第5章 5.5 5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正切公式，通过情境问题导入，如化简tan(π/2 - β)和推导tan(α+β)，衔接已学正弦余弦公式，引导学生构建知识支架，理解公式推导脉络。 其亮点在于以公式推导为核心，通过题型分类（直接应用、逆用变形等）和变式训练，培养数学抽象与数学运算素养。例如例3结合角的范围确定2α-β的值，提升逻辑推理能力。学生能强化公式应用，教师可利用结构化资源实施有效教学。

第3课时　两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(二) 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用 根据两个角和与差的正切公式的推导及应用，培养学生数学抽象及数学运算素养 [情境引入] 1．如何化简taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))呢？ 提示：因为tan eq \f(π,2)的值不存在，不能利用公式T(α－β)，所以改用诱导公式来解． tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)))＝eq \f(cos β,sin β). 2．你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝eq \f(sin α,cos α)，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)的公式吗？ 提示：当cos(α＋β)≠0时， tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq \f(sin αcos β＋cos αsin β,cos αcos β－sin αsin β). 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β). [知识梳理] [知识点]　两角和与差的正切公式　 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 T(α＋β) tan (α＋β) ＝　eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)　 α，β，α＋β≠ kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z 两角差 的正切 T(α－β) tan (α－β) ＝　eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)　 α，β，α－β≠ kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z 1.两角和与差的正切公式中为什么限制α，β，α＋β，α－β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)? 提示：这是由正切函数的定义域决定的． 2．你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？ 提示：tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,cosα＋β) ＝eq \f(sin αcos β＋cos αsin β,cos αcos β－sin αsin β)＝eq \f(\f(sin α,cos α)＋\f(sin β,cos β),1－\f(sin αsin β,cos αcos β)) ＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β). 类似地可以推导tan(α－β)，也可用－β代替tan(α＋β)中的β，tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝eq \f(tan α＋tan－β,1－tan αtan－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β). 3．对于两角和的正切公式你能写出它的几种常见变形吗？ 提示：它的常见变形主要有以下四种： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)； (3)tan α＋tan β＋tan αtan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β). [预习自测] 1．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　) A．－eq \f(4,7)　 B.eq \f(4,7)　　 C.eq \f(1,8)　 D．－eq \f(1,8) 答案：A 2.eq \f(\r(3)－tan 30°,1＋\r(3)tan 30°)＝　________　. 答案：eq \f(\r(3),3) 3．已知tan α＝－eq \f(3,4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝　________　. 答案：7 　三角公式的直接应用 [例1] 已知cos α＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)， 求(1)tan β的值； (2)tan(2α－β)． [思路点拨]　(1)β＝α－(α－β)，(2)2α－β＝α＋(α－β)． [解]　∵cos α＝eq \f(4,5)>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\f(4,5)2)＝eq \f(3,5)， (1)tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4). ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tanα－β,1＋tan α·tanα－β) ＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq \f(2,11). (2)tan α＝eq \f(3,4)， tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝eq \f(tan α＋tan α－β,1－tan α·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,2),1－\f(3,4)×\f(1,2))＝2. 解给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [变式训练] 1．求值tan 15°＝　________　. 解析：tan 15°＝tan(60°－45°)＝eq \f(tan 60°－tan 45°,1＋tan 60°tan 45°) ＝eq \f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq \r(3). 答案：2－eq \r(3) 三角公式的逆用及变形用 [例2] (1)已知cos (α－β)＝eq \f(1,2)，cos (α＋β)＝eq \f(1,4)，求tan αtan β的值； (2)tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°. [思路点拨]　(1)考虑C(α＋β)与C(α－β)的联系； (2)注意考虑T(α＋β)的变形． [解]　(1)由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos αcos β＋sin αsin β＝\f(1,2)，　　①,cos αcos β－sin αsin β＝\f(1,4).　　②)) ①－②得sin αsin β＝eq \f(1,8)， ①＋②得cos αcos β＝eq \f(3,8). ∴tan αtan β＝eq \f(sin αsin β,cos αcos β)＝eq \f(1,3). (2)tan (20°＋40°)＝eq \f(tan 20°＋tan 40°,1－tan 20°tan 40°)＝tan 60°＝eq \r(3)， 去分母得tan 20°＋tan 40°＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°. ∴tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝eq \r(3). 对于和、差角的正弦、余弦、正切公式除了正用、逆用外，还要注意利用它们的变形公式来解题．对公式的变形应用既要考虑到不同公式之间的联系，也要考虑公式自身的变形应用． [变式训练] 2．化简：(1)eq \f(tan 74°＋tan 76°,1－tan 74°tan 76°)； (2)tan eq \f(π,9)＋taneq \f(2π,9)＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9). 解：(1)eq \f(tan 74°＋tan 76°,1－tan 74°tan 76°) ＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3). (2)taneq \f(π,9)＋taneq \f(2π,9)＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9) ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)＋\f(2π,9))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(π,9)tan\f(2π,9)))＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9) ＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(π,9)tan\f(2π,9)))＋eq \r(3)taneq \f(π,9)taneq \f(2π,9)＝eq \r(3). 给值求角(值) [例3] 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)). (1)求tan α的值； (2)求2α－β的值． [思路点拨]　(1)利用两角和的正切公式求解； (2)由2α－β＝α＋(α－β)，用两角和的正切公式求值，再根据角的范围确定角的大小． [解]　(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2， 得tan α＝eq \f(1,3). (2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝eq \f(tan α＋tanα－β,1－tan αtanα－β)＝1， 又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))， 得2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))， 所以2α－β＝eq \f(π,4). 给值求角问题的步骤及选取函数的原则 (1)给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角． (2)选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是(0，eq \f(π,2))，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围是(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，选正弦函数． 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实观求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [变式训练] 3．已知tan α＝eq \f(1,3)，tan β＝eq \f(1,7)且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求2α＋β的值． 解：∵tan α＝eq \f(1,3)，tan β＝eq \f(1,7)且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， ∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) ＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,7),1－\f(1,3)×\f(1,7))＝eq \f(1,2)>0， ∴α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2α＋β∈(0，π)， ∴tan(2α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]＝eq \f(tanα＋β＋tan α,1－tanα＋βtan α)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1， ∴2α＋β＝eq \f(π,4). 和(差)角的正切公式的综合应用 [例4] 已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)⇒tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)． [解]　∵eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1， ∴eq \r(3)(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3). ∴tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3). 又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6)， ∵tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，tan C＝eq \f(\r(3),3)， ∴tan B＋eq \f(\r(3),3)＋tan B＝eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),3)， ∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝eq \f(2π,3)， ∴△ABC为等腰钝角三角形． 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角． [变式训练] 4．已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. 证明：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C. ∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－tan C. ∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C. 即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. 1．tan α＝2，tan β＝3，则tan(α－β)＝(　　) A．－7　 B.eq \f(1,5)　 C．－eq \f(1,5)　 D．－eq \f(1,7) 答案：D 2．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝eq \f(1,3)，则tan β的值为(　　) A．－7 B．7 C．1 D．－1 答案：B 3．在△ABC中，tan A＋tan B＋eq \r(3)＝eq \r(3)tan Atan B，则角C等于(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,4) 答案：A 4．求值：eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝　________　；tan 70°＋tan 50°－eq \r(3)tan 50°tan 70°＝　________　. 答案：eq \r(3)　－eq \r(3) 5．已知eq \f(6cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),2cosπ－α－3sinπ＋α)＝－8， α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))). (1)求tan α的值； (2)若β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(\r(5),5)，求α＋β的值． 解：(1)∵eq \f(6cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),2cosπ－α－3sinπ＋α)＝－8， ∴eq \f(6sin α＋cos α,－2cos α＋3sin α)＝eq \f(6tan α＋1,－2＋3tan α)＝－8， 解得tan α＝eq \f(1,2). (2)∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq \f(π,4)＜eq \f(π,4)＋β＜eq \f(3π,4). ∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(\r(5),5)， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(2\r(5),5)， ∴cos β＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))－\f(π,4)))＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3\r(10),10)， ∴sin β＝eq \f(\r(10),10)，则tan β＝eq \f(1,3)， ∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1， 又∵α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，∴α＋β＝eq \f(π,4). $