第5章 5.5 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦、余弦公式，课堂导入通过诱导公式情境问题（如判断sin(π+α)=sinπ+sinα是否成立）引发思考，衔接三角函数诱导公式旧知，以问题链构建从公式推导到记忆方法的学习支架。 其亮点在于注重公式推导逻辑（如用诱导公式推导sin(α+β)），通过给角求值（如例1化简cos105°）、给值求角等题型培养数学思维与运算素养，提供预习自测、变式训练等分层资源，助力学生夯实基础，教师高效实施教学。

第2课时　两角和与差的正弦、 余弦、正切公式(一) 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和两角和的余弦公式 2．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征 3．能灵活运用公式进行化简和求值 通过两角和与差的正弦、余弦公式的应用，培养学生逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 回顾三角函数的诱导公式： (1)sin(π＋α)＝sin π＋sin α对任意α能否成立？ (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sin eq \f(π,2)cos α＋cos eq \f(π,2)sin α成立吗？ 提示：(1)不成立．因为sin(π＋α)＝－sin α，sin π＋sin α＝sin α. (2)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos α，sin eq \f(π,2)cos α＋cos eq \f(π,2)sin α＝cos α，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sin eq \f(π,2)cos α＋cos eq \f(π,2)sin α成立． [知识梳理] [知识点一]　两角和与差的余弦公式　 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦 C(α＋β) cos (α＋β)＝ 　cos αcos β－sin αsin β　 α，β∈R 两角差的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 1.你能分别用C(α＋β)与C(α－β)求cos 75°的值吗？ 提示：方法一：cos 75°＝cos (45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 方法二：cos 75°＝cos (120°－45°) ＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 2．两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？ 提示：在两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用－β替换β，便可以得到两角和的余弦公式． [知识点二]　两角和与差的正弦公式　 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝ 　sin αcos β＋cos αsin β　 α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝ 　sin αcos β－cos αsin β　 α，β∈R 3.你能运用公式S(α＋β)化简eq \f(1,2)cos 20°＋eq \f(\r(3),2)sin 20°吗？ 提示：eq \f(1,2)cos 20°＋eq \f(\r(3),2)sin 20°＝sin 30°cos 20°＋cos 30°sin 20°＝sin (30°＋20°)＝sin 50°. 4．如何推导公式sin(α＋β)与sin(α－β)． 提示：①sin(α＋β)＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α＋β))＝ coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos β＋ sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·sin β＝sin αcos β＋cos αsin β. ②法一：sin(α－β)＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α－β))＝ coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋β))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos β－ sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·sin β＝sin αcos β－cos αsin β. 法二：用－β代替sin(α＋β)中的β，sin(α－β) ＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β. 5．如何识记两角和与差的余弦公式？ 提示：可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反． 6．如何识记两角和与差的正弦公式？ 提示：可简单记为“正余余正，符号同”，即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同． [预习自测] 1．化简sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝(　　) A.eq \f(\r(3),2)　 B．－eq \f(\r(3),2)　　 C.eq \f(1,2)　　 D.eq \f(\r(2),2) 答案：D 2．sin 75°的值为(　　) A.eq \f(\r(2)－1,2) B.eq \f(\r(2)＋1,2) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) 答案：D 3．化简求值：sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)＝　________　. 答案：1 给角求值问题 [例1] 化简求值． (1)cos 105°； (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°. [思路点拨]　根据式子的特点，进行适当变形，再合理选择公式求值． [解]　(1)原式＝cos (60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2) ×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4). (2)原式＝sin 14°cos 16°＋sin (90°－14°)cos (90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin (14°＋16°)＝sin 30° ＝eq \f(1,2). 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式． [变式训练] 1．(1)cos eq \f(π,12)coseq \f(π,6)－sineq \f(π,12)sineq \f(π,6)＝(　　) A.eq \f(1,2)　　 B.eq \f(\r(2),2)　　　 C.eq \f(\r(3),2)　　 D．1 (2)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<α<\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝(　　) A.eq \f(3\r(2)－\r(3),6)　　　　 B.eq \f(3\r(2)＋\r(3),6) C.eq \f(\r(6)－3,6) D.eq \f(\r(6)＋3,6) 解析：(1)B　[coseq \f(π,12)coseq \f(π,6)－sineq \f(π,12)sineq \f(π,6) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，故选B.] (2)A　[∵cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝eq \f(\r(3),3)，∴sin α＝－eq \f(\r(3),3)，∴－eq \f(π,2)<α<0，∴cos α＝eq \f(\r(6),3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sin αcoseq \f(π,3)＋cos αsineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(2)－\r(3),6)，故选A.] 给值求角问题 [例2] 已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，且α和β均为钝角，求α＋β的值． [思路点拨]　根据已知条件，确定角α＋β的范围，求角α＋β的某个三角函数值，进而得α＋β的大小． [解]　因为α和β均为钝角， 所以cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)， cos β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3\r(10),10). 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)， 所以α＋β＝eq \f(7π,4). 给值求角问题的解题策略 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角． (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等． [变式训练] 2．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，求β的值． 解：因为α，β为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cos α＝eq \f(2\r(5),5)， 又因为－eq \f(π,2)<α－β<eq \f(π,2)且sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)， 所以cos(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)， 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(2),2). 因为β为锐角，所以β＝eq \f(π,4). 　给值求值问题 [例3] 已知eq \f(π,4)<β<α<eq \f(3π,4)，cos(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，求sin 2α的值． [思路点拨]　2α＝(α＋β)＋(α－β)． [解]　∵eq \f(π,4)<β<α<eq \f(3π,4)， ∴0<α－β<eq \f(π,2)，eq \f(π,2)<α＋β<eq \f(3π,2). 又∵sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)， ∴π<α＋β<eq \f(3π,2)，∴cos(α＋β)＝－eq \f(4,5). ∵cos(α－β)＝eq \f(12,13)，∴sin(α－β)＝eq \f(5,13). ∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(56,65). 解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．③角的拆分方法不唯一，可根据题目合理地选择拆分方式．如α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，(eq \f(π,4)＋α)＋(eq \f(π,4)＋β)＝eq \f(π,2)＋(α＋β)，(eq \f(π,4)＋α)＋(eq \f(π,4)－β)＝eq \f(π,2)＋(α－β)． [变式训练] 3．已知0＜β＜α＜eq \f(π,2)，cos(α－β)＝eq \f(3,5)，cos αcos β＝eq \f(1,2)，则eq \f(1,tan α)－eq \f(1,tan β)＝(　　) A．－eq \f(1,10) B.eq \f(8,11) C．－4 D．－8 解析：D　[因为0＜α＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,2)＜－α＜0.又0＜β＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,2)＜β－α＜eq \f(π,2). 又β＜α，所以－eq \f(π,2)＜β－α＜0，所以sin(β－α)＜0. 又因为cos(α－β)＝eq \f(3,5)， 所以sin(β－α)＝－eq \r(1－cos2β－α)＝－eq \f(4,5)， 且cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)， 又cos αcos β＝eq \f(1,2)，所以sin αsin β＝eq \f(3,5)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,10)， 所以eq \f(1,tan α)－eq \f(1,tan β)＝eq \f(cos α,sin α)－eq \f(cos β,sin β)＝eq \f(cos αsin β－cos βsin α,sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,sin αsin β)＝eq \f(－\f(4,5),\f(1,10))＝－8.] 　　辅助角公式应用 [例4] 化简求值：sineq \f(π,12)－eq \r(3)cos eq \f(π,12). [思路点拨]　利用辅助角公式化简． [解]　方法一：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cos \f(π,12))) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,6)sin \f(π,12)－cos \f(π,6)cos \f(π,12))) ＝－2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12))) ＝－2cos eq \f(π,4) ＝－eq \r(2). 方法二：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cos \f(π,12))) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)sin \f(π,12)－sin \f(π,3)cos \f(π,12))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3))) ＝－2sin eq \f(π,4) ＝－eq \r(2). 通过应用公式asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)·sin(α＋φ)[或asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)·cos(α－φ)]将形如asin α＋bcos α(a，b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数eq \r(a2＋b2)·sin(α＋φ)[或eq \r(a2＋b2)·cos(α－φ)]．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式． [变式训练] 4．(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)＝eq \f(1,2). (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，求g(x)的值域和单调区间． 解：(1)因为f(0)＝cos φ＝eq \f(1,2)且0≤φ＜π， 所以φ＝eq \f(π,3). (2)由(1)得f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))， 所以g(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3))) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋cos 2x ＝eq \f(3,2)cos 2x－eq \f(\r(3),2)sin 2x ＝eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))， 因为x∈R，所以g(x)的值域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]， 令－π＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z， 得－eq \f(7,12)π＋kπ≤x≤－eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z， 令2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤π＋2kπ，k∈Z， 得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5,12)π＋kπ，k∈Z， 所以g(x)单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7,12)π＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))，k∈Z， 单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))，k∈Z. 1．sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　 B.eq \f(\r(3),2)　　 C．－eq \f(1,2)　　　D.eq \f(1,2) 答案：B 2.eq \r(3)sin 15°＋sin 75°＝(　　) A.eq \f(\r(2),2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(6),2) 答案：C 3.eq \f(sin 47°－sin 17°cos 30°,cos 17°)＝　________　. 答案：eq \f(1,2) 4．已知A，B，C是△ABC的三个内角，sin A＝eq \f(3,5)， cos B＝－eq \f(1,2)，则sin C＝　________　. 答案：eq \f(4\r(3)－3,10) 5．化简下列各式： (1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))； (2)eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cos(α＋β)． 解：(1)原式＝sin xcos eq \f(π,3)＋cos xsineq \f(π,3)＋2sin xcoseq \f(π,3)－2cos xsineq \f(π,3)－eq \r(3)coseq \f(2π,3)cos x－eq \r(3)sineq \f(2π,3)sin x ＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x＋sin x－eq \r(3)cos x＋eq \f(\r(3),2) cos x－eq \f(3,2)sin x ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cos x＝0. (2)原式＝eq \f(sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin α,sin α) ＝eq \f(sinα＋βcos α－cosα＋βsin α,sin α) ＝eq \f(sin[α＋β－α],sin α)＝eq \f(sin β,sin α). $