5.1.2 弧度制-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

5.1.2 课程标准 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角 的互化 2.体会引入弧度制的必要性 3.理解弧度制下弧长与面积公式 ● 课前。 [情境引入] 炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法.扇子 在美观设计上，可考虑用料、图案和形状.若从数学角 度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有 美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的 角度单位—弧度 [知识梳理] [知识点一]度量角的单位制 1.角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 周角的60等于1度，记作1只 2.弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的 角，用符号rad表示，读作弧度. 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制. (2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个 负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那 么，角a的弧度数的绝对值是a= ?思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆 的半径是否有关系？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的孤长与半径 的比值是唯一确定的.所以1弧度的角的大小与 圆的半径无关. 第五章三角函数 弧度制 素养解读 度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念及表示， 重点培养学生的数学抽象、直观想象 素养 预习学案 对应学生用书P161 [知识点二]角度与弧度的换算 1.角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=2πrad 2πrad=360 180°=rrad πrad=180 1°=180rad 1ad- ≈0.01745rad ≈57.30° 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 0 15°30 45° 609 75 909 1209 135 150 弧 5π 0 2x 3 5π 度 12 6 3 12 2 3 4 度 180 210 225 240 270° 300 315 330 3601 孤 5π 4π 3π 5 7元 11π 不 度 6 x 3 2 3 4 6 2元 ?思考2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它 们之间换算的关键是什么？ 提示：计算时，我们要特别注意πrad=l80°，用这 个公式进行互化即可. 3.一30转化为弧度是多少弧度？2转化为角度是 3 多少度？ 提示：一 6 120°. 数学·必修第一册 [知识点三]扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为L,圆心角为a(n°)，则 度量单位 n为角度制 a为弧度制 类别 (0°<n°<360°) (0<a<2π) 扇形的弧长 l-nπR 180 l-aR 扇形的面积 S=πR2 S- 360 2R= ?思考4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公 式中有四个量a、R、l、S,根据公式已知几个量可 以求其他量呢？ 提示：知二求二 5.你认为式子a=中，比值与所取的圆的半径 大小是否有关？ 提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对 应的孤长与半径的比值是唯一确定的 课堂⊙ ● 题型二 角度制与弧度制的换算 [例1](1)把202°30化成弧度； (2)把- 是x化成角度： (3)已知a=15,8=奇y=1rad,0=105,9=登， 7π 试比较a、B、Y、0、9的大小 汇思路点拨“第(1)(2)小题可直接利用1°= rad1ad=(四)选行装化.第(3)小是可 π 先统一单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为 弧度，再根据实数大小进行比较 [解](1)202°30'=202.5°= 9 (2)- (×12）=-75 (3)方法-（化为孤度）：a=15=15X180-登， 0=105=105×10-7 显然<品<1<径故a<p<0= 1210 方法二（化为角度）： 7180 °=18°，Y=1≈57.30°， (π ·22 [预习自测门 1.下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心 角大 C.所有1弧度的圆心角所对的孤长都相等 D.用孤度表示的角都是正角 答案：A 2.下列各式正确的是 A.π=180 B.π=3.14 C.90°=5rad D.lrad=π 答案：C 3.已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长 为 ,扇形的面积为 案智 2π 互动学案 对应学生用书P163 -7登×(9}-10 显然，15°<18°<57.30°<105°.故a<3<y<0=9. 规律方法 1.角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一 对应关系. (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但 数量相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任 意非零角，单位不同，数量也不同， (3)牢记180°=πrad,充分利用其进行角度制与 弧度制互化. (4)角度的单位“。”不可省略，而弧度的单位“rad” 可以省略. (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住 “x=180”这一关系，由它可以得：度数×80 弧度数，弧度数X 180 °=度数，同时还要牢 π 记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系. 3.将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单 位时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用 “1° rad”化为弧度即可. 180 ⊙[变式训练] 1.(多选)下列角度制与孤度制的互化，正确的是 ) A.6730化成弧度是 B.-10r化成角度是一600 3 C.-150°化成弧度是-7 6 D5化成角度是15 解折：ABD[对于A,67产30=67.5×1总0-警选 项A正确；对于B,一 3 -600°，选项B正确；对于C,-150°=-150×180 =一晋选项C结送：对于D,臣=是×(9) 15°，选项D正确.] 题型二】 用弧度制表示任意角 [例2]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合. [思路点拨]先表示出终边在x轴、y轴上的角 的集合，再求它们的并集。 [解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=kπ，k∈Z},角的终边在y轴上的角的集合 ∴.角的终边在坐标轴上的角的集合为 ala=kx,k∈zU{0a=吾+k∈z ={a=2kk∈ZU{a=2k+1受k∈Z ={a=受ez 规律方法 1.弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧 度制，求象限角、区域角也然.难点是区间合并 时，要作到准确无误.如本题中，前一集合是以 受的偶数倍表示，后一集合是以受的奇数倍表 示，两者合并，即用三的整数倍表示。 2.用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ十α(k∈Z) 时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍 (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. ·2 第五章三角函数 ◇[变式训练] 2.已知41=-570°a,=750°4-2=-号 (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们各自的 终边所在的象限； (2)将3，B用角度制表示出来，并在[-720°， 一180门内找出与它们终边相同的所有角. 解：(1)a1=-570°=-570x=-19x=一2×2x十 180 6 5π 分8=750°兰750r=25r=2×2x十8 180 6 6,a225 故a1=一19 6 ，a1的终边在第二象限，a2 的终边在第一象限. (2a,-F-×1s0=108. 月=-=-×180=-602 设01=108°+k1·360°(k1∈Z), 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 令-720°≤01≤-180°，-720°≤02≤-180°， 即-720°≤108°+k1·360°≤-180°(k1∈Z), -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z), 得k1=-2或k1=-1,k2=-1. 故在[-720°，-180门内，与B,终边相同的角是 -612°和-252°，与32终边相同的角是-420°. 题型 扇形的弧长公式及面积公式 [例3]已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 行求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积， 汇思路点拨了利用弧长公式和面积公式直接 求解。 [解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆 心角为，所以半径r=1=2E 3 π sin 3 3 所以这个圆心角所对的孤长1=25×2x=43r 3 3 9 ②)由1)得扇形的而叔S=号×25×1✉ 3 9 4π 91 9 数学·必修第一册 规律方法 关于弧度制下扇形问题的解决方法 1)三个公式：a=,S=吉女=方r,要格当 选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过 解方程（组）求值 (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径 表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一 般利用二次函数的最值求解。 ⊙[变式训练] 3.已知扇形的圆心角是a,半径是r,弧长为l. (1)若a=100°，r=2,求扇形的面积； 随堂。 ● 1.已知a=-3rad.则a是 ( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案：C 2.扇子最早称“要”，其功能并不是纳凉，而是礼仪 用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇文化是中国 传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建 筑等艺术审美之中.图①为一古代扇形窗子，此 窗子所在扇形的半径（图②）AO=80cm,圆心角 为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面 积为 图① 图② A.108000cm2 B.108000rcm C.600πcm2 D.600 cm2 答案：C 3.角是第 象限角. 答案：一 ·2 (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并 求此时扇形圆心角的弧度数. 解：1D因为a=10=10×7高0=号 所以扇形的面积S==名ar2-}×晋×4 1 9 =10π 9 (2)由题意可知l十2r=20,即l=20-20r, 所以扇形的西积5=r=(20-2r)·7 1 =-(r-5)2+25, 易知当r=5时，扇形的面积最大，最大值为25， 此时1=20-2×5=10，a=↓=10=2. 步步夯实 对应学生用书P165 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的B 弧长是2，则扇形的圆心角α的弧 度数为 ;弦AB的长为 答案：22sin1 5.已知a=-800°. (1)把a改写成B+2kπ(k∈Z,0≤<2π)的形式，并 指出a是第几象限角； (2)求y,使y与a的终边相同，且y（受，受) 解：(1)-800°=-3×360°+280°，280°= 14 9r, a=-800°=14r+(-3)×2元 9 :Q与角4π终边相同，a是第四象限角 9 (2):与a终边相同的角可写为2kr+14π，k∈Z的 9 形式，而y与a的终边相同y=2张x十1号，k∈乙 又7e(号，号）-吾<2+4<受k∈z 解得k=-1,y=一2r十14π=一4如 9 9 30 课后 基础过关 1.把50°化为弧度为 ( A.50 B.18 π C18 D.9000 5π 答案：B 2.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太 阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气 对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置.根 据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对 圆心角的弧度数为 春分 立夏谷雨 惊蛰雨水立 裹 、小寒 夏至 冬至 小暑 大 大雪 立秋 处 白露 露葡修立柔 秋分 A- B. c. 5π 12 D. 2 答案：D 3.已知半径为3的圆孤所对的圆心角为答，则该园孤 所在的扇形面积为 ( A.√5π B C.2π D.3x 答案：D 4.已知集合M= =经+∈zN {=经+受z},则有 A.M=N B.M￥N C.MN D.M∩N=☑ 答案：C 5.下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是 ( A.45°+2kπ(k∈Z) k8℉+6·360k∈z C.-315°+k·360°(k∈Z) D.至+2kx(e∈Z) ·2 第五章三角函数 素养提升 对应学生课时P323 解析：CD[对于A,B,在同一个表达式中，角度制 与孤度翻不能混用，所以A,B错误.对于C,F 4x-7乐，则角与一至的终边相同，且一开化角度 4 4 制为-315°，则角-315°与9的终边相同，故-315° 4 十k·360(k∈Z)是与9匹的终边相同的角的表达 4 式，故C正确；对于D,由要=2x十，得要与年的 4 终边相同，则与9严终边相同的角可以写成十2π (k∈Z)的形式，故D正确.] 6.(多选)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄， 听云鹤缥缈，玉佩丁冬”.玉佩是我国古人身上常佩 戴的一种饰品.现有一玉佩如图①所示，其平面图 形可以看成扇形的一部分（如图②），已知AD∥ BC,AD=2AB=2CD=2BC=4, 图① 图② A.∠ABC=2 3 B孤AD的长为彩 C.该平面图形的周长为6十号 D.该平面图形的面积为-尽 解析：ACD[如图，分别延长 AB与DC交于点O,易得A △A0Dn△B0C,得OB=0C OA OD AD=之，又AB=CD=2,故 AO=DO=4,所以△AOD为等边三角形，∠BOC =∠OBC=∠BAD=号，所以∠ABC=要，得1D =A0·∠B0C=5,该平面图形的周长为6+5， 面积为20·A0-×2×5=85-5.] 7.已知a=30月=开y=1,0=105,9=则@，0 Y,0,9的大小关系为 31 数学·必修第一册 解析：（化为孤度）：0=30°=30X总0-音，0=105 =15×高0-器 显然吾<<1<径<故<3y0 答案：a<By<0<o 8.用弧度制表示终边落在x轴上方的角Q的集 合为 解析：若角a的终边落在x轴上方，则2kπ<α< 2kπ十π(k∈Z). 答案：{a2kπ<a<2kπ十π，k∈Z} 9.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长， 则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为 ;若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的 周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为 解析：设圆半径为r,这段孤所对圆心角的孤度数为 0,则圆外切正三角形的边长为23r,191=25 =2√3；又圆内接正方形的边长为√2r,圆孤长为 42,.01=4r=42. 答案：2√542 10.把下列角化为2kπ十a(0≤a<2x,k∈Z)的形式： (1)16π：(2)-315. 3 解：1)因为05<2：所以19=4红+ 3 3 (2)-315=-315×80=-平-2x+受 因为0≤至<2x,所以-315°=-2x+平 11.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角a(0<a<π)的大小； (2)求圆心角α所在的扇形弧长1及弧所在的弓 形的面积S. 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 所以△AOB为等边三角形，所以a=∠A0B=于 (2a=背，所以1=ar=10, 3 Sa=2=号×19×10=0s 2 3 3 又因为S△MB= ×10X10x9-255. 2 所以S=S05-S人m=50-255 3 ·28 能力提升 -》》 12.已知a=1690°， (1)把a写成2kπ十(k∈Z,3∈[0,2π))的形式； (2)求0，使0与a终边相同，且0∈(-4π，4π). 解：(1)1690°=4×360°+250°=4×2m+25 8. (2)日与&终边相同，.0=2kπ+发π(k∈Z) 25 又0∈(-4π，4π)-4π<2kr+18r<4r. 解得-号器<0∈7，k=-2,-1,01. 0的位是一餐，格器0 112561 13.(1)已知扇形的周长为20cm,面积为9cm,求扇 形圆心角的弧度数。 (2)一个扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形的最大面积. 解：(1)设扇形的半径为rcm,孤长为lcm,圆心角 为0，则1十2r=20,∴.l=20-2r. 又“2=9.即2(20-2r)r=9r2-10r+9 2 =0, 即(r-1)(r-9)=0,∴.r1=1,r2=9. 当r=1时，1=18，则0==18>2x(含去)，当r =9时，=2，则9=-号，甲扇形园心角的范度 数为2 91 (2)设扇形的半径为rcm,则孤长为l=(20- 2r)cm. 由0<1<2r,得0<20-2r<2xr,.10 <10. 于是扇形的面积为S=2(20-2r)r =-(r-5)2+25 (x+1<r<10. 10 当r=5时，l=10,a=2,S取到最大值，此时最大 值为25cm2. 故当扇形的圆心角α等于2孤度时，这个扇形的 面积最大，最大面积是25cm2. 32