5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第五章三角函数 所以tan(2a-B)=tan[(a-B)+a] (2)因为，点P,Q在运动的过程中，∠PCQ的大小 1+1 保持不变， an(a-g)十tane=23-1. 1-tan(a-B)tan a 所以a+B的大小保持不变，所以tan(a十B)为 定值 因为a∈(0，)（受x: 由(1)得t=1-tana+1-tanB +(1-tan a)2+(1-tan B)3, 所以-<a-g<0,且an(a-g)=号>0，可得 令x=l-tana,y=1-tanB, 则有t=x十y十√x十y,化简得2t(.x十y)= x<a-<-否，所以2a-B∈(-x,0),所以 +2xy. 2a日=平 tan a+tan B 又tan(a十B)=i-tan atan 13.如图，正方形ABCD的边长为 1-x+1-y_2-(x+y) 1,P,Q分别为边AB,AD上的 1-(1-x)(1-y)x+y-xy 动点 1 2-(x+y) -(x+y)+2 (1)设∠BCP=a,∠DCQ=B, +++号-c++ 请用含有a,B的式子表示 D △APQ的周长t; 要使得na十》为定值，则有号-1子。 (2)若点P,Q在运动的过程中，∠PCQ的大小保 2 持不变，试探究△APQ的周长t的变化情况： 解得t=2, 解：(1)由题知BP=tana,DQ=tan3,则AP=1 此时ana+=1,a+日=牙，即∠PCQ=平 -tan a,AQ=1-tan B, 所以△APQ的周长t=AP+AQ+PQ=2-tana 所以若点P,Q在运动的过程中，∠PCQ的大小 保持不变， tan B(1-tan a)+(1-tan B). 则△APQ的周长t为定值2. 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课程标准 素养解读 1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程 通过学习倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数 2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 学逻辑推理和数学运算素养 求值、证明 课前。预习学案 对应学生用书P212 [情境引入] [知识梳理] [知识点]二倍角的正弦、余弦、正切公式 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α=3，你能 得出什么结论？ 函数 公式 a-B 简记符号 提示：sin(a十a)=sin acos a十cos asin a=2 sin acos a,即 正弦 sin 2a-2sin acos a Sa+g S sin 2a=2sin acos a. cos 2a=cos a-sin a cos(a十a)=cos acos a-sin asin a=cos2a-sina,即 余弦 =2cos'a-1 cos 2a=cos a-sin a. Ca+ tan(a+a)=tan attan a= 2tan a =1-2sin a 1-tan atan a 1t tan 2a 正切 2tan a 2tan a tan 2a 1-tan'a T(a+ Tia 1-tan a 301 数学·必修第一册 纪思考1.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的 2a 2tan 2a 4 正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成 4.2sin号cos号，cog 3 -sin2 3 的结 立吗？ 1-tan 2a 4 提示：sin2a,cos2a中a为任意角，tan2a中，2a≠ 果分别是什么？对二倍角中的“二倍”你如何 x十答即a≠经+牙k∈7. 理解？ 2.sin2a,cos2a,tan2a的公式中，2a是a的倍角，角 提示：三式的结果分别是sina,cos α一定为具体角吗？如何理解倍角的含义呢？ 倍角中的“二倍”是相对的，只要公式中两个角是 提示：角α不一定是具体角，也可为角的关系式， 二倍的关系即可，并不限定为a,2a 二倍角只是相对的，如4知是2a的二倍Q是受的 工预习自测] 1.sin105°cos105°的值为 二倍，2a+答是a+晋的二倍. A C.③ D.一3 4 3.你能用2a的余弦表示出sin2a、cos2a吗？ 提示：由cos2a=1-2sin2a,得sin2a 答案：B =1-cos 2a 2.sin5 12 sin? 12 ( 2 由cos2a=2cos2a-1,得c0s2a=1+cos2e 2 A吉 B. 2 C③ D. 3 3 答案：C 课堂。互动学案 对应学生用书P213 题型一 给角求值 [例1]求下列各式的值 1)cos c0s 2π -2 -25. tan 6 (2)2 8: 规律方法 (3)tan12 1 对于给角求值问题，一般有两类 tan 12 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和 [思路点拨]先分析式子结构特征，再变形运用 同角三角函数的基本关系对已知式进行转化， 公式求值 一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则 sin 2π 5 [解] (1)原式= 一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中， sin哥 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条 1 4π sin 件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式 1 sn月 sin 5 4 的形式 4sin- ◇[变式训练] 2)愿式=-合(2os-)=-w 1 1.(1)sin 12cos 12 4 (2),2tan150° 1-tan21509 (3)原式 am1-2-am (3)已知0为领角.c0s0+15)=是，则t0s(20 tan 12 2tan 12 15)= ·302· 第五章三角函数 解析：(1)原式= 2 sin co危_sin_1 m(任-)意an(任-一 2 4 原式=(2×碧-×()= 21 (2)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360° 60°)=-tan60°=-√3， 规律方法 (8)0为锐角，c0s(0+15)=号sin(0+15) 解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找己知式与未知式之间的联 、4 系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明 .sin(20+30)=2sin(0+15°)cos(0+15)= 4 朗化； 25 (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使 c0s(20+30)=20s2(0+159)-1=2× 9 用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系 (3)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin2x=cos(受-2z)=c0s[2(平-x)] ∴.cos(20-15°)=c0s(20+30°-45°) =cos(20+30°)cos45°+sin(20+30°)sin45° =2os2(至-x)-1=1-2sim(牙-x0: ×9+×-鸡 225 2 50 Ocos 2x=sin(-2x)=sin[2(-x)] 答案：(1) (2)-√5 (3172 =2sin(x-x)cos(元-x). 50 4 题型二 给值求值 ◇[变式训练] 2.(1)若sina= 号tam(e+8)=1,且&是第二象限 角，则tan23的值为 求in2,2sin”的值， 1+tan x 2)已知s(-)-0<x<至则 [思路点拨]化简所求式，使其出现角 cos 2x 的值为 整体代入求解. os(+ [解] sin 2x-2sin'x 解析：(1)由sina= ，且a是第二象限角， 1+tan x 3 -2sin a(cos x-sin x)cos a 可得cosa=一 ，所以ana= cos a+sin x 所以tanB=tan[(a+B)-a] sin 2x(cos x-sin a) cosx十sinx tan(a+B)-tan a 1- 1-tan x -sin 2x 1+tan x IFtan(a+)tan a 1+1× =sin2xam(任- 所以tan2,3= 2tanβ 1-tan'B 241 =cos(受-2r小am(年- (2)0<<年0<-x< as(音-小am(经-小 如（经小-意 ac(匠-j号 cos2x=sin(受-2x 又co(任-音 =2sin(至-小o(任- ·303· 数学·必修第一册 =2os管-（任-小o(年- 规律方法 三角函数式的化简与证明 =2cos(昏+rjos(- (1)化简的方法 cos 2x os(任-)-得 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降暴 os(年+x 或升幂；③一个重要结论：(sin0±cos0)2=1 ±sin2a. 答案：1)- 7 a唱 (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； 题型三 化简与证明 ②比较法，左边一右边=0，左边/右边=1；③ [例3]化简：1)1-tan01+an0 分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件。 e计鼎a ⊙[变式训练] [思路点拨]统一角，化倍角为单角.4a=2×2a, 3求证计0 =tan 2a. [解](1)原式=1十tan0)-(1-tan0) (1-tan0)(1+tan0) 证明：法-：左边=1-cos4a)十sin4a (1+cos 4a)+sin 4a 2tan 0 1-tan20 =tan 20. -2sin'2a+2sin 2acos 2a 2cos2 2a+2sin 2acos 2a (2)原式= 1+2sin 2acos 2a+2cos22a-1 2sin 2a(sin 2a++cos 2a) 1+2sin 2acos 2a+2sin22a-1 =tan2a=右边. 2cos 2a(sin 2a+cos 2a) 2cos22a+2cos 2asin 2a 2sin22a+2sin 2acos 2a 法二：左边=1十sim4a-(1-2sin22a) 1+sin 4a+(2cos 2a-1) 2cos 2a(cos 2a+sin 2a) 2sin 2acos 2a+2sin22a 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) 2sin 2acos 2a+2cos2 2a 1 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) tan 2a' 2cos 2a(sin 2a+cos 2a) -tan2a=右边. 随堂。步步夯实 对应学生用书P214 1.者0[引os20=-则sin0=( 5.已知tana=2. A号 求anfa+)的值： sin 2a (2)求sina十nCoa-eos2a-的值. 答案：B tan a+tan4 解：(1)tan (e+) tan a+1 1-tan atan 1-tan a 2.函数f(x)=sin xcos x的最小值是 ( 4 A.1 B.-1 2+1 Γ1-2 =-3. c号 (2) sin 2a 答案：D sin2 a+sin acos a-cos 2a-1 2sin acos a 3(-s+血)的为 sin a+sin acos a-(2cos'a-1)-1 2sin acos a 案9 sin'a+sin acos a-2cos a 2tan a 4.3 1 tan'a+tan a-2 'cos 10 sin 170 2×2 答案：一4 =1 22+2-2 ·304· 第五章三角函数 课后。素养提升 对应学生课时P349 基础过关 》 故A正确；对于选项B: 1 cos80°-sin80 1.若sina= 4 5 :cos a= ，则sin2a= sin80°-√3cos80° 4sin(80°-60°) sin80°cos809 sin 160 4 A.2 6 c. 12 D.26 sin(180°-20)=4，故B错误；对于选项C:(1十 4sin20° 答案：A tan18)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+ 2.若a为第四象限角，则 ( tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan(18°+27°) A.cos 2a0 B.cos 2a<0 (1-tan18°tan27)=2,故C正确；对于选项D: C.sin 2a0 D.sin 2a<0 4sin18°sin54°=4sin(90°-72°)sin(90°-36°)= 答案：D 1十sin2c=7,则tana= 4cos72°cos36°=4c0s72cos36sin36 3. ( sin 36 1-2sin'a 2sin72°cos72°=sin144°=sin(180°-36)=1，故 A.一号 B-一是 sin 36 sin 36 sin36° D错误.门 c n台 7.若sinx=- ,则co82x 3 答案：C 解析：因为sinr= 4.已知sina十cosa= 1 3 5 ,0≤a≤x,则sin(2a-)的 值为 所以cos2x=1-2sin2x= 9 A.31② 50 B.17② 50 答案：付 C.-172 D.-31② 8.已知函数f(x)=cos2x十√3 sin xcos x在区间[0， 50 50 m]上单调递塔，则实数m的最大值是 答案：C 解折)-士g丝-9m2x 5.（多选)已知sin0= 4,则sin20可能是 2 A瑞 =(2x+若)十 当0<≤m时，否<2x+吾≤2m+吾 C.- 4 ,f(x)在区间[0，m]上单调递增， 解析：AD[,sin0= 4 5co日=士5，.sin2白 “2m+音≤受，得m≤看即m的最大值为 6 =2an0as9=+器 答案：日 6.（多选)计算下列各式的值，其结果为2的有( 9.函数f(.x)=sin2x十 3cosx的最大值为 A.tan15°+tan60° 1 5 B. cos80°sin80 解析：f)=inf2r+) -3cos x C.(1+tan18°)(1+tan27) =-cos 2x-3cos x=-2cos'x-3cos x+1 D.4sin18°sin54° 解析：AC[对于选项A:tan15°+tan60°= 8 1~③ .当cosx= 3+5=2-3+3=2, 时fn= 8 tan(45°-30°)+√3= 1大③ 3 答秦吕 ·305· 数学·必修第一册 10.已知号<a<,ma-求n2a,ana 10 0s 解：受<a<r且sin&= 因为-1≤cos4a≤1， 10· 所以≤营+名osa≤1. .cosa=-√1-sin2a= 3√/10 10 所以当x=6时fa)[子小 .sin 2a =2sin acos a =2 X √10 10 由以上规律可以猜想：当x=2k(k∈N)时，f(a) -3√10 3 的取位范周是[21]∈N) 10 又os2a=1-2nia=号tam2a-02= cos 2a T. 答案[合[2∈N) 3 13.已知函数f(.x)=sinx十3cos2x十√3sin2x-2. 2tan 2a 2- 2 ∴.tan4a= (1)求f(x)的单调递增区间； 1-tan'2a 1-（-4 2)当x∈[0，]时，求f)的值域： 11.化简： 1+sina+cosa)sin-cos分 《8)已知9为钱为，且f(0)=2沿，求f20 √/2+2cosa 的值. (180°<a<360)°. 解：原式 解：(1)f(x)=1-c0s2红+3·1+c0s2x十 2 2 (2eoe号+2sm受os)in-cos) sin2x-2-5in2x+os2x=2sinf2x+看） 2os号 令-晋+2x≤2x+若≤营+2kx,k∈1， :180<a<360,90<号<180，故c0s号<0， 2 解得-晋+x≤≤晋+x,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为 原式= -2s号 【厂吾+红，若+x]k∈z. =c0s号-sin-cosa 2)当x[0,]时，2x+[后，] 能力提升 所以sm(2z+晋)合小 》 12.设f(a)=sin'a+cosa,x∈{nn=2k,k∈N*},利 所以f(x)的值域为[1,2]. 用三角变换，计算当x=4时，f(a)的取值范围是 ,根据f(a)在x=2,4,6时的取值情况， 3)设a=29+若∈（后，）别了0)=2 13 猜想当x=2k(k∈N)时，f(a)的取值范围是 nf+) eina 1 解析：当x=2时，f(a)=sina十cos2a=1. 当x=4时，f(a)=sina十cosa=(sina十cos2a)2 2sin'acos'sin 4十cos4a, 所以osa=-25,所以sin2a=-45, W13 13,c0s2a 图为-1≤os4a≤1，所以<号+}sa<1, = -13 所以当=1时，f@)e合小 故f20)=-2sim(40+)=2sim(2a-吾） 当x=6时，f(a)=sina+cosa =(sin2a+cos2a)(sin'a-sin'acos'a+cos'a) =(sin'a+cos a)[(sin'a+cos a)2-3sin'acos a] =1-3对in'co=1-是sim2a -x〔×要×》器 ·306·