第5章 5.5 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过“两角和公式中令α=β”的情境问题导入，引导学生自主推导公式，结合预习学案梳理公式及角的取值范围等注意事项，课堂互动以给角求值、给值求值、化简证明题型深化应用，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学思维，如通过“倍角是否为具体角”等追问培养逻辑推理，分层设计例习题（如预习自测、随堂夯实）提升数学运算，解题方法总结帮助学生用数学语言表达规律，既助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第4课时　二倍角的正弦、 余弦、正切公式 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程 2．能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明 通过学习倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数学逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，你能得出什么结论？ 提示：sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α. cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α，即cos 2α＝cos2α－sin2α. tan(α＋α)＝eq \f(tan α＋tan α,1－tan αtan α)＝eq \f(2tan α,1－tan2α)，即tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). [知识梳理] [知识点]　二倍角的正弦、余弦、正切公式　 函数 公式 α＝β 简记符号 正弦 sin 2α＝　2sin αcos α　 Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝　cos2α－sin2α　 ＝　2cos2α－1　 ＝　1－2sin2α　 C(α＋β) C2α 正切 tan 2α＝　eq \f(2tan α,1－tan2α)　 T(α＋β) T2α 1.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗？ 提示：sin 2α，cos 2α中α为任意角，tan 2α中，2α≠kπ＋eq \f(π,2)即a≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z. 2．sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式中，2α是α的倍角，角α一定为具体角吗？如何理解倍角的含义呢？ 提示：角α不一定是具体角，也可为角的关系式，二倍角只是相对的，如4α是2α的二倍，α是eq \f(α,2)的二倍，2α＋eq \f(π,3)是α＋eq \f(π,6)的二倍． 3．你能用2α的余弦表示出sin 2 α、cos 2 α吗？ 提示：由cos 2α＝1－2sin 2α，得sin 2 α＝eq \f(1－cos 2α,2)； 由cos 2α＝2cos 2 α－1，得cos 2 α＝eq \f(1＋cos 2α,2). 4．2sin eq \f(α,2)cos eq \f(α,2)，cos2eq \f(2α,3)－sin2eq \f(2α,3)，eq \f(2tan \f(α,4),1－tan 2\f(α,4))的结果分别是什么？对二倍角中的“二倍”你如何理解？ 提示：三式的结果分别是sin α，cos eq \f(4α,3)，tan eq \f(α,2).二倍角中的“二倍”是相对的，只要公式中两个角是二倍的关系即可，并不限定为α，2α. [预习自测] 1．sin 105°cos 105°的值为(　　) A.eq \f(1,4)　　 B．－eq \f(1,4)　　　 C.eq \f(\r(3),4)　　 D．－eq \f(\r(3),4) 答案：B 2．sin2eq \f(5π,12)－sin2eq \f(π,12)＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3) 答案：C 给角求值 [例1] 求下列各式的值． (1)cos eq \f(π,5)cos eq \f(2π,5)； (2)eq \f(1,2)－cos 2eq \f(π,8)； (3)tan eq \f(π,12)－eq \f(1,tan \f(π,12)). [思路点拨]　先分析式子结构特征，再变形运用公式求值． [解]　(1)原式＝eq \f(sin \f(π,5)cos \f(π,5)cos \f(2π,5),sin \f(π,5)) ＝eq \f(\f(1,2)sin \f(2π,5)cos \f(2π,5),sin \f(π,5))＝eq \f(\f(1,4)sin \f(4π,5),sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(1,4). (2)原式＝－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos 2\f(π,8)－1))＝－eq \f(1,2)cos eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4). (3)原式＝eq \f(tan 2\f(π,12)－1,tan \f(π,12))＝eq \f(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan 2\f(π,12))),2tan \f(π,12)) ＝－2·eq \f(1,tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))) ＝eq \f(－2,tan \f(π,6))＝－2eq \r(3). 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． [变式训练] 1．(1)sin eq \f(π,12)coseq \f(π,12)＝　________　； (2)eq \f(2tan 150°,1－tan2150°)＝　________　. (3)已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，则cos(2θ－15°)＝　________　. 解析：(1)原式＝eq \f(2sin \f(π,12)cos\f(π,12),2)＝eq \f(sin\f(π,6),2)＝eq \f(1,4). (2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－eq \r(3). (3)∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，∴sin(θ＋15°)＝eq \f(4,5). ∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝eq \f(24,25)， cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25). ∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50). 答案：(1)eq \f(1,4)　(2)－eq \r(3)　(3)eq \f(17\r(2),50) 　给值求值 [例2] 若cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq \f(4,5)，eq \f(5π,4)<x<eq \f(7π,4)，且x≠eq \f(3,2)π.求eq \f(sin 2x－2sin 2x,1＋tan x)的值． [思路点拨]　化简所求式，使其出现角eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))，整体代入求解． [解]　eq \f(sin 2x－2sin 2x,1＋tan x) ＝eq \f(2sin xcos x－sin xcos x,cos x＋sin x) ＝eq \f(sin 2xcos x－sin x,cos x＋sin x) ＝sin 2xeq \f(1－tan x,1＋tan x) ＝sin 2xtan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1))tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))， ∵eq \f(5π,4)<x<eq \f(7π,4)， ∴－eq \f(3π,2)<eq \f(π,4)－x<－π. 又∵cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq \f(4,5)， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq \f(3,4). ∴原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(16,25)－1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(21,100). 解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找己知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (3)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cos(eq \f(π,2)－2x)＝cos[2(eq \f(π,4)－x)] ＝2cos2(eq \f(π,4)－π)－1＝1－2sin2(eq \f(π,4)－x)； ②cos 2x＝sin(eq \f(π,2)－2x)＝sin[2(eq \f(π,4)－x)] ＝2sin(eq \f(π,4)－x)cos(eq \f(π,4)－x)． [变式训练] 2．(1)若sin α＝eq \f(3,5)，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan 2β的值为　________　. (2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0<x<eq \f(π,4)，则eq \f(cos 2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值为　________　. 解析：(1)由sin α＝eq \f(3,5)，且α是第二象限角， 可得cos α＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝－eq \f(3,4)， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1＋1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝7， 所以tan 2β＝eq \f(2tan β,1－tan2β)＝－eq \f(7,24). (2)∵0<x<eq \f(π,4)，∴0<eq \f(π,4)－x<eq \f(π,4). 又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13). ∵cos 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) ＝2coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) ＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))， ∴eq \f(cos 2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(24,13). 答案：(1)－eq \f(7,24)　(2)eq \f(24,13) 化简与证明 [例3] 化简：(1)eq \f(1,1－tan θ)－eq \f(1,1＋tan θ)； (2)eq \f(1＋sin 4α＋cos 4α,1＋sin 4α－cos 4α). [思路点拨]　统一角，化倍角为单角.4α＝2×2α. [解]　(1)原式＝eq \f(1＋tan θ－1－tan θ,1－tan θ1＋tan θ) ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝tan 2θ. (2)原式＝eq \f(1＋2sin 2αcos 2α＋2cos22α－1,1＋2sin 2αcos 2α＋2sin22α－1) ＝eq \f(2cos22α＋2cos 2αsin 2α,2sin22α＋2sin 2αcos 2α) ＝eq \f(2cos 2αcos 2α＋sin 2α,2sin 2αsin 2α＋cos 2α) ＝eq \f(1,tan 2α). 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件． [变式训练] 3．求证：eq \f(1＋sin 4α－cos 4α,1＋sin 4α＋cos 4α)＝tan 2α. 证明：法一：左边＝eq \f(1－cos 4α＋sin 4α,1＋cos 4α＋sin 4α) ＝eq \f(2sin22α＋2sin 2αcos 2α,2cos22α＋2sin 2αcos 2α) ＝eq \f(2sin 2αsin 2α＋cos 2α,2cos 2αsin 2α＋cos 2α)＝tan 2α＝右边． 法二：左边＝eq \f(1＋sin 4α－1－2sin22α,1＋sin 4α＋2cos22α－1) ＝eq \f(2sin 2αcos 2α＋2sin22α,2sin 2αcos 2α＋2cos22α) ＝eq \f(2sin 2αsin 2α＋cos 2α,2cos 2αsin 2α＋cos 2α)＝tan 2α＝右边. 1．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，cos 2θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ＝(　　) A.eq \f(3,5)　　　　　　　　 B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(4,5) 答案：B 2．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是(　　) A．1 B．－1 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 答案：D 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,12)－sin\f(π,12))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12)))的值为　________　. 答案：eq \f(\r(3),2) 4.eq \f(\r(3),cos 10°)－eq \f(1,sin 170°)＝　________　. 答案：－4 5．已知tan α＝2. (1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值； (2)求eq \f(sin 2α,sin2 α＋ sinαcos α－cos 2α－1)的值． 解：(1)tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3. (2)eq \f(sin 2α,sin2 α＋sin αcos α－cos 2α－1) ＝eq \f(2sin αcos α,sin2 α＋sin αcos α－2cos2 α－1－1) ＝eq \f(2sin αcos α,sin2 α＋sin αcos α －2cos2 α) ＝eq \f(2tan α,tan2 α＋tan α－2) ＝eq \f(2×2,22＋2－2)＝1 $