a+B)sin a cos2a+)的 .sin (a+B)cos a=2cos (a+B)sin a, .tan(a+β)=2tana. (3)已知0<a<牙，0<B<年，且3sin月=sin(2a十 又：4an受-1-am号， ),4an受=1-tan受，求a+月的值 2tan号 tana=： [解] (1)原式=号1-cas40)+号1+ 1-tan号 cos 100(sin 70"-sin 30") tan (a+-0=2ana=2X号-1. =1+2eos10-cos40)+7in70-} 0<a<0 =3-sin70sin30+ 4 2sin70° 0<a+K受a+g= ◇[变式训练] =是n0+m70= 4 5.(1)求值.2sin50°+sin80(1十5tan10) (2②》方法-登≤a<号是 1+cos 10 44 (2②已知0<<<a<,且eo(-)=-日 又c(e+)号>0. sin(受-)=号求sa+的值 2对+2a(s1+9如】 .o)-2sim)co) 解：(1)原式 √2cos5° 2()×号=器 2sin50°+2sin80 c0s10c0s(60°-10°) √2cos5 sin2a=- s(2a+)=1-2os(o+ 2cos 50 -1-2×()- cos 5 2c03(50°-45)=2. cos(2a+=os2a·e0s至-sin2a·sin cos 5 -9×() (2)周为0<<受<a<, 50 方法二：由方法一知sin+)一 又oe+）号 所以o(倍（合月- ma=+)引=a+)os子 n(e8）-cs。-)-g5, 所以吉-oe号》一(g] =o(e-号）sf(g-+m(e-)in(2-) .'sin a=- 》×9×号-票 327 同理可求cosa= 所以osa+》=2s空望-1=2×器- 2 cos2a,sin2a选而可求cos(2a+) 31√2 239 50 一729 ·347· 数学·必修第一册 题型亢】 三角函数式的化简 ◇[变式训练] 1+3tan 0 1.三角函数式化简的基本原则 3+5tan 0 6.化简：2c0320开5n20-cos20-4sin20-4 (1)切化弦； 解：原式= 1+3tan 0 (2)异名化同名； cos20-3sin20+2sin 0cos 0 (3)异角化同角； 3+5tan 0 3cos20+5sin20+8sin 0cos 0 (4)高次降幂； cos 0++3sin 0 (5)分式通分； cos 0 (6)无理化有理； (cos 0+3sin 0)(cos 0-sin (7)常数的处理（特别注意“1”的代换）. 3cos 0+5sin 0 cos 0 2.三角函数式化简常用公式 (3cos 0++5sin 0)(cos 0+sin 0) (1)诱导公式，同角三角函数基本关系式： 1 1 (2)和、差角的正弦、余弦、正切公式； cos 0-sin 0cos 0'cos 0+sin 0cos 0 (3)二倍角公式； cos 0+sin 0 cos a-sin 0 (4)辅助角公式： cos 0(cos 0-sin 0)'cos 0(cos 0-sin 0) 2cos a asin a+bcos a=√a+b·sin(a+p),其中tang cos0·cos20 2 =b或asin a十bcos a-=√a+b·cos(a-9),其 a cos 20' 中ang=合 题型七】 三角函数恒等式的证明 1.三角函数恒等式的证明的基本原则：从繁到简，从 (5)常用变形公式 一边到另一边或从两边往中间. ①和、差角正切公式的变形 2.证明三角恒等式的常用方法技巧有： tana±tanB-tan(a+B)干tan atan Btan(a±B). (1)分析左、右两边式子结构的异同； ②降幂公式 (2)分析式中不同角之间的联系； sin 'a=1-cos 2a (3)注意常数“1”的代换. [倒力正明部 =tan 0. cos"a=1+cos 2a 2 [证明] 法-：左边=sin20+(1-cos20 sin20+(1+cos20) ③升幂公式 2sin 0cos 0+2sin20 1+cos a=2cos2 2sin Ocos 0+2cos20 sin 0(cos 0+sin 0) cos 0(cos 0++sin 0) 1-cos a=2sin 2a 2, =tan0=右边. 1 sin a-(sn号±cos受）月 法二：左边=sin0+cos20+sin20+sin'0-cos0 sin20+cos20+sin 20+cos20-sin20 sin 20+2sin20 2cos'x-2cos'+- sin 20+2cos20 [例6]化 2sin 0(sin 0+cos 0) 2tan(-小sin(年+x 2cos 0(sin 0+cos 0) =tan0=右边. (4cos'x-4cos2x+1） 2 [解] 原式 法三：左边=1十sin20)-cos20 (1+sin20)+cos20 2sin- os(年- (sin20+cos20++2sin 0.cos 0)-(cos20-sin0) (sin20++cos20+2sin 0.cos 0)+(cos20-sin20) (sin 0+cos 0)2-(cos 0+sin 0)(cos 0-sin 0) (2cos2x-1)2 (sin 0+cos 0)2+(cos 0+sin 0)(cos 0-sin 0) 4in-小o(- (sin 0+cos 0)(sin 0+cos 0+sin 0-cos 0) (sin 0+cos 0)(sin 0+cos 0+cos 0-sin 0) cos22x cos22x 1 (sin 0++cos 0)2sin 0 一2x 2cos 2x 2 cos 2. (sin 0++cos 0)2cos 0 2sin 2 =tan0=右边. ·348· 第五章三角函数 ⊙[变式训练] 2.降幂与升幂 7.求证：tan2x十1 2(3+cos4x) tan'x 1-cos 4x 降g:sina=合1-c0s2a),cosa 证明：方法一 …左边= sin'cos' coS sinc -1+0 -sin'x+cos'x_(sin'x+cos'x)2-2sinxcos2x 升幂：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a. sin xcos x in [例8]已知函数f(x)=2sin千cos号 2sin'2r 1 -2sim千+5. Tsin'2r 8(1-cos 4x) 1 (1)求函数f(x)的最小正周期及最值； 8-4sin22x_4+4cos22.x (2)令g(x)= fx+)判断函数g)的奇偶性， 1-cos 4.x 1-cos 4x 并说明理由 4+21十os4x)_2(3十cos4)=右边. 1-cos 4x 1-cos 4x [解】(1)f)=sin+51-2sim） .原式得证. 方法二 右边=2(2+1+c0s4x) =sim号+5cos号 2sin'2x 2(2+2cos22.x)2(1+cos22x) -2sin(后+) 8sin2xcos2x 4sinxcos'a (sinx++cos2x)2+(cosx-sin2x)2 f(x)的最小正周期T=红=4x 1 2sinxcos x 2 2(sin'x+cos'x) =tanx+- 1 -一左边， -1 时，f(x)取得最小值一2； 2sin'xcos'x tan'x 当sin(+ 原式得证. 题型几三角函数与三角变换的综合问题 当sin三+号)1时，f)取得最大值2. 利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法， (2)由1)知f)=2sin（登+若) 可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求 三角函数的有关性质.反过来，利用三角函数性质， 又)=+} 可确定解析式，进而可求出有关三角函数值.因而 三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题 =2+十号引 的热点 解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在 =2sin(+)-2cos受. 于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其 g(- 解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自 ）=2cs-号）2a =g(x), 2 变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题， .函数g(x)是偶函数. 在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想（切割 ⊙[变式训练] 化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积 8.已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosw.x十coswx(w> 的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思 0)的最小正周期为π (1)求w的值； 想方法（如换元法等）的运用. 三角恒等变换的方法技巧是三角函数化简的有力 (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到 工具，对于较复杂的三角函数，通常通过恒等变换 原来的宁，纵坐标不变，得到西数y=《x)的图象， 化归为f(x)=Asin(awx+p)十k或f(x)= Acos(wx十p)十k,然后再研究函数的性质，如单调 求函数gx)在区间[0，]上的景小值。 性、值域、最值、奇偶性、对称性等. 解：(1)因为f(x)=sin(r-w.x)cosz十cos2x, 在三角函数的化简中，要特别注意以下两种变换 技巧： 所以f(x)=sin wrcos+1+cos2mz 2 1.辅助角 asin a十bcos a=√a2+b·sin(a十g),其中tang in2ar+cos2ar+号 1 =么或asin a-十bcos a=√a+b·cos(a-p),其 号如2ar十》公由于>0旅延意特积 中tang=分 =元， 所以w=1. ·349· 数学·必修第一册 ◇[变式训练] 9,某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区 域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤≤24，单 位：时)成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的 当0长≤希时，≤+≤ 平均值如下表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 因光1≤g<12故g)在区同p,]上的 y/米1.01.41.00.61.01.40.90.51.0 2 (1)试在图中描出所给点； 最小值为1. 三角函数的实际应用 y/米 题型九 利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有 关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型； 其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所 0.4 0.2 得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答. 00 51015202530/时 解题思路如下： (2)观察(1)中所绘图，从y=at+b,y=Asin(wt+ 现实中的实际问题 数据收集、分析、 简化、抽象 三角函数模型 g)十b,y=Acos(wt十p)中选择一个合适的函数模 数 型，并求出该拟合模型的解析式； 译 推 (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高 检验 不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练 实际问题的解 三角函数模型的解 时间. [例9]如图，在直径为1的圆O 解：(1)描出所给，点如图所示. 中，作一关于圆心对称、邻边互 相垂直的十字形，其中y>x>0. W米 1.6 (1)将十字形的面积表示为关于 0的函数； (2)当0为何值时，十宇形的面积 最大？最大面积是多少？ 8 [解](1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2(y 051015202530时 >x>0) (2)由(1)知选择y=Asin(wx十p)十b较合适 又圆O的直径为1，则x=cos0,y=sin0. 令A>0,w>0,9<π 因为0<x<y,所以0<cos0<sin0,所以tan0> 由图知A=0.4,b=1,T=12,所以w= 1.从两0e(年，）故S=2y-7=2n0icos0 把1=0y=1代入y=0.4sin(晋1+p)+1,得9 =0 (2)S=2sin 0cos 0-cos20=sin 20- 2c0s20- 故所求拟合模型的解析式为y=0.4sin音1十1 sin(-p) 1( 24 (0≤t≤24). 共中1an9= 1 （3)由y=0.4sm音+120,8，得sin若≥- e(,引 则-吾+2k≤吾4否+2张xe7. 当sin(20-p)=1, 即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z), 即20-9= 罗时，S最大。 注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或 所以当目=年十号时，十字形的面积最大，最大值为 23≤t≤24， 再结合题意可知，安排在11时到19时训练较 ,共中ang=立ge(0,号) 恰当. ·350·