3.3 幂函数-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 3.3 课程标准 1.通过实例，了解幂函数的概念 2.结合函数y=x、y=x2、y=x3、y=x、y 子的图 情况及性质 3.会利用幂函数解决一些问题 课前 [情境引入] 数学史上很早就借用 “幂”字，起先用于表示面积， 后来扩充为表示平方或立方 1859年中国清末大数学家李 善兰(1811~1882)译成《代微 积拾级》一书，创设了不少数 学专有名词，如函数、极限、微 分、积分等，并把“Powr”这个词译为“幂”.这样“幂” 就转译为若干个相同数之积. 大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的 方式来表示若千个相同数的乘积.直到17世纪才开 始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的 趋势 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好 的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角， 如“A”写作“A旷”，这种记法与现在相比较，除了数字 采用罗马数字外，其余完全一样.一年以后，法国数学 家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数 字，成了今天的样子. [问题]f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=1以前叫什么 函数，它们有什么共同特征？ 提示：正比例函数、二次函数、反比例函数. [知识梳理] [知识点一]幂函数的概念 一般地，函数y=x”叫做幂函数，其中x是自变 量，a是常数. 2思考1.如何判断一个函数是幂函数？ 提示：幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为1； ③幂x的系数为1； ④只有1项. 幂菡数 素养解读 象，了解它们的变化通过幂函数的图象及性质提升直 观想象和数学抽象素养 预习学案 对应学生用书P82 [知识点二]幂函数的图象和性质 亲函数 y=x y=r2 y=ri y=x交 y=xr-l 图 0 (-∞，0)U 定义域 R [0,+∞) (0,十∞) (-∞，0)U 值域 [0,+∞ [0,+∞) (0,+o∞) 奇偶性 奇西蚊 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 x∈[0，+o∞ x∈(0，十∞) 在R上 是增函数 在R上的 [0,+∞)上 是减函数 单调性 是增函数 x∈(-∞，0 增函数 增函数 x∈(-，0) 是减函数 是减函数 定点 (1,1) (1)本质：幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的 性质是根据函数图象总结得到的， (2)应用：①求定义域；②求值域；③比较大小；④求单 调区间 ?思考2.通过5个幂函数图象的观察，哪个象限 一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数 的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一 定没有幂函数的图象 3.当a>0时，幂函数y=x°的图象在第一象限内有 什么共同特征？ 提示：图象都是从左向右逐渐上升 20 [预习自测] 1.下列函数中，不是幂函数的是 A.y=π B.y=t3 C.y=√a 答案：A 2.下列命题中，不正确的是 A.幂函数y=x1是奇函数 课堂⊙ 题型 幂函数的概念 [例1]函数f(.x)=(m2-m-1)x+m-3是幂函数， 且当x∈(0，十o∞)时，f(x)是塔函数，求f(x)的解 析式 汇思路点拨]可根据幂函数的定义形式列方程求 出m,再由单调性确定m. [解]根据幂函数定义得，m2-m一1=1， 解得m=2或m=-1, 当m=2时，f(x)=x3在(0，十o∞)上是增函数； 当m=一1时，f(x)=x3在(0，十o∞)上是减函数， 不合要求.故f(x)=x3. 规律方法 1.判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函 数是否为y=x(a为常数)的形式，即函数的解 析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常 数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 2.求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数 解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关 问题的隐含条件 ②常用方法 设幂函数解析式为f(x)=x,根据条件求出a. ◇[变式训练] 1.已知幂函数f(x)=x3+4(k∈Z)是偶函数，且在 (0,十∞)上单调递增 (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(3x+2)>f(1-2.x). 解：(1)因为f(x)是幂函数，且在(0，十∞)上单调 递增， 所以3k一k2十4>0，解得-1<k<4,又k∈Z,所以 k=0,1,2或3. ·1g 第三章函数的概念与性质 B.幂函数y=x2是偶函数 C.幂函数y=x既是奇函数，又是偶函数 D.y=x既不是奇函数又不是偶函数 答案：C 3.已知幂函数f(x)的图象过点(3,2)，则f(x) 答案：x1g,2 互动学案 对应学生用书P83 又f(x)是偶函数，所以3k一k2十4是偶数，所以k =0,1,2或3，此时3k一k2十4=4或6，所以f(x) =x或f(x)=x. (2)由(1)中偶函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， 可将f(3x+2)>f(1-2x)化为f(|3x+2)> f(1-2x),即|3.x+2|>1-2.x,解得x<-3 所以原不等式的解集是(-0，-3)U(-号，十∞ 题型三 幕函数图象及其应用 [例2]点(E,2)与点（-2，-)分别在幂函数 f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x) >g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). 汇思路点拨] 根据题意求出f(x),g(x)P 画出f(.x)、g(x)图象→ 根据图象分别确定x取值 [解]设f(.x)=x,g(x)=x, 则(W2)=2,(-2)=-1 2 .a=2,3=-1. ∴f(x)=x2,g(x)=x1. 分别作出它们的图象如图所示， 由图象可知， ①当x∈(-∞，0)U(1,十o∞)时，f(x)>g(x)； ②当x=1时，f(x)=g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x). 数学·必修第一册 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： (0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴 (简记为指大图低)；在(1，十∞)上，指数越大， 幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）. (2)依据图象确定幂指数a与0,1的大小关系，即 根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y= x1或y=x或y=x3)来判断 ◇[变式训练] 2.给定一组函数解析式：①y=x;②y=x音；③y x;④y=x音；⑤y=x立；⑥y=x青；⑦y=x言，及 图中的一组函数图象.请把图象对应的解析式序号 填在图象下面的括号内 解析：根据幂函数的图象特征确定相应的图象.由第 一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知α<0， 而第一个图象关于原，点对称，则为奇函数；第二个 图象关于y轴对称，则为偶函数；第三个图象在y 轴左侧无图象，即在（一©∞，0）上无意义，因而这三 个图象下方小括号内应分别填⑥④③.由第四、五、 六个图象在第一象限的图象特征可知0<α<1，而 第四个图象关于y轴对称，则为偶函数；第五个图 象关于原点对称，则为奇函数；第六个图象在y轴 左侧无图象，即函数在（一∞，0）上无意义，因而这 三个图象下方小括号内应分别填②⑦①.最后一个 图象对应的幂指数大于1，故填⑤ 答案：⑥④③②⑦①⑤ 题型 幕函数性质及其应用 [例3]比较下面各组数的大小： 1(号)与()， 2(号)与()： 汇思路点拨]用幂函数的单调性判断 1 [解](1)幂函数y=x°.5在(0，十o∞)上是单调 递增的又号>日（得）>()》 (2)幂函数y=x1在(-∞，0)上是单调递减的， 又- -是…()>(》 规律方法 (1)利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 直 当幂指数相同时，可直接利用 幂函数的单调性来比较 当幂指数不同时，可以先转化 种方法 转化法 为相同幂指数，再运用单调性 比较大小 当底数不同且幂指数也不同 而不能运用单调性比较大小 间量法 时，可选取适当的中间值与 两数分别比较，从而达到比 较大小的目的 (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同 单调区间内，否则无法比较大小 ⊙[变式训练] 3.比较幂值大小： ①3和3.1号； ②一8和 (): ®(-)和〔-)， ④4.1,3.8音和(-1.9)号 解：①函数y=x在(0，十o∞)上为减函数， 又3<3.1，.3>3.1 ②-8= (侣)，画数y=在0，十∞)上为 增函数，又名>古则（合）广>（合）。 从而-8<-（合） @(-号)-()()-() 函数y=x;在(0，十o∞)上为减函数， 号>吾()<() ④4.1>1=1,0<3.8<1=1，(-1.9) <0, .(-1.9)<3.8<(4.1). 9 随堂。 1.下列幂函数中①y=x1;②y=x;③y=x;④y=x; ⑤y=x3,其中在定义域内为塔函数的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 2.直线y=1,y=x,x=1及幂函数y=x1的图象将 直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那 么幂函数y=x言的图象在第一象限中经过( x=1 y=x ④ ③ ⑤ ② y=1 0 ① y=x A.③⑦ B.③⑧ C.④⑦ D.①⑤ 答案：D 3.已知幂函数f(x)=x的部分对应值如表： 1 1 2 f(x) 1 2 2 课后 基础过关 》 1.下列命题正确的是 A.当a=0时，函数y=x“的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.幂函数的图象不可能出现在第三象限 D.图象不经过点（一1,1）的幂函数，一定不是偶函数 答案：D 2.在同一平面直角坐标系内，函数y=x“(a≠0)和 y=ax-上的图象可能是 ) 米 答案：C 第三章函数的概念与性质 步步夯实 对应学生用书P85 则f(x)的单调递塔区间是 答案：[0，十∞) 4.已知函数f(x)=(m一2)xm是幂函数，若f(k2十3) 十f(9一8k)≤0，则实数k的最大值是 答案：6 5.已知函数f(x)=(m2+2m)·xm+m1,m为何值 时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数； (3)幂函数 解：(1)若函数f(x)为正比例函数， 则m+m-1=1, m2+2m≠0， .m=1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 1m2+m-1=-1, m2+2m≠0， .m=-1, (3)若函数f(x)为幂函数，则m2十2m=1, .m=-1±√2. 素养提升 对应学生课时P287 3.函数y=(x一1)的图象恒过定点 A.(1,0) B.(2,1) C.(0,-1) D.(m+1,1) 答案：B 4.已知a ()6=()=() ,则a,b,c 的大小关系为 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c 答案：D 5.(多选)下列函数中，在(0，十∞)上单调递增且图象 关于y轴对称的是 () A.f(x)=x3 B.f(x)=x2 C.f(x)=x-2 D.f(x)=lx 解析：BD[A选项，f(x)=x3的定义域为R,在 (0,十∞)上单调递增，但f(-x)=-x3≠f(x),即 f(x)=x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A 不符合题意；B选项，f(x)=x2的定义域为R,在 (0,十o∞)上单调递增，且f(-x)=(-x)2=x2= f(x),所以f(x)=x2是偶函数，图象关于y轴对 23 数学·必修第一册 称，B符合题意；C选项，f(x)=x的定义域为 (-∞，0)U(0,十∞)，在(0，十∞)上单调递减，C 不符合题意；D选项，f(x)=|x的定义域为R,在 (0,十∞)上单调递增，且f(-x)=|一x|=x= f(x),所以f(x)=x|是偶函数，图象关于y轴对 称，D符合题意.] 6.（多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则 A.函数f(x)为减函数 B.函数f(x)为偶函数 C.当x≥4时，f(x)≥2 当>>0时生(） 2 解析：CD[设幂函数f(x)=x,则f(9)=9=3 解得a=是，所以fx)=,定义战为[0，十0) A选项，因为2>0，所以f(x)在[0，十∞)上为增 函数，故A错误；B选项，因为f(x)的定义域不关 于原点对称，所以函数f(x)不是偶函数，故B错 误；C选项，由A可知，f(x)在[0，十o∞)上单调递 增，故当x≥4时，f(x)≥f(4)=4=2,故C正确； D选项，当x2>x1>0时， a-色力 2 =4十x十2V西_十x2 4 2 2-x1-x2=-（-)》<0, 4 又≥0，所以)f<f(色）D 2 正确.] 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x,则 f(一8)的值是 解析：由题意，得f(-8)=-f(8)=一8 =-(23)=-22=-4. 答案：一4 8幂西数y=f(x)的图象经过点(2，)，则满足 f(x)=一27的x值等于 解析：设f)=t,由题意可知2”=名8=-3，即 fx)=.由x=-27可知x=-号 答案：一3 ·12 9.若(a十1)<(3-2a)立，则实数a的取值范围是 ;若(a十1)>(3-2a)立，则实数a的取 值范围是 解析：因为函数y=x是定义在[0，十∞)上的增函 数，则由(a十1)立<(3-2a)可得 「a+1≥0， 3-2a≥0， 解得-1<0<导故实量。的取位 a+1<3-2a, 范周足-1，号) 由(a+1)>(3-2a)克， 「a+1≥0， 可得{3-2a≥0， 解得号<a≤ a+1>3-2a, 故实教a的取值花四足（侵，引 答案1，号)（后引 10.比较下列各组数的大小： a()与()： 2(-)'与()'： 8()与() 解：(1)：幂函数y=x0,5在(0，十∞)上是单调递 增的， 又>()>() (2):幂函数y=x1在(-∞，0)上是单调递减 的又-号<- ()>() (3):函数y1=x÷为(0，十o∞)上的增函数， 又号>1， ()>1=1 又()<1 ()>() 11.已知幂函数y=x3m9(m∈N*)的图象关于y轴 对称，且在(0，十∞)上函数值随x的增大而减小， 求满足(a十1)了<(3-2a)了的a的范围. 解：函数在(0，十∞)上递减， ∴.3m-9<0,解得m<3,又m∈N*,.m=1,2 又函数图象关于y轴对称，.3m一9为偶数，故m =1, .原不等式可化为(a十1)宁<(3-2a)言， 即1 1 a+13-2a’ 3a-2 移项统分a十i(2a-3<0 解号<a<或aK-1 a的取位范为(-，-1DU(侣，) 能力提升 》 12.已知幂函数f(.x)=xm-m3(m∈Z)为偶函数，且 在区间(0，十∞)上是单调减函数. (1)求函数f(x)的解析式； （2)讨论Fx)=aa-无a的奇倡性 解：(1)f(x)在(0，十o∞)上单调递减，.m2-2m -3<0→(m-3)(m十1)<0→-1<m<3,.'m∈ Z,.m=0,1,2, 当m=0,2时，f(x)=x3,不合题意，当m=1 时，f(x)=x4,符合题意， .f(x)=x4. (2)由1)知，F(x)=号-b, ①当a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数； ②当a≠0且b=0时，F(x)为偶函数； ③当a=0且b≠0时，F(x)为奇函数； ④当a=0且b=0时，F(x)既是奇函数又是偶 函数 13.已知幂函数f(x)=（m2-4m十4)x53m在(0， 十o∞)上单调递塔，二次函数g(x)=ax2十2x十c. (1)求实数m的值. (2)当c=1时，Vx∈[1,2]，f(x)的图象恒在 g(x)图象的下方，求实数a的取值范围 (3)若a≤，yx∈R,g(x)≥0恒成立，求 a十4c一4的最小值. 2-a ·125 第三章函数的概念与性质 解：(1)因为暴函数f(x)=(m2-4m十4)x5-3m在 (0,十∞)上单调递增， 1m2-4m+4=1, 所以 解得m=1. (5-3m>0, (2)由(1)得f(x)=x2, 当c=1时，g(x)=ax2十2x十1. 因为Hx∈[1,2]，f(x)的图象恒在g(x)图象的下 方， 所以Vx∈[1,2]，都有f(x)<g(x), 即x2<a.x2+2.x+1, 分离参数可得a>-1-2十1对Vx∈[1,2]恒 成立， 所以>(-是+1） max 因为x[1,2],所以∈2川 所以-是-2+1=-（侵+月+2≤-号+2 即(-+1=子所以> 又a≠0，所以实数口的取位范国为〔，00 (0,十o). (8)若a≤是，VxeK:g)=ar+2z+c≥0a ≠0)恒成立， 则 所以 △=4-4ac0, ac≥1， 3 0<a≤2’ 即 所以0+c-4==(2-a)+4c-2=4-2-1≥ 2-a 2-a 2-a 4一2 a 3 3, 2 当且仅当a=号c=}=号时取等号， a 3 所以a士的最小值为 1 2-a