5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数 三角函数的性质是高考必考内容，通 的值域和最值 过应用，提升学生逻辑推理和数学运 2.掌握y=sinx,y=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小 算素养 3.会求函数y=Asin(wx十o)及y=Acos(wx十o)的单调区间 课前。预习学案 对应学生用书P193 [情境引入] ?思考1.用正、余弦的周期性考查它们的单调性 生活中许多美好的事物都有 和最值，你有何发现？ 对称性，如漂亮的瑚蝶，它停飞展 翅就是一幅异常美丽的对称图案， 提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周 数学中的对称美也比比皆是，如 期2π的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期 圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、 2π的整数倍，取得最大值的任意两个x的值相差 正方体等 周期2π的整数倍，取得最小值的任意两个x的 正弦函数、余弦函数的图象也很美，它们有怎样的对 值相差周期2π的整数倍.对于余弦函数，也有同 称性？除此之外还有哪些性质呢？ 样规律。 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形 [知识梳理] 2.从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大 [知识点]正、余弦函数的性质 值、最小值点分别处在什么位置？ 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于 、 名 图形拐弯的地方， y=sin r y=cos x 性质分类 3.正弦函数在[一 ，]上函数值的变化有什么特 相 定义域 R R 点？推广到整个定义域呢？ 同 值域 [-1,1] [-1,1] 提示：观察图象可知： 处 周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π 3 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 在 ,2kπ十 当x【-三，]时，曲线逐渐上升，是增画数， 1(k∈Z)上递增； sinx的值由一1增大到1； 在[2k元-元，2kπ 2 (k∈Z)上递增：在 不 单调性 2x+受 在 当x∈臣，]时，曲线返断下降，是减函数 2kπ，2k元十π](k 同 ∈Z)上递减 sinx的值由1减小到-1. 处 2m+小∈ 推广到整个定义域可得 上递减 当x∈【-受十2kπ，受+2k小(k∈Z)时，正弦画 x=2kr+文(k∈ 2 x= 2kπ(k∈Z)时， 数y=sinx是增函数，函数值由-1增大到1： 最值 Z)时，ymax=1；r ymax-=1; =2k元一 （∈zW x=2kπ+x(k∈Z) 当x[受+2元，3+2x]k∈乙)时，正弦画数 时，ymin=一1 时，ymin=一1 y=sinx是减函数，函教值由1减小到-l 272· 第五章三角函数 4.余弦函数在[一π，π]上，函数值的变化有什么特 [预习自测] 点？推广到整个定义域呢？ 1.函数y=2sin(x+2)的最大值是 提示：观察图象可知： A.-2 B.2 C.2sin 2 D.-2sin 2 答案：B 2.下列函数中，周期为x,且在区间[0，]上单调递 减的是 当x∈[一π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数， 1 cosx的值由一1增大到1； A.y=sin B.y=cos 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，c0sx C.y=sin 2 D.y=cos 2x 的值由1减小到一1. 答案：D 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ一π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y 3.(2025·上海卷)函数y=c0sx在[-受，]上的 cosx是增函数，函数值由-1增大到1； 值域为 当x∈[2kπ，(2k十1)π]，k∈Z时，余弦函数y 答案：[0,1] cosx是减函数，函数值由1减小到一1 课堂。互动学案 对应学生用书P194 题型一 正、余弦函数的单调性 因为之是x的一次函数，所以要求y=一2sin之的 单调递增区间，即求sin之的单调递减区间， [例】求函数y一s如（合+晋 x∈R的单调区间； 即2kx+受≤≤2x+受k∈》. (2)求函数y=2in(-x的单调递增区间。 2x+受<-≤2kx+(k∈，即2x+ [思路点拨了把“x十9”看作一个整体，代入基 本三角函数的单调区间 ≤x≤2kr+7(k∈Z). [解] (1)设x= 1 画数y=2n(-的单调增区同 当∈(2x-，2x+)水∈时，y=in为 为[2x+,2kx+乐k∈Z] 增函数。 规律方法 2k元- ≤+营≤2x十得x-≤ 5 (1)求y=Asin(wx十9)(A>0,w>0)的递增区间 ≤4x+答k∈Z. 由-至十2x<ax十p≤受+2kx(x∈Z)解出 2 当(2+，2+x时=为减高 x的范国即可，求其递减区间由受十2x<wx 26x+<号+≤2x+元 十受+2x(传∈Z)解出x的范围即可。 (2)对于y=Asin(wx十o)(A>0,w<0),先将函 3r,k∈Z. 数化为y=-Asin(-ox-g),然后由受十2kx 故y=sin(合十)的增区间为 ≤-0r一<要十2kx(k∈Z)解出的x的范 国是递增区同，由一受十2次元≤一x一p≤ 减区同为(x+x+∈乙 受十2x∈)年出的x的范国是撞减区间。 2y=2sn(至--2n-f 余弦函数y=Acos(wx十9)(A>0,w≠0)的单 调性讨论同上.另外值得注意的是，k∈Z这一 令=x-年，则y=一2sin 条件不能省略： ·273 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] [解] 1.求下列函数的单调区间： (1)1.47 Dy=co(管+力： cos 7 2y=3n(-2z 而y=cosx在[0，π]上单调递减， a<or(( 解：1当2km-x≤受+智≤2kx,k∈Z时，函数单 调递增， 故有cos<n0<0s 7 故函数的单调递增区间是 8 [-智x,x-号小ez 而y=如x在0，受)内递增。 当2kx≤号十吾≤2x十元，k∈Z时， .sin(n) 函数单调递减，故函数的单调递减区间是 [x-号，x+号]∈， 规律方法 2y=3sin(至-2)=-3sm(2x-） 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导 要求y=一3sin(2x-元)的增区间即求 4 公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利 y=sin(2x-)的减区间， 用函数的单调性比较 (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，先应利 即2kx+≤2-≤2x+k∈ 用诱导公式五、六将名称化为一致.然后再利 用正，余弦函数的单调性进行比较，当角不在 所以x+晋≤≤+晋∈Z 同一个单调区间时，再利用诱导公式一四将 角转化为同一单调区间内.对于正弦函数，一 所以画数y=3sn(货-2的造增区间为 极将丙个角转化到[一受，罗]或[受，受]内， [(EZ). 对于余弦函数，一般将两个角转化到[一π，0] 要求y=-3sin(2x-)的减区间即求y= 或[0，π]内 ◇[变式训练] sin2x-至)的增区间， 2.比较下列各组数的大小. (1)sin(-320)与sin700°； 即2kx-受≤2x-晋≤2kr+受k∈Z, 4 1g7与a8 (2)cos 所以kπ一 解：(1)，sin(-320°)=sin(-360°+40°) 所以高数y=3sin(至-2r）的笔减区同为 =sin40°， sin700°=sin(720°-20°)=sin(-20°) kx- 又函数=m工在一音]上是增函数， 题型二 比较三角函数值的天小 .sin40>sin(-20°)， [例]比较下列各组数的大小： .sin(-320°)>sin700°. 7 (1)cos 2,sin 10-cos (2o1g=ex+）=cos， 8 2sin()和sin(os) cos 又函数y=cosx在[0，π]上是减函数， [思路点拨]对于不是同名函数的应先化为同名 函数，再用单调性来比较 cos 8 8 274 第五章三角函数 题型 正、余弦函数的最值（值域） (3)形如y=asin'x十bsin x十c(a≠0)型，可利用换元 [例3]1)求函数y=2os(2x+)x(-百，若)的 思想，设t=sinx,转化为二次函数y=at2十bt十c 求最值，（的范围需要根据定义域来确定： 值域； ◇[变式训练] (2)求函数y=cos?x十4sinx的最值及取到最大值 和最小值时的x的集合 3.已知函数f)=2sinf2x-若月 [思路点拔]根据单调性求最值 1)求()的值： [解])-吾<< (2)求函数f(x)的单调递塔区间； 0<2x+< (3)当x【0,]时，求f(x)的最大值与最小值， 并指出相应的x的值 解：1)因为fx)=2sim(2x-） 高数=2cos(2x+)∈(-看音}的值战为 =2sin (-1,2) 所以f()=2im(告-晋） 6 =-2sin若 (2)y=cos2x+4sin x=1-sin2x+4sin x =-sina+4sin +1 (2)由-号+2k≤2-≤+2xk∈Z. =-(sinx-2)2+5. 所以当sinx=1,即x=2kx十空，k∈Z时，yax=4: 得-君十x≤≤否+kx,k∈乙. 所以函数f(x)的单调递增区间为 当sinx=-1,即x=2kx-至，k∈Z时m=-4 【-吾+r,号+m]∈2). 所以ymx=4,此时x的取值集合是 {1x=2x+登k∈z: (3)当x∈[，]时，2x-君 ymin=一4，此时x的取值集合是 ∈[看]◆x-看= {红x=2x-吾k∈7 ∈【一音，]，则y=2sin, 规律方法 作出y=2sint的图象如图所示， 三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y=asin x(或y=acos x)型，可利用正弦函 由y=2sin1的图象知，当1=一否，即x=0时y 数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. 2sint取得最小值-1. (2)形如y=Asin(awx十p)十b(或y=Acos(wx+p) 当1=受，即x=号时y=2sin1取得最大值2. 十b)型，可先由定义域求得ω.x十9的范围，然 后求得sin(wx十p)(或cos(wx+p)的范围，最 所以当x=0时，函数f(x)取得最小值一1；当x= 后求得最值， 吾时，画数(x)取得最大位2 随堂。步步夯实 对应学生用书P196 1.下列函数在区间[0，π]上是减函数的是 ( A.y=sin B.y=cos x B2x+至，2x+]∈z) C.y=sin 2x D.y=cos 2x 答案：B C2-要，2+]e 2.函数f)=205-的单调递增区间是(） D2x-答2x+智]∈z A.2kr+，2x+]k∈z) 答案：C ·275· 数学·必修第一册 3.函数y=sinx十sinx-1的值域为 (2):x[-零，] A.[-1,1] B是-刂 .2x- c川 e[-受] D【1] 答案：C 故ox-f)[要1： 4.函数y=1+2sin (后-的单调递指区间 fx)x=瓦，此时2红-不=0，即x=吾， 是 答案：[后x+2k,号+2∈ fm=-1,此时2x-=即x= 5已知函数f)=Ews(2x-)x∈R (3)由-1长fx)1,得-1cos(2x-牙)1， (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； 甲-9≤：-}号 (2)求函数f(x)在区间[一零，]上的最小值和最 ∴2kx-3买≤2x-平≤2张x-至，k∈7或2次x+ 4 大值，并求出取得最值时x的值； (3)求不等式-1≤f(x)≤1的解集。 ≤2a-晋≤2kx+,ke2. 解：)询题知f的最小正周期T=語-经=， w 2 即领一至<≤，k∈Z或x十平≤<kx十受火 当2kx<2x-至<2kx十x,k∈Z,即kx十吾<x≤ ∈Z, x+警，k∈Z时，f)单调递减， 故原不等式的解集为 [x-牙x]U[x+牙x+]k∈)， 故f)的单涧递减区间是[kx+否，kx十 8 (k∈Z) 课后。素养提升 对应学生课时P339 基础过关 》 3.使y=sinx和y=cosx均为减函数的一个区间是 ( ) L.若函数y=sinx和y=cosx在区间D上都单调递 塔，则区间D可以是 a(o,别 A..) B(臣 c(剖 n(2a c(,) n(贤2 答案：B 答案：D 4.(2023·天津卷，5)已知函数f(x)图象的一条对称 2.函数f(.x)=2cos 行-的单调递婚区间是 轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则f(x)的解 析式可能为 ( A[2x+2kx+]k∈ A.fx)=sin( Bf)=os( B2kx+吾，2kx+]k∈ c.f)=sin D.f(r)=cos C2x-，2x+】∈z) 答案：B 5.(多选)下列不等式中成立的是 D[2x-警，2x+]∈z A.sm1Kin号 答案：C Ccas交>as2 D.cos(-70)>sin 189 ·276· 第五章三角函数 解析：AD[对于A,因为0<1<登<受y=sin2 解析：f(x)=sinx十1的定义战为{xx≠ sin x 在0，受)上单调递增，所以sin1<sin子，故A正 kπ，k∈Z},关于原点对称，又f(-x)=sin(-x)十 1 确：对于B,sinl5云=sin号，sin誓=sn否> sin(-=-fx),而f(-x)≠f(x), ∴.f(x)为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确， sn号故B错误：对于C,因为受<2<晋<y :f经-osx+ 1 c0sr在（臣上单调运减，所以c0s领<c0s2. f(受+osx 1 cos a' 故C错误；对于D,cos(-70)=cos70°=sin20> sin18°，故D正确.] (整-f(管+小 6.(多选)设函数f)=sinr-君》 “f)的园象关于直线x=受对称，③正骑 (w>0),则下列说法正确的是 当x∈（登0）时，x)<0,①错误.故选@. A.若f(x)的最小正周期为元，则w=2 答案：②③ &若a=1,则f)的图象关于点（行0）对称 8.已知方程cos2x十4sinx-a=0在x∈[0，π]时有 解，则实数a的取值范围为 C.若f(x)在区间0，受]上单调递增，则0<w< 3 解析：因为方程cos2x十4sinx-a=0在x∈[0，π] D.若fx)在区间0,2m]上恰有2个等点，则品≤ 时有解，所以y=cos2x十4sinx,x∈[0，π]的图象 与直线y=a有交点. a 因为y=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5, 且0≤sinx≤1，所以y∈[1,4]. 解析：AD[对于A,若f(x)的最小正周期为π，则 答案：[1,4] 红=不，解得w=2,故A正确；对于B,若u=1,则 9.已知P(x(),y(),x)=4os-君)y() f)=im(-)当x=时，f(） 3cos(+)e[p,],则点P到原点的距离的 (昏-)=1，故B错误：对于C,当x∈ 最大值与最小值之和为 0,]时wx-石∈【-石，罗] 解析：0p2-16cos(-)十9cos(+} 因为f)在[0，]上单调递增，所以-吾<受 =16cosf-看}+9cos(:-看)十] 否<受，解得0<ω≤青，故C错误：对于D,当x∈ =16cos-）+9sm(- [0,2x]时，ox-吾∈【-若2xo-] =9+7os(-看} 若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点， 当e[0,]时4∈[-6，] 则元≤2xw- <2，解仔故DE] af[停小o〔-je, 7.关于函数f(x)=sinx十 品有如下四个命惠： ∴op∈6] ①f(x)的图象关于y轴对称. ②f(x)的图象关于原点对称. ⑧f(x)的图象关于直线x=对称。 所旅之和为受+ ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 答案+4 ·277· 数学·必修第一册 10.求下列函数的定义域和值域. 能力提升 -》》 (1)y=1g sin x;(2)y=2vcos 3x. 解：(I)要使lg sin有意义，必须且只需sinx 12.设函数f)=②sin(2x-)xeR >0, (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递塔区间； 解得2kπ<x<(2k十1)π，k∈Z. 又，0<sinx≤1，.lg sinxi≤0. (2②)求函数fx)在区同[管，]上的景小值和最 ∴.函数的定义域为(2kπ，(2k十1)π)(k∈Z),值域 大值，并求出取最值时x的值。 为(-0∞，0]. 解：1最小正月期了-经=， (2)要使2√cos3x有意义，必须且只需cos3x ≥0， 由2k元-受≤2x-至≤2kx+受(k∈Z. 解得2kx一空≤3x≤26x+艺，k∈Z, 得一吾≤<红+晋∈， p传吾<<+吾6ez, 36 递增区间是[x一香，kx+]∈Z。 又，0≤cos3x≤1，故0≤2√c0s3.x≤2. (2)令1=2x- 4 “西数的定义线为隐舌咨+引∈》 当=项即x=预时…=厄( 值域为[0,2]. =-1, 11.比较下列各组数的大小. sin(-与sin( 当1=受即=警时ym=厄1=区 (2)sin196°与cos156 13.已知函数fx)=-sinz+号cosx+号 ac(得)与os(是 (1)求函数f(x)的值域； (2)求不等式f(x)≤0的解集； (3)当m为何值时，关于x的方程f(x)=m在 所以n()>sn() 【一音，]内的实根最多？最多有几个？（直接 (2)sin196°-=sin(180°+16°)=-sin16°， 给出答案即可，无需说明理由) c0s156°=c0s(180°-24°)=-cos24° 解：(1)因为f(x)=c0sx-1+2c0sx十 2 =-sin66°， 因为0°<16°<66°<90°， 所以sin16°<sin66°， ∈[-1,1]，所以当cosx=1时，f(x)mx=1,当 从而-sin16>-sin66°， cos x=- 9 即sin196>cos156°. }时，fx)m=一最cosx[-1.1], 所以函数f)的位藏为【一小 期-≤c0sx 因为0<<多x,且y=5r在[0，上是减 所以-1≤c0sx≤日，得f(x)≤0的解集为 函数， [管+2kx,晋+2x个]k∈D, 所以cos号<cos， ③)当m=一号时，方程在[受，]内的实根最 多，最多有5个. ·278·