5.3 第2课时 诱导公式(二)-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第五章三角函数 第2课时 诱导公式（二） 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式五，六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由 通过诱导公式的应用提升数 特殊到一般的数学推理意识和能力 学抽象和逻辑推理素养 3继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的 能力 课前。预习学案 对应学生用书P180 ●1 [情境引入] [知识梳理] [知识点]诱导公式五、六 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山 1.诱导公式五、六 的巍峨、水的柔媚在那一刻融合…如果你的手中拿 公式五 公式六 着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你 终边 角号-a与角a的终 角受十a与角。的终 关系 边关于直线y=x 当然会准确地回答出来：对称！角α关于水平面对称 边垂直. 对称. 的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么 关系呢？ /P y=x 观察如图单位园及角。与受-a的终边. 图形 cos a, coS a, 公式 经- (+a (1)角。的终边与受-。的终边有何关系？ sin a. -sin a 提示它们的终边关于y=x对称. 2.诱导公式五、六可用语言概括 (2)若设任意角α的终边与单位圆的交点P,的坐标 (1)函数值：艺士a的正弦（余弦）值，分别等于。的 为(x,),那么角受-a的终边与单位圆的交点P,的 余弦（正弦）函数值. (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函 坐标是什么？ 数值的符号. 提示由于角。的终边与角受-。的终边关于y=x (3)本质：单位圆中，终边关于y=x对称，互相垂直的 角的三角函数之间的关系. 对称，所以P2与P1关于y=x对称，所以P2点的坐 (4)应用：与诱导公式一~四结合用于三角函数式求 标为(y,x). 值、化简、证明 ·253· 数学·必修第一册 ②思考1.如何由公式四及公式五推导公式六？ [预习自测们 提示：m(受+asi加r一（受-a力 1.若sin(+8)<0,且os(受 -0)>0,则0是 =sin(-acosa A.第一象限角 B.第二象限角 os)-o)] C.第三象限角 D.第四象限角 答案：B cosa-in o. 2.sin95°+cos185°+tan240°= 2.从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六， 答案：√3 有什么变化规律？ 3.已知o(后-小则sim(+ 提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即： 函数名改变，符号看象限 答秦：号 课堂。互动学案 对应学生用书P182 题型一 利用诱导公式求值 (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的 [例1](1)已知tana=3, 角；将不同名的三角函数化为同名的三角 求sin(a一r)+cos(x二）的值. 函数. sin(2-a)+cos2+a 注意：如-a与晋十a,十a与-a,-a与 2)已知m(后-=2求cos(后+) 至+和等互余，晋+9与暂-0，至+0与-0等 4 sin(+a)的值 互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善 [思路点拔了先化简，再求值。 于利用角的变换来解决问题 [解] (1)-sin(a-x)+cos(x-a) ⊙[变式训练] sin(-+cos号+】 1.aE知r(经+-且<则n -sin a-cos a -tan a-] cos a-sin a 1-tan a -3一1=2. 1-3 h. B号 2cos(后+小sin(+j C.-3 D.3 臣-(g-ix-(昏-川 2cos(臣-）-3则si(+） sin(管-小sin(管- A吉 B. =2×3-1 D.-22 3 规律方法 c-司 已知三角函数值，求其他三角函数值的解题思路 解析：D由co(十片 2 (1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求 角之间的关系； 得sinp= 2 ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数 名的差异 又9l<9=tamg=一tam=- 254· 第五章三角函数 2co(臣-）-号 ◇[变式训练] m(+）m管-（危-] 2.化简 =cos(臣-0）-}故选A 答案：(1)C(2)A in(+a)cos(3x+a)cosa 解析：易知 题型二利用诱导公式化简三角函数式 sn(-c小in--o） [例2]化简： -sin acos(2x+x+a)cosa (1)c0s(a-x) sin(π-a) sin(e-os(+ sin（2x+-asin2x-x-a） an(2x-a)sin(-2x-)in+】 (2 sin(x+a)cos(+c） sina-xcos-o】 sin--a)sin(x-a） [思路点拨] 确定角的变换→ -sin a(-cos a)(-sin a) cos asin a -sin a. 确定诱导公式→代入公式化简 答案：-sina 解] (1)原式=cos[-r-a)]. sin a 题型三 利用诱导公式证明恒等式 m-(g-c小-sine） [例3]求证： sin 0++cos 0 2sin(0m0+1 sin 0-cos 0 1-2sin2(π+0) -cos a.(-cos a)(-sin a) sin a [思路点拨先化简，再证明， cos a. -2sinf竖-0）(-in0-1 [证明] 右边 1-2sin20 (2)原式= an(-asin(-a)ils+(危+a】 sin[-(-a)]cosa)] 2simx+(径-9]sin0-1 tana(-sina一sin+e] 1-2sin0 simx-a-os(音-oj刃 -2sinf爱-0j小sn9-】 1-2sin'0 -tan asin a(-cos a) -2cos 0sin 0-1 sin a(-sin a) cos20+sin20-2sin20 tan asin acos a sin asin a -(sin 0+cos 0)2 sin 0+cos 0 sin'0-cos20 sin 0-cos 0 =-1. =左边，所以原等式成立 规律方法 用诱导公式进行化简时的注意点 规律方法 (1)化简后项数尽可能的少. 三角恒等式的证明的策略 (2)函数的种类尽可能的少. (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或 (3)分母不含三角函数的符号. 从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简 (4)能求值的一定要求值. 的原则 (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、 (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公 约分等 式变形法、“1”的代换法。 255· 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] 规律方法 3.求i证.os(6r+sin(-2x-0)tan(2x-D =-tan 0 1.诱导公式综合应用要“三看” 0)sin cos( 2 3x+8) 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可 证明：左边=cos Osin(一)tan(-0) 通过相加、相减分析两角的关系. cos(受+0)sin(5+8) 2 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方 -cos Osin Otan 0 sin Ocos 0 一tan0=右边. 法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 所以原等式成立 2.利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 方法 题型四 诱亭公式的综合应用 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要 [例4]在△ABC中，若sin(2π-A)= 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 -√2sin(π-B),√3cosA=-√2cos(π-B),求 关系式，还要注意三角形的隐含条件—三角 △ABC的三个内角， 形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活 汇思路点拔]先利用诱导公式化简已知的两个等 运用. 在△ABC中，常用到以下结论： 式，然后结合sin2A十cos2A=1,求出cosA的值， sin(A+B)=sin(x-C)=sin C, 再利用A十B十C=π进行求解， cos(A十B)=cos(π-C)=-cosC, 1sinA=√2sinB①， tan(A+B)=tan(-C)=-tan C, 解] 由已知得 W3cosA=√2cosB②， n(经+)=sin(臣-)os号 由①2+②2，得2cos2A=1, cos A= 2 ⊙[变式训练] 当cosA=号时，0sB= 2 2 4.已知f(a) sinx-ocos(-asin(受+a） cos(π+a)sin(-a) 又A,B是三角形的内角A=至，B=答 -6 (1)化简f(a)； C=r-(A十B)=12元. 7 (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)= tanA-sinA的值， 当cosA=- 时，c0sB= 3 2 2 解：(1)f(a)=sin acos acosa -cos a(-sin a) =cos a. 又A,B是三角形的内角， A=3元 5 2)因为f(A)=cosA=号} ,B=6: 又A为△ABC的内角： A十B>π， 所以由年方关系，得inA=-cosA=号。 :0sA=-不符合题意，含去 21 所以tanA=sinA=4 cos A 3 综上可知，A=至，B=吾，C- 12元. 所以anA-nA=号号-是 ·256· 第五章三角函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P184 1.os(臣-0）-号则sim(能+0) 5.已知sina是方程5.x2一7x-6=0的根，a是第三象 π A B.2 sin-a2 3 限角，求 tan2 (x-a) c-号 D.-2② 3 的值. 答案：A 解：方程5x2-7x-6=0的两根为11=一号，x 3 2.若cosa十x)=-号则n(--) =2, A.号 由a是第三象限角，得sina=一 5 答案：A 则cosa=一5 4 3化荷e》ee)an(经- 的结果是 .w(- A.1 B.sina C.-cos'a D.-1 答案：C sm-sf臣+o tan'a 4卫起a(昏-片正受，则m(售+习 sin acos a cos a(-sin a),tan'a=-tan'a 十sn(+)的值为 sin acos a sin'a 9 答案：-⑤ cos a 16 2 课后。素养提升 对应学生课时P333 ● .-0 基础过关 》 os(+e小ima-} 3.已知f(x)= cos(-π-a)tan(π-a) 1es()-in(-1)的宣是 -224) A.√2 B.-√2 A C.0 n号 c号 答案：A 答案：B 2.已知cos(67r+a)=号，且0<a<90,则am(37· 4.已知角0的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重 合，终边在直线4x+3y=0上，则 +a)sin2(53°-a)-cos(143°-a)= ( 2sin3F+0+5cos(5元-0) 2 A告2 B.3-2 sin(π-0) 9 C.3+22 D.3-22 A.3 R-9 9 9 C.-3 D.-4 答案：C 答案：C ·257· 数学·必修第一册 5.(多选)已知f(x)=sinx,下列式子中不成立的是 sin40°sin50 sin40°tan50 A.f(x十x)=sinx sin50° sin50° =c0s50°. B.f(2x-x)=sin x cos 50 Cf(-)-os 答案：cos509 9.设函数f(x)=asin(πx十a)+bcos(元x十B),其中 D.f(π-x)=-f(x) 解析：ABD[f(x+x)=sin(x十π)=一sinx, a,b,a,3都是非零实数，且满足f(2023)=-1,则 f(2024)的值为 ,f(2025)的值 f(2s-)-sin (2-r)-i 为 sin(e-）-sm(臣-z-osrx-x) 解析：f(2023)=asin(2023π十a)+ bcos(2023π+B) =sin(r-x)=sinx=f(x).故A,B,D不成立.] =asin(r十a)十bcos(π十B) 6.若A,B,C是△ABC的三个内角，则下列等式中不 =-(a sin a+b cos B)=-1, 成立的是 ( ) A.cos(A+B)=cos C .'a sin a+b cos B=1. B.sin(A+B)=-sin C .f(2024)=asin(2024π+a)+bcos(2024π+B) c.cos(合+c)snB =a sin a+b cos B=1. f(2025)=asin(2025π+a)+bcos(2025π+) DnB=os号 =-a sin a-b cos B=-1. 答案：1-1 解析：ABC[,A十B十C=π，.A十B=π一C. .'cos(A+B)=-cos C sin(A+B)=sin C. 10.已知角a的终边经过点P(-4,3),求 ∴，A,B都不正确，C显然不正确；同理，B十C=π一A, cos+sin(-x-a 、的值 7.已知fm)=sin(受+}m∈N).则FI)+f2) 解：角α的终边经过点P(-4,3), 3 +f(3)+…+f(2026)= .tana= 4 解析：取n=1,2,3,4可得f(1)十f(2)十f(3)十 -竖号号+竖-6，从而可得+1》 2 222 +f4k+2)+f4k+3)+f(4+4)=2-巨_2 222 -sin&·sina=tana= 3 sina·cosa 4 +E=0,keN,则f1)+f(2)+f(3)+… 11.已知函数f(a) 2 +f(2026) =506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025) tan(a+r)sin(a+π) +22s)=f+e)-号-9-0. (1)化简f(a). 答案：0 2)若)·f(e+-g,且要<a≤，求 4 8.化简in400sin(-230°)。 cos850Tan(-507的结果为】 fa)+f(a+)的值： 解析：sin400sin(-230) cos850°tan(-50) 8)若f(a+)=2fa. sin(360°+40°)[-sin(180°+50°)] cos(720°+90°+40)(-tan50) 求fa)·f+受)的值. ·258· 第五章三角函数 解：(1)f(a)=-cos asina(-tana) =-cos a. tan a(-sin a) (2)由(1)可知tang=simg 5 2)f(e+）-cos(e+）sine,因为fa) cos B 2√5 5 ·fe+》)=一日所以e0sa…sina=名，可得 sin(径-acos(x-m 所以 5cos(2025π+)+2tan(r-B) [fa)+fa+受月=(sina-eos。)=子，尚要 5×2⑤ a≤3经，得osa>sime,所以fa+fa+受 cos a(-cos B) 55 √5(-cosB)+2(-tan) 5x2+2x号 1 =sin a-cos a=3 2 _2 3)由f(e+) 2f(a)及(2)得sina=-2cosa, 2+1-151 13.已知f(a)= 联主na十coia=1,解得coca=日，所以fa) 3π） sin (x-a)cos(2x-a)sina fe+) -sin acos a=2cos'a-5 cos(-a)cos) 能力提升 (1)化简f(a)； 12.如图，在平面直角坐标系 (2)者a是第三象限角，且co(a一)言，求fa: 中，锐角α的终边与单位圆 (3)若角A是△ABC的内角，且f(A)= ，求 交于点P tanA-sinA的值. 的终边按逆时针方向旋转 sin(r-a)cos(2x-a)sin 3π 解：(1)f(a)= 艺后得到角B的终边，并与 7π cos(-a-r)cos一a+ 单位圆交于点Q. =sina·cosa·(-cosa) (-cosa)·(-sina) -cos a, (1)求点Q的坐标； 即f(a)=-cosa. sin-acos(x-m (2)求 5cos(2025π+B)+2tan(π-B) 的值 1 写m得cosa= 解：(1)由P5,m） 所以-sina=号，即sina=一号，又因为a是第三 5 象限角， 所以cosa=-√1-sina=-2V6 5 所以sina=1-cosa=25 5 所以f(a)=-cosa=2y6 5 由题可知B=父十a, (3)由f4=是，得-c0sA=号，所以0sA= 3 所以角A是钝角，sinA=-cosA=号， cos B-cosfa+)--sin a-- 5 tan A=sin A=4 cos A 3 所以，点Q的坐标为 所以anA-mA=一台专=一器 ·259·