5.4.3 正切函数的性质与图象-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第五章三角函数 5.4.3正切函数的性质与图象 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象 通过正切函数图象和性质的学习培养学生数学 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 直观想象和数学运算素养 并能利用其性质解决相关问题 课前。预习学案 对应学生用书P197 [情境引入] 记思考1.正切曲线是中心对称图形吗？若是对称 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“日初 中心是什么？是轴对称图形吗？ 出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 提示：y=tanx是中心对称图形，对称中心为 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、 (俘0小∈2，不是轴对称图形 相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸 2.正切函数在定义域上是单调函数吗？ 收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题， 提示：不是.正切函数在每一个单调区间 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切 (受+，受+小∈Z)内都是增函数，包在 函数的图象吗？ 整个定义域内不是，比如180°>30°，但tan180° 提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y =tanx的图象. 二05an30-9 2.你还有其它方法吗？ 3.如何画正切函数的简图？ 提示：画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是 提示：指点法作y=tamx在x∈【-受，]上的草图 指(-1小(00)，（1，“两线”是指x 描出三点（至-00（小两线x=±受 [知识梳理] 和 大致画出正切函载在(-受 [知识点]正切函数的图象与性质 的简图后向左、向右扩展即得正切曲线， 解析式 [预习自测] y=tan x 1.与函数y=an(2x+无)的图象不相交的一条直 线是 图象 A.x=交 B.y=2 Cx=君 D.y=君 定义域 {xx≠r +kπ，k∈Z} 答案：C 值域 R 2.函数y=tan(x十π)是 A.奇函数 最小正周期 π B.偶函数 奇偶性 奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 在开区间 (k∈Z) 单调性 答案：A 上都是塔函数 3.函数f(x)=√3-tanx的定义域是 对称性 对称中心（经0）∈z 答案：[x-吾，kx+5]k∈Z ·279· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 对应学生用书P198 题型一”与正切函数有关的定艾域、值域荷题！ 2.求正切函数的值域的方法 [例1](1)求函数y=√anx+I+lg(1-tanx)的定 ①结合图象. ②利用单调性 义域； ③在复杂情况下，利用换元法，设t=wx十9，再 (2)求函数y=tan 2x+）x(-2的 求解。 值域. ⊙[变式训练] 思路点拨了 (1)先列不等式组，然后借助正切函 1.(1)函数f(x)=a-3tan2x在[-否，b]上的最大 数的图象与性质解不等式：(2)令=2x十石，转 值为7，最小值为3，则ab为 化为求tan之的值域. A哥 B晋 C.g D是 [解](1)由题意得 tanx+1≥0 (2)y=lg(tanx-l)的定义域为 1-tan x>0 解析：(1)B 即-l≤tanx<1 [:xe【-吞b]b>-吾， 在（吾）内，满足上述不等式的口的取位范因 2x∈[-5,20] 【) 又：画数f(x)在[-答，b]上的最大值为7，最小 又y=tanx的周期为元， 值为32b<受，即b<开 所以-至+≤<至+k∈Z 根据正切数g)=tmx在（·》上单递 所以画敛的定义城为[一至十x,至+x),k∈乙 增，得f)=a-5an2x在[一若]上单调递减， (2)令x=2x+吾， f(-君)-a+3=7>a=4, 一fb)=4-5an2b=3,则tan26=5 “y=1an在(-至]上是增画， 2b∈(-登受》2h=吾b=是 ∴函数的值域为(-1W3]. (2)解析：令y=lgt,t=tanx-1, 规律方法 函数t=tanx一1的定义域为 1.求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求 ≠8+x6e: 函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 函数y=lgt的定义域为{tt>0},则tanx-1>0, y=anx有意义，即x子受十m,∈乙，而对于 即平+kr<<受+k,k∈Z, 构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求 所以y=lg（tanx一 1)的定义域 解.解形如tanx>a的不等式的步骤： 为{+x<受+x,∈Z 作图象 作在（←受，受）上的正切面数图象 答案：{女至十kx<<受十，k∈Z 求界点 求在(- 兰，受)上使1amx=a成立的x值 题型二与正切函数有关的函数单调性问题 求范围一 求在(- 受受)上使m>a成立的x的范国 [例2习①)求函数y=an(之十)的单调区间： 定义域→据正切函数的周期性，写出定义域 (2)比较tan1,tan2、tan3的大小. 280· 第五章三角函数 [思路点拨了解答(1)时先将函数化为y 解：y=3a(后-)=-3an(任-） ta(合：-)再把合x-至童体代入 由k元一 246 （-受+m,乏十x,∈Z这个区间内，解出x 得4x一<<x 3 8π，k∈Z. 便可.解答(2)的关键是利用tan2=tan(2-x), tan3=tan(3一π)，把角化归到同一单调区间内， y=3an(一量)的单运减区间为 再利用y=tamx在（受，受）上的单调性判箭共 大小关系 题型与正切函数有关的周期性、奇偶性问题！ [解](1)y=tan [例3](1)求f(x)=tan2x+子)的周期 (2)判断y=sinx十tanx的奇偶性 [思路点拨](1)利用公式法或定义法求函数的 由k一< 2 4 周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性.， 得2kπ-交<r<2hπ+8，k∈Z, [解](1)方法一： 2 所以画数y=(名十)的单两地该区同足 “a(2+号+tan2+ (2x-吾，2kx+r小，kez 即a2(+受)+号]-anf2x+5】 (2)tan 2=tan(2-x),tan 3=tan(3-x). ∴f()=tan(2+)的周期是受 因为登<2<x,所以-交<2一<0 方法二：y=tanx的周期是元 2 f)=iamf2z+哥)的月期是号 因为受<3<x,所以-2<3-<0. 2 (2②)通数的定义城是{≠至十m,k∈Z, 里然-受<2-<3-<1<受， 又，sin(-x)+tan(-x)=-(sinx+tanx), 又y=am在（，内是增函， .函数y=sinx十tanx是奇函数. 规律方法 所以tan(2-π)<tan(3-π)<tanl. (1)一般地，函数y=Atan(ax十p)+b(A≠0，w>0)的 即tan2<tan3<tanl. 周期为T=工，常常使用此公式来求周期。 规律方法 (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关 L.求函数y=Atan(wx十p)(A,w,9都是常数)的 于原点对称.若不对称则函数无奇偶性，若对 单调区间的方法 称，再判断f(-x)与f(x)间的关系. (1)若w>0,由于y=tanx在每一个单调区间上 ◇[变式训练] 都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令π 吾<r十g<k红十受，k∈7，求得x的范园 3.已知函数y=anor+牙)a<0)的周期为登，求 该函数的定义域、值域.并判断函数的奇偶性。 即可， (2)若w<0,可利用诱导公式先把y=Atan(awx十 解：y=ta+)a<0)的周为高=受，解 p)转化为y=Atan[-(-w.x-g)]= 得w=2或w=-2. 一Atan(一w.x一p),即把x的系数化为正值， 因为w<0,所以w=一2 再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可， 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 y-tanx)--tanf2). (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 由2.x- 单调区间内， (2)运用单调性比较大小关系. 所以孩数的定义为{≠+kZ位 ◇[变式训练] 域为R 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数 2.求函数y=3tan 一)的单调区间 6 既不是奇函数也不是偶函数， ·281· 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 对应学生用书P200 1.下列图形分别是①y=|tanx;②y-tanx;③y= B在区间0，)上单调递减 tam(-:④y=az在（誓，受）内的大致图 象，那么由a到d对应的函数关系式应是( C.(否，0)为图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 答案：C 4.不等式-1≤tan ≤√3的解集是 3πx 3πx 答案： 5+2kx,+2kx小k∈Z 5.求面数y=tan(行r十无)的定义域，周期、单调区 0 T 3 间和对称中心。 d 解：由5x+晋≠x+受∈乙，得x≠3+子k∈乙 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 故定义战为{≠3张+是 答案：D T=- π 一3 2.函数f(x)=tan (ox-- )与函数g(x)= sin(牙-2x的最小正周期相同，则w A.±1 B.1 得-是+3<<是+3k,k∈z C.土2 D.2 答案：A 故培区间为(-是+3，是+3)∈Z, 3.关于函数y-tan(2.x- )，下列说法正确的是 由 3 2 2 所以对称中心为（-0∈。 3 A.是奇函数 课后。素养提升 对应学生课时P341 基础过关 》 3.函数y=m(合一)在-个同期内的图象是( 1.关于正切函数y-tanx,下列判断不正确的是( A.是奇函数 B.在整个定义域上是塔函数 C.在定义域内无最大值和最小值 D.平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段 答案：A 相等 4.下列坐标所表示的点不是函数y=a(3:一)圆 答案：B 象的对称中心的是 2.若a=sin乎b=cos牙c=tam牙，则 2π A瞪 (o A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c c. n(臣 答案：D 答案：C ·282· 第五章三角函数 5.(多选)关于函数f()=tan(2x- 有以下命 经+音：A∈乙，所以f(x)周象的对然中心为 题，其中不正确的是 (经+营0∈2》，故D错送.] A,函数f(x)的周期是受 7.tm(号)与am(1）的大小关系是 B.函数f(x)的定义域是 {eR且ur经+冬ez列 解标：tam(-1习）=tm(2x-1号）=tan号 C.y=f(x)是奇函数 D.y=fx)的-个单调递塔区间为（至） 牙<受an吾<tam牙，tam(l） 解析：BCD [f)=tan(2x-)的周翔T=受， tan) 故A正确； 答案：a(1号）)an(-1） 定义域为 {x∈R且x≠x+8,k∈Z:故B 8.函数y=an2x十)的单洞递塔区间是 不正确；f(x)是非奇非偶函数，故C不正确；f(x) 解析：令kx-<2x十至<kx十，k∈乙， D不正确.门 解得经-<<经+营∈7 、28 6.(多选)已知函数f(x)=tam(一x+),则下列说 答秦经行经+》47 法正确的是 9.函数f(x)=|tan2x|的最小正周期是 ,是 Ax)的定义域是{女k一音k∈ 函数（填“奇”或“偶”） 解析：f(-x)=ltan(-2.x)l=tan2.x=f(x), B.f(x)的最小正周期为2π f(x)为偶函数，T=牙 21 C.f(x)在区间（x-吾，km+)k∈z)上单调 6 答案：受偶 递减 10.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的 D.fx)图象的对称中心为(x+受，0小k∈Z) 大小 解析：AC[自变受的取值应满足一x十看≠x (1)tan167与tan173°； (2)tan )与m(号) 十吾k∈乙，解得x≠-kx-吾，k∈Z,所以f(x)的 解：(1)90°<167°<173°<180°， 定义线是{红x≠m一晋，k∈Z乙，故A正确：f(x 又，y=tanx在(90°，270)上是增函数， .tan167°<tan173. 的最小正周期为=，故B错误：由kx一交< (2).tan -tan =an 4 x十<k元十，k∈乙，解得一x一<x<一 13x-tan 5' 2π 又0< <<受，画数y=anx,r∈ 5 所以fx)在区阿云-吾+}∈2)上单调 递戏，故C正确：由一x十百-经，k∈乙，解得x 、4 ·283· 数学·必修第一册 11.已知函数f(.x)=3tan 2)令-+x<2x+百<受+x,kez, (1)求f(x)的定义域、值域. 得-3西+km<2x<kx+至，k∈乙， (2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性. 4 解：1)由2-登≠受+k∈Z. 即-+<<+经e 8 解得x≠5π 所以函数f(x)的单调递增区间为 2kπ，k∈Z. 所以定义战为{x≠+2kxk∈Z (警+经晋十经)乙无单调论减区同。 2 值域为R. (3)由(1知，fx)=anf2x+) (2)f(x)为周期函数，周期T=不=2x. 由-1≤a(2x+长5 2 得-十r≤2x+至<号+,∈Z,即-十 f(x)为非奇非偶函数，由一受十kx< 27- 空十kx,k∈Z 所以不等式-1≤f(x)≤√3的解集为 解得-吾+2x<<受+20，∈Z {-+≤≤+经kz} 所以函数的单调递增区间为 13.已知函数f(x)=x+2xtan0-1,x∈[-1，W3], (-音+2kx,晋+26x)ez. 其中9（登》月 能力提升 》 (1)当0=- 时，求函数了(x)的最大值与最 12.设函数fx)=tam(ox十g(o>0,0<g<登)已 小值. 知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距 (2)求使y=f(x)在区间[-1，W5]上是单调函数 离为受，且图象关于点M(-营0)对称 的0的取值范围 (1)求f(x)的解析式； 解：（1)当0= 时， (2)求f(x)的单调区间； (3)求不等式-1≤f(x)≤√3的解集， f(r)=x2- 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T- 3]. 脚哥-受 所以当工=5时，()取得最小值，为- 3 3 因为w>0,所以w=2, 从而f(x)=tan(2.x十9). 当x=-1时，fx)取得最大值，为2y⑤ 3 因为函数y=f(x)的图象关于点M (2)函数f(.x)=(x+tan0)2-1-tan0的图象的 （0小时称， 对称轴为x=一tan0. 所以2×（-君)十9=经，k∈z。 因为y=f(x)在区间[-1，W3]上单调， 所以-tan0≤-1或-tan0≥√3， 即tan0≥1或tan0≤-√3. 因为0<9<受，取k=0,所以9=， 又(-香} 故f)=tanf2z+) 所以0的取值范国是（吾，一]U[,) ·284·